一種確定小波分解層數(shù)的自適應(yīng)算法

一種確定小波分解層數(shù)的自適應(yīng)算法

0閾值函數(shù)的選取及估計(jì)效果1992年，首席教授提出的非線性噪聲消噪算法是一種廣泛使用的抗小波噪聲去除方法之一。該方法的基本原則是基于這樣的事實(shí)。在小波分解后，噪聲信號(hào)的噪聲能量主要集中在高頻部分，分布均勻，包括云數(shù)較多但振幅較大的小波系數(shù)。有用信號(hào)的能量集中在多個(gè)振幅較大的小波系數(shù)上。因此，可以通過(guò)選擇合適的閾值來(lái)切割和處理小波系數(shù)，將值小于該閾值的小波系數(shù)置為零，并保持或關(guān)閉具有較大位移系數(shù)的小波系數(shù)。閾值函數(shù)的映射可以用于評(píng)估小波系數(shù)。最后，評(píng)估系數(shù)的估計(jì)直接用于去除噪聲。在該方法中,門(mén)限閾值的選取以及對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行量化處理的閾值函數(shù)的選取是影響去噪效果的關(guān)鍵.在閾值的選取上,由于最早由Donoho和Johnstone給出的統(tǒng)一閾值δ=σ2ln(N)??????√δ=σ2ln(Ν)有“過(guò)扼殺”小波系數(shù)的傾向,因此人們紛紛對(duì)閾值的選取進(jìn)行了研究,提出了多種不同的閾值確定方法,比如Chang等人給出的BayesShrink閾值,Moulin等人給出的MapShrink閾值以及目前使用較多的SureShrink閾值和GCV閾值.在閾值函數(shù)的選取上,由于Donoho等人給出的經(jīng)典的軟閾值和硬閾值函數(shù)分別都存在著一些缺陷,一些學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn),并得到軟硬折中閾值函數(shù)和模平方閾值函數(shù)等.在實(shí)際應(yīng)用中,通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)不僅閾值和閾值函數(shù)的選取是影響去噪效果的關(guān)鍵,小波分解的層數(shù)(即尺度)J也對(duì)去噪效果有重要影響.人們通常的做法是在對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行小波分解時(shí),根據(jù)經(jīng)驗(yàn)預(yù)先設(shè)定一個(gè)分解層數(shù).但仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),對(duì)不同的信號(hào),在不同的信噪比下,都存在一個(gè)去噪效果相對(duì)較好的分解層數(shù).當(dāng)分解層數(shù)過(guò)多時(shí),對(duì)所有各層小波系數(shù)都進(jìn)行閾值處理,會(huì)造成有用信號(hào)信息的丟失,反而使信噪比下降,而且計(jì)算工作量也大為增加;當(dāng)分解層數(shù)過(guò)少時(shí),導(dǎo)致不能有效地去除噪聲,信噪比不能得到很大提高.因此,確定一個(gè)合理的分解層數(shù)對(duì)去噪是必要的.本文在對(duì)含噪信號(hào)的小波變換特性分析的基礎(chǔ)上,基于運(yùn)用自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)的方法,提出了一種確定小波分解層數(shù)的自適應(yīng)算法,并以軟閾值函數(shù)為例,結(jié)合4種不同的閾值選取準(zhǔn)則,以信噪比和最小均方誤差為度量指標(biāo),通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性.1自相關(guān)函數(shù)估計(jì)在實(shí)際應(yīng)用中,采集到的信號(hào)常混有白噪聲.白噪聲可以看作是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)序列,它是均值為零,方差為常數(shù)的不相關(guān)隨機(jī)變量構(gòu)成的序列.根據(jù)時(shí)間序列分析的相關(guān)知識(shí),白噪聲序列的理論自相關(guān)函數(shù)為:ρk={1,k=00,k≠0ρk={1,k=00,k≠0.因此,可以利用白噪聲序列自相關(guān)函數(shù)的這一特性進(jìn)行白噪聲的檢驗(yàn).在自然界中,純粹的白噪聲很難遇到,很多隨機(jī)序列只是近似的符合白噪聲的特性.而且在實(shí)際中,我們所得到的只是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的有限個(gè)觀測(cè)值構(gòu)成的有限序列,由此只能得到自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值.因此,只能用自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)序列是否符合白噪聲的特性.檢驗(yàn)方法如下:假設(shè)離散有限數(shù)據(jù)序列zt(t=1,2,…,N),將它看作一個(gè)隨機(jī)序列的有限個(gè)樣本值,定義其自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)為:ρ?k=γ?kγ?0?k=1,2,?,Kρ^k=γ^kγ^0?k=1,2,?,Κ其中γ?k=1N∑t=1N?k(zt?zˉ)(zt+k?zˉ)γ?0=1N∑t=1N(zt?zˉ)2zˉ=1N∑t=1Nztγ^k=1Ν∑t=1Ν-k(zt-zˉ)(zt+k-zˉ)γ^0=1Ν∑t=1Ν(zt-zˉ)2zˉ=1Ν∑t=1Νzt分別是自協(xié)方差函數(shù)γk、序列方差σ2zz2、序列均值μ的估計(jì).考慮序列(N??√ρ?1?N??√ρ?2?N??√ρ?3??,N??√ρ?k)(Νρ^1?Νρ^2?Νρ^3??,Νρ^k),因此檢驗(yàn)zt(t=1,2,…,N)是否是白噪聲序列,就轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)這K個(gè)量是否相互獨(dú)立并服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.