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橢圓一、直線與橢圓問(wèn)題的常規(guī)解題方法:1.設(shè)直線與方程;(注:=1\*GB3①設(shè)直線時(shí)分斜率存在與不存在;=2\*GB3②設(shè)為y=kx+b與x=my+n的區(qū)別)2.設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo);(注:之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪鏊?即“設(shè)而不求”)3.聯(lián)立方程組;4.消元韋達(dá)定理;(注:拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡(jiǎn)單)5.根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化;常有以下類型:=1\*GB3①“以弦AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)0”(注:需討論k是否存在).=2\*GB3②“點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問(wèn)題” “直角、銳角、鈍角問(wèn)題”“向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問(wèn)題”;=3\*GB3③“等角、角平分、角互補(bǔ)問(wèn)題”斜率關(guān)系(或);=4\*GB3④“共線問(wèn)題”(如:數(shù)的角度:坐標(biāo)表示法;形的角度:距離轉(zhuǎn)化法);(如:A、O、B三點(diǎn)共線直線OA與OB斜率相等);=5\*GB3⑤“點(diǎn)、線對(duì)稱問(wèn)題”坐標(biāo)與斜率關(guān)系;=6\*GB3⑥“弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)與弦長(zhǎng)公式問(wèn)題(提醒:注意兩個(gè)面積公式的合理選擇);6.化簡(jiǎn)與計(jì)算;7.細(xì)節(jié)問(wèn)題不忽略;=1\*GB3①判別式是否考慮;=2\*GB3②拋物線、雙曲線問(wèn)題中二次項(xiàng)系數(shù)是否為0.二、基本解題思想:1.“常規(guī)求值”問(wèn)題:需要找等式,“求范圍”問(wèn)題需要找不等式;2.“是否存在”問(wèn)題:當(dāng)作存在去求,若不存在則計(jì)算時(shí)自然會(huì)無(wú)解;3.證明定值問(wèn)題的方法:⑴常把變動(dòng)的元素用參數(shù)表示出來(lái),然后證明計(jì)算結(jié)果與參數(shù)無(wú)關(guān);⑵也可先在特殊條件下求出定值,再給出一般的證明。4.處理定點(diǎn)問(wèn)題的方法:⑴常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起,并令各項(xiàng)的系數(shù)為零,求出定點(diǎn);⑵也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn),然后給出證明.5.求最值問(wèn)題時(shí):將對(duì)象表示為變量的函數(shù),幾何法、配方法(轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值)、三角代換法(轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值)、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決;6.轉(zhuǎn)化思想:有些題思路易成,但難以實(shí)施,這就要優(yōu)化方法,才能使計(jì)算具有可行性,關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn);橢圓中的定值、定點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)基本題型:在幾何問(wèn)題中,有些幾何量和參數(shù)無(wú)關(guān),這就構(gòu)成定值問(wèn)題,解決這類問(wèn)題常通過(guò)取參數(shù)和特殊值來(lái)確定“定值”是多少,或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式,證明該式是恒定的.(1)直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題1、已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),直線的方程為,直線過(guò)P點(diǎn)與直線垂直,點(diǎn)M(-1,0)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為N,直線PN恒過(guò)一定點(diǎn)G,求點(diǎn)G的坐標(biāo)。2、已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上,短軸長(zhǎng)為,離心率為,是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn),且,過(guò)P作關(guān)于直線F1P對(duì)稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)。(1)求P點(diǎn)坐標(biāo);(2)求證直線AB的斜率為定值;3、已知?jiǎng)又本€與橢圓相交于、兩點(diǎn),已知點(diǎn),求證:為定值.(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的切線交曲線C于A,B兩點(diǎn),求△AOB面積S的最大值和相應(yīng)的點(diǎn)T的坐標(biāo)。14、已知橢圓.過(guò)點(diǎn)作圓的切線交橢圓G于A,B兩點(diǎn).將|AB|表示為m的函數(shù),并求|AB|的最大值.選做1、已知A、B、C是橢圓上的三點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為,BC過(guò)橢圓m的中心,且.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線l(斜率存在時(shí))與橢圓m交于兩點(diǎn)P,Q,設(shè)D為橢圓m與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn),且.求實(shí)數(shù)t的取值范圍.2.已知圓:及定點(diǎn),點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,且滿足=2,·=.(1)若,求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)若動(dòng)圓和(1)中所求軌跡相交于不同兩點(diǎn),是否存在一組正實(shí)數(shù),使得直線垂直平分線段,若存在,求出這組正實(shí)數(shù);若不存在,說(shuō)明理由.3、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為,最小值為.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)若直線與橢圓相交于,兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).4.如圖,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。(1)求橢圓的方程;(2)求m的取值范圍;(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

