2021年滬教版數(shù)學(xué)必修二同步第13講 向量的應(yīng)用（講義）學(xué)生版

第13講向量的應(yīng)用

知識(shí)梳理

1、平面向量分解定理：

如果4,怎是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量3有且只有一

對(duì)實(shí)數(shù)4，冬，使我們把不平行的向量Z，,叫做這一平面內(nèi)所有向量的一

組基.

注意：

（1）基底不共線；

（2）將任一向量7在給出基底H的條件下進(jìn)行分解；

（3）基底給定時(shí)，分解形式唯一，4，42.是被［唯一確定的數(shù)量

幾何角度證明：

如圖，在平面內(nèi)取一點(diǎn)0,作OA=a<OB=b^OC=c<再作直線0A、OB.

設(shè)點(diǎn)C不在直線0A和0B上，過點(diǎn)C分別作直線0A、0B的平行線，由于向量￡石不

平行，可知所作兩直線分別與直線OB、0A有唯一的交點(diǎn)，記為N、M.作向量而、ON.

因?yàn)辂?//￡,所以存在唯一的實(shí)數(shù)工，使OM=xa.

因?yàn)辂?/B，所以存在唯一的實(shí)數(shù)y,使而=仍.

而四邊形OMCN是平行四邊形，因此OC=OM+ON=xa+yh.

即=c=xa+yB.

如果點(diǎn)C在直線0A或0B上，那么￡//￡,或工/區(qū).

這時(shí)得"==+或c=>5=（）。+）石.所以之關(guān)于￡、b的分解式總是確定的.

代數(shù)角度：證明唯一性：

（1）當(dāng)￡w。時(shí),6=o-^+o-^

e

（2）當(dāng)&w0時(shí)，假設(shè)a=4e\+4e2，則有+4/=4約+辦i，

（4-4）?&+（4-4）?G=0.

由于."不平行，故（4_4'）=o,（4_《）=o,即4=4'，4=41

2、重要結(jié)論

設(shè)冰礪不平行，點(diǎn)P在A3上o存在實(shí)數(shù)兒〃使得麗=幾方+〃而

且4+〃=1（九〃￡R）

證明：如圖，設(shè)向量Q=〃無瓦PB=AAB,

A

o

?.?麗+麗=而n4+〃=l

麗=麗+麗=礪+〃而=OA+〃(OB-QA)礪+〃礪

=AOA+piOB【4〃的正負(fù)可以給學(xué)生講一下】

3、平面向量和三角形四心

(1)而+而+數(shù)=6=G是A4BC的重心.

證法1：設(shè)G(x,y),A(x],必),B(X2,y2),C(x3,y3)

(XlX)+(X2X)+(X3X)=

GA+GB+GC=0^\~~~°

.(y-y)+(%-y)+(x-y)=o

x_*+%+0

一3

JoG是A48C的重心.

M+%+為

一

ry3

證法2：如圖?.?而+而+岳=百+2而=6

A

AG=2GD

，A、G、。三點(diǎn)共線，且G分A。為2：1

/.G是AABC的重心

(2)設(shè)a",c是三角形的三條邊長，/是AABC的內(nèi)心6而+人拓+c7d=6=0為

△A3C的內(nèi)心.

證明：valA+blB+clc=Q

(a+b+c)IA+hAB+cAC=O

—beABAC

AI=----------(——+——)

a+b+ccb

AH\r

——>—分別為AB.AC方向上的單位向量,

cb

詈Ar

丁平分NBAC,

b

IA為中NA的角平分線，

同理可證"為△/附中N8的角平分線，二為%中NA的角平分線。

.?.點(diǎn)/為△/!a'的內(nèi)心。

(3)HAHB=HBHC=HCHA。H為墳BC的垂心.

證明：如圖所示H是三角形4?。的垂心，BE垂直4C,垂直陽D、￡是垂足.

OAOB=OBOC=OB(OA-OC)=ObC4=0o。8_LAC

同理蘇，前，OC1AB

(4)|蘇月方|=］次00為AABC的外心。

（5）四心重要的結(jié)論:

I、外心（外接圓圓心。中垂線的交點(diǎn)）

①.網(wǎng)=網(wǎng)=聞=/?（"為外接圓半徑）.

--,——1

AOAB=-AB

②.2

—,—,1I------2

AOAC=-AC

2

■11—?-1——-

AOBC=-AC——AB

22

-*--?1I--"p1---2

推廣\AO-AD=-\AB\+-AC（。為比?的中點(diǎn)，G為△力比■的重心）.

:4lI4

-----?------?1|[2]—2

AO-AG=-\AB\+-AC

6\I6

④.*圓心角是圓周角的兩倍.

⑤.*sin2A-04+sin23.08+sin2c-0C=6

II、重心（G中線的交點(diǎn)）

①.GA+GB+GC^O.

②.OG=hOA+OB+OC）or~AG=\（AB.