令Qk=∑k=1K(N??√ρ?k)2=N∑k=1Kρ?2kQk=∑k=1Κ(Νρ^k)2=Ν∑k=1Κρ^k2,此時(shí),問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)Qk是否服從自由度為K的中心χ2分布,這時(shí)利用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)即可實(shí)現(xiàn),具體檢驗(yàn)過(guò)程不在此贅述.2基于小波分解的白噪聲檢驗(yàn)由小波理論可知,含噪信號(hào)經(jīng)過(guò)小波變換以后,有用信號(hào)和噪聲在各層小波空間里分別具有不同的特性:信號(hào)的主要特征由分布在較大尺度上的少數(shù)幅值較大的系數(shù)來(lái)表征,而噪聲則表現(xiàn)在各層小波空間里,對(duì)應(yīng)著個(gè)數(shù)較多,幅值較小的小波系數(shù).白噪聲經(jīng)過(guò)小波變換之后仍然是白噪聲,因此,在強(qiáng)噪聲弱信號(hào)的情況下,在大多數(shù)小波空間里,白噪聲起主導(dǎo)作用,表現(xiàn)出白噪聲的特性,而在少數(shù)大尺度小波空間里,信號(hào)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)占主導(dǎo)地位,表現(xiàn)出非白噪聲的特性.因此,可以通過(guò)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)來(lái)自適應(yīng)確定分解層數(shù),具體算法如下:①選擇一個(gè)小波函數(shù),將待處理的離散含噪信號(hào){f(k)}進(jìn)行一層小波分解;②保留(1)中得到的尺度系數(shù)a1,對(duì)得到的小波系數(shù)d1進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn).若d1能通過(guò)白噪聲檢驗(yàn),則對(duì)a1繼續(xù)進(jìn)行一層分解;③重復(fù)上述步驟,即每分解一層,就對(duì)該層小波系數(shù)進(jìn)行一次白噪聲檢驗(yàn),直到分解得到的小波系數(shù)不能通過(guò)白噪聲檢驗(yàn)為止;④放棄最后一次未通過(guò)白噪聲檢驗(yàn)的分解結(jié)果,即若分解了n次,則分解層數(shù)為n-1.并將分解得到的各層小波系數(shù)d1,d2,…,dn-1根據(jù)閾值λj(j=1,2,…,n-1)進(jìn)行軟閾值量化處理;⑤用尺度系數(shù)an-1及經(jīng)過(guò)閾值處理后的小波系數(shù)d1,d2,…,dn-1進(jìn)行重構(gòu),即得到消噪后的信號(hào).3最佳分解層數(shù)的選取為了驗(yàn)證確定合適分解層數(shù)的重要性以及本文方法的有效性,以Blocks、Bumps和Heavysine3種典型信號(hào)為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),原始信號(hào)如圖1所示.在以上3種信號(hào)中,分別疊加均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1的高斯白噪聲形成待處理信號(hào),如圖2所示.在實(shí)驗(yàn)中,選用Daubechies4小波進(jìn)行分解.仿真實(shí)驗(yàn)中均采用軟閾值方法.門(mén)限閾值的選取準(zhǔn)則分別采用heursure(混合準(zhǔn)則),rigrsure(無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)準(zhǔn)則),minimaxi(極大極小準(zhǔn)則)和sqtwolog(固定門(mén)限準(zhǔn)則)四種準(zhǔn)則進(jìn)行處理.對(duì)3種信號(hào)分別用本文的方法,確定的“最佳”分解層數(shù)分別為5,4和5.把這個(gè)最佳分解層數(shù)下的處理結(jié)果與其相鄰的上下兩個(gè)分解層數(shù)下的處理結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,并以信噪比和最小均方誤差為度量指標(biāo),如表1～3所示.從表中數(shù)據(jù)可知,對(duì)不同信號(hào),分解層數(shù)的選取對(duì)去噪效果確實(shí)有重要影響.當(dāng)分解層數(shù)過(guò)少時(shí),不能有效去除噪聲;當(dāng)分解層數(shù)過(guò)多時(shí),去噪后信號(hào)的信噪比反而下降.這說(shuō)明一個(gè)合適的分解層數(shù)對(duì)取得較好的去噪效果是至關(guān)重要的.同時(shí)從表中數(shù)據(jù)還可以看到,采用不同的閾值選取準(zhǔn)則,對(duì)應(yīng)的最佳分解層數(shù)會(huì)有所不同.比如對(duì)Blocks信號(hào),如果閾值準(zhǔn)則采用heursure和rigrsure,最佳的分解層數(shù)為5;如果閾值采用minimaxi和sqtwolog準(zhǔn)則,最佳的分解層數(shù)為4.對(duì)Bumps信號(hào)也存在類似的結(jié)論.這說(shuō)明小波分解層數(shù)、閾值選取準(zhǔn)則以及閾值函數(shù)的選取對(duì)去噪效果的影響并不相互獨(dú)立,而應(yīng)結(jié)合起來(lái)綜合考慮.雖然用本文方法確定的Blocks信號(hào)的最佳分解層數(shù)為5,這與閾值選取準(zhǔn)則為minimaxi和sqtwolog的時(shí)候不一致,但是從去噪后的信噪比和最小均方誤差來(lái)看,5層的分解層數(shù)和rigrsure準(zhǔn)則結(jié)合,效果是最佳的.這說(shuō)明本文的方法是有效的.最后利用本文分層方法,給出3種含噪信號(hào)的去噪結(jié)果,如圖3所示.4自適應(yīng)確定分解層數(shù)本文通過(guò)對(duì)含白噪聲信號(hào)