參考答案1、解:直線的方程為,即設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為則,解得直線的斜率為從而直線的方程為:即從而直線恒過(guò)定點(diǎn)2、解:(1)設(shè)橢圓方程為,由題意可得,所以橢圓的方程為則,設(shè)則點(diǎn)在曲線上,則從而,得,則點(diǎn)的坐標(biāo)為。(2)由(1)知軸,直線PA、PB斜率互為相反數(shù),設(shè)PB斜率為,則PB的直線方程為:由得設(shè)則同理可得,則所以直線AB的斜率為定值。3、解:將代入中得,,所以。4、解:(Ⅰ)由題意:設(shè)直線,由消y得:,設(shè)A、B,AB的中點(diǎn)E,則由韋達(dá)定理得:=,即,,所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為,因?yàn)镺、E、D三點(diǎn)在同一直線上,所以,即,解得,所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即的最小值為2.(Ⅱ)證明:由題意知:n>0,因?yàn)橹本€OD的方程為,所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為,又因?yàn)?,且?,所以,又由(Ⅰ)知:,所以解得,所以直線的方程為,即有,令得,y=0,與實(shí)數(shù)k無(wú)關(guān),5、解:(1)當(dāng)直線斜率不存在時(shí):(2)當(dāng)直線斜率存在時(shí):設(shè)與橢圓C交點(diǎn)為得(*)∵,∴,∴.消去,得,整理得時(shí),上式不成立;時(shí),,∴,∴或把代入(*)得或∴或綜上m的取值范圍為或。6、解:(Ⅰ)設(shè)動(dòng)點(diǎn),則,,.由已知得,化簡(jiǎn)得,得.所以點(diǎn)的軌跡是橢圓,的方程為.(Ⅱ)由題意知,直線的斜率必存在,不妨設(shè)過(guò)的直線的方程為,設(shè),兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,.由消去得.因?yàn)樵跈E圓內(nèi),所以.所以因?yàn)?,所?解得.7、解:,設(shè)Q(x,y),,.∵,即,而,∴-18≤6xy≤18.則的取值范圍是[0,36].的取值范圍是[-6,6].∴的取值范圍是[-12,0].8、解:(1)依題意可設(shè)橢圓方程為,則右焦點(diǎn)由題設(shè),解得,故所求橢圓的方程為(2)設(shè)、、,為弦的中點(diǎn),由得直線與橢圓相交,①,從而,,又則:,即,②把②代入①得,解,由②得,解得.綜上求得的取值范圍是.9、解:(Ⅰ)∴NP為AM的垂直平分線,∴|NA|=|NM|又∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(-1,0),A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓.且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2c=2.∴曲線E的方程為(Ⅱ)當(dāng)直線GH斜率存在時(shí),設(shè)直線GH方程為得設(shè),又當(dāng)直線GH斜率不存在,方程為10、解:(1)由題意可得,,,∴.∴所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.(2)設(shè),則.①且,,由可得,即∴.②由①、②消去整理得.∵∴.∵,∴.∴的取值范圍為.11、解:(Ⅰ)由題意知,所以.即.又因?yàn)椋?,.故橢圓的方程為.(Ⅱ)由題意知直線的斜率存在.設(shè):,,,,由得.,.,.∵,∴,,.∵點(diǎn)在橢圓上,∴,∴.∵<,∴,∴∴,∴,∴.∴,∵,∴,∴或,∴實(shí)數(shù)取值范圍為.12、解、設(shè)橢圓方程為,由題意可得,故橢圓方程為設(shè)AB的直線方程:.由,得,由,得P到AB的距離為,則。當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),∴三角形PAB面積的最大值為。13、解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,所以,,①因?yàn)樵趫A上,所以②將①代入②,得點(diǎn)的軌跡方程C的方程為.(Ⅱ)由題意知,.當(dāng)時(shí),切線的方程為,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為此時(shí),當(dāng)時(shí),同理可得;當(dāng)時(shí),設(shè)切線的方程為由得③設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則由③得:.又由l與圓相切,得即所以因?yàn)榍耶?dāng)時(shí),|AB|=2,所以|AB|的最大值為2依題意,圓心到直線AB的距離為圓的半徑,所以面積,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),面積S的最大值為1,相應(yīng)的的坐標(biāo)為或者.14、解:由題意知,.當(dāng)時(shí),切線的方程為,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為,此時(shí);當(dāng)時(shí),同理可得;當(dāng)時(shí),設(shè)切線的方程為.由得.設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.又由與圓相切,得,即.所以.由于當(dāng)時(shí),,,當(dāng)且當(dāng)時(shí),.所以|AB|的最大值為2.選做1、解(1)橢圓m:(2)由條件D(0,-2)∵M(jìn)(0,t)1°當(dāng)k=0時(shí),顯然-2<t<22°當(dāng)k≠0時(shí),設(shè)消y得由△>0可得①設(shè)則∴由∴②∴t>1將①代入②得1<t<4∴t的范圍是(1,4)綜上t∈(-2,4)2、解:(1)∴點(diǎn)為的中點(diǎn),又,或點(diǎn)與點(diǎn)重合.∴又∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,且,∴的軌跡方程是(2)解:不存在這樣一組正實(shí)數(shù),下面證明:由題意,若存在這樣的一組正實(shí)數(shù),當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)之為,故直線的方程為:,設(shè),中點(diǎn),則,兩式相減得:.注意到,且,則,②又點(diǎn)在直線上,,代入②式得:.因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)在⑴所給橢圓內(nèi),故,這與矛盾,所以所求這組正實(shí)數(shù)不存在.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線的方程為,則此時(shí),代入①式得,這與是不同兩點(diǎn)矛盾.綜上,所求的這組正實(shí)數(shù)不存在.3、解:(Ⅰ)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(Ⅱ)設(shè),

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