JJ

＞

③.若A（xl,yi）,B（x2,y2\C（x3,y3）,則其重心的坐標(biāo)為

G（＞+々+芻X+%+%）

I3'3『

重心分每條中線分為2：1的兩短.

m、內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心/角平分線的交點(diǎn)）

，，?，?----'

①.府=丸（/^-+/￡-）（/1/0）注：工^-+工工表示為N4的角平分線.

\AB\\AC\\AB\\AC\

②.c,IC+a,IA+b'IB-0.

IV、垂心（〃角平分線的交點(diǎn)）

①。HAHB=HBHC=HCHA.

②.*tanA-/Z4+tan5-HB+tanC-HC=6

4、運(yùn)用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個(gè)步驟？

“三步曲”：

(D建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化

為向量問題；

(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；

(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

例題解析

1、平面向量的分解定理

例1.［華師大二附中高二(上)期中?12］下列有關(guān)平面向量分解定理的四個(gè)命題中：

①一個(gè)平面內(nèi)有且只有一對(duì)不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基；

②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對(duì)不平行向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基；

③平面向量的基向量可能互相垂直；

④一個(gè)平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)三個(gè)互不平行向量的線性組合.

正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

例2［位育中學(xué)期中?13］平面內(nèi)有三個(gè)向量而，03,0C,其中應(yīng)與應(yīng)的夾角為120。，而與

應(yīng)的夾角為30°,且=|應(yīng)=1,|應(yīng)1=24，若&=入總十口而(入,〃6R),則4+

〃的值為___.

例3.［普陀區(qū)晉元中學(xué)期中?16］如圖所示，A,B,C是圓。上的三點(diǎn)，線段CO的延長線與

線段的的延長線交于圓。外的點(diǎn)〃，若應(yīng)三0應(yīng)+〃宓，則勿+〃的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,+8)C.(一8,-1)D.(-1,0)

“0

B

例4.如圖，在中，AF^AB,〃為比的中點(diǎn)，力。與療'交于點(diǎn)反若應(yīng)?=a,AC^b,

O

且宓=xa+y6,貝！Jx+y=________.

例5.如圖，設(shè)向量應(yīng)=(3,1),應(yīng)=(1,3),若比'=/應(yīng)+〃應(yīng)且則用陰影

表示。點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域正確的是()

例6.［華師大二附中期中?18］已知材為△/1式的中線4〃的中點(diǎn)，過點(diǎn)”的直線分別交兩邊

AB,4c于點(diǎn)、P,Q,設(shè)=AQ=yAC,記y=/(x).

(1)求函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式;

(2)求生絲的取值范圍.

SMBC

例7.在AOAB中,C為OA上的一點(diǎn),且祓?二￡蕊&聲是BC的中點(diǎn),過點(diǎn)A的直線/〃0D,P

3

是直線，上的動(dòng)點(diǎn)，麗二白麗子/灰則72=-

例8.給定兩個(gè)長度為1的平面向量而和市，它們的夾角為90°.如圖所示，點(diǎn)C在以。為

圓心的圓弧4?上運(yùn)動(dòng).若應(yīng)三x應(yīng)+y應(yīng)，其中“、HR,則x+y的最大值是.

例9.將一圓的六個(gè)等分點(diǎn)分成兩組相間的三點(diǎn)，它們所構(gòu)成的兩個(gè)正三角形扣除內(nèi)部六條

線段后可以形成一正六角星，如圖所示的正六角星的中心為點(diǎn)。，其中】、亍分別為點(diǎn)。

到兩個(gè)頂點(diǎn)的向量;若將點(diǎn)。到正六角星12個(gè)頂點(diǎn)的向量，都寫成al+0廠的形式，則a+b

的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

【鞏固訓(xùn)練】

1.［建平中學(xué)期中?6］已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)向量"=（1，2）、B=（，"T,m+3）使得平

面內(nèi)的任意一個(gè)向量c都可以唯一分解成‘=/"+'歸，則勿的取值范圍是.

2.［莘莊中學(xué)等四校聯(lián)考期中?10］如圖，在AA8C中，D、E分別為邊BC、AC的中

點(diǎn).廠為邊43上的點(diǎn)，且,月=3/，若麗=工通+曠亞，x,y&R,則x+y的值

為.

￡D

3.［位育中學(xué)監(jiān)控考試?11］在A48C中，AM=-AB+mAC,向量而的終點(diǎn)M在

△ABC的內(nèi)部(不含邊界)，則實(shí)數(shù)用的取值范圍是—

4.若直線/上不同的三個(gè)點(diǎn)4B,。與直線/外一點(diǎn)0,使得“2，|+x應(yīng)三2瓦成立，則滿

足條件的實(shí)數(shù)x的集合為()

A.{-L0)B.］苧,守C.］胃1%當(dāng)().{-1)

5.［普陀區(qū)晉元中學(xué)期中?16］如圖，在A/WC中，AM'^-AB,AN^-AC,BN與

34

CM交于點(diǎn)、E，若通=*通+曠恁，則%+丁=.

6.［復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)期中?21］如圖，數(shù)軸x，y的交點(diǎn)為。，夾角為6,與X軸、y軸正

向同向的單位向量分別是q.e?。由平面向量基本定理，對(duì)于平面內(nèi)的任一向量0K，存在

唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(X,y),使得麗=痛+y1,我們把(X,y)叫做點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系X。)，中

的坐標(biāo)(以下各點(diǎn)的坐標(biāo)都指在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)).

(1)若8=9()。，而為單位向量，且而與1的夾角為120。，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若6=45°,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,&)，求向量而與I的夾角.

7.（1）在AOAB中，點(diǎn)P、。分別在。4、OB上,線段PQ過三角形4B0的重心G,

設(shè)麗=0,OB=b,0P=ma,OQ=nb,試求如士的值.

mn

（2）在AABC中，點(diǎn)〃是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AC上一點(diǎn)，且跑=,，BN與CM相

AC3

交于點(diǎn)E,設(shè)A月=2,AC^b,試用KB表示衣.

8.如圖，在中，8。為邊“'上的中線，fiG=2GO,設(shè)而〃而，AD=-AB+AAC

5

（AeR）,則義的值為

9.在直角△ABC中，NC是直角，CA=4,CB=3,AABC的內(nèi)切圓交CA,CB于點(diǎn)D,E,點(diǎn)P

是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)（不包含邊界）.若方=》①+丁無，則x+y的值可以使（）

C.4D.8

10.如圖所示，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動(dòng)圓。的半徑為1,圓心在線段CO

（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，尸是圓。上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量質(zhì)=優(yōu)通+”礪（小,〃為實(shí)數(shù)）,

則m+〃的最大值為

2、平面向量與“四心”

一、單選題

例1.（2020?湖北武漢市第十一中學(xué)高一月考）已知。是△43C所在平面內(nèi)的一定點(diǎn),

△ABC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

例2.（2021?上海金山區(qū)?高三一模）已知△MC的外接圓圓心為。，乙4=120。，若

AO=xAB+yAC（x,>eR）,則1+>的最小值為（）

123

A.—B.-C.-D.2

232

例3.（2021?全國高三專題練習(xí)）己知。，從尸在△A6C所在平面內(nèi)，且

I--*|I-――-1I*1rrr一UUUULMULOJIUUKIUUULLU1

|OA|=|C>B|=|C）C|,NA+NB+NC=b，且PA-PB=PB-PC=PC-PA，則點(diǎn)。，

N,〃依次是AABC的（填三角形的四心）

例4.（2021?全國高三專題練習(xí)）已知。是平面上一定點(diǎn)，滿足

0尸=04+2(——.-------------1"-=Z---------------）,A[0,+8）,則P的軌跡一定通過AA6c的

|A8|cosB|AC|cosC€

（外心、垂心、重心、內(nèi)心）

例5.（2020?上海徐匯區(qū)?位育中學(xué)高二月考）設(shè)〃是AABC的垂心，且

3而+4而+5阮=6，則cosZABC=.

例6.已知0是面a上一定點(diǎn)，A、B、。是面a上A48C的三個(gè)頂點(diǎn)，分別是邊

AC,A3對(duì)應(yīng)的角.

①動(dòng)點(diǎn)一滿足加=厲+而+1,則的心一定在滿足條件的尸點(diǎn)集合

中.

——-AHAC

②動(dòng)點(diǎn)2滿足OP=Q4++—)(/1>0),則A48C的心一定在滿足條件

ABAC

的產(chǎn)點(diǎn)集合中.

——ARAC

③動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=QA+2(=----+=-----)(2>0),則A4BC的心一定在

Ai^sinBAOsinC

滿足條件的一點(diǎn)集合中.

——ARAC

④^點(diǎn)P滿足QP=OA+2(=-----+=-----)(2>0),則A48c的心一定在

AJHCOSBAGCOSC

滿足條件的尸點(diǎn)集合中.

OC'ARAC

⑤動(dòng)點(diǎn)尸滿足0—P?=Q/?++4(=^—+一),2G(0,+00)則MBC的

2|AB|cosB|JC|cosC

心一定在滿足條件的。點(diǎn)集合中.

例7.已知點(diǎn)。是A4BC的重心，內(nèi)角A、B、。所對(duì)的邊長分別為a、b、c,且

2aOA+hOB+^-cOC=6,則角C的大小是

3

例8.已知。是A45C內(nèi)心，若30=24萬+，A。,，貝iJcosNA4C=________.

55

?>—AA

,__..,,——?.__?、以/ADAC.-?ABAC-1?..

例9.已知非零向量9與/a黃足(---------)?於o且-----------=-,則△A/比為()

誦I\AC\\AB\|左1

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形

例10.［位育中學(xué)監(jiān)控考試?21］已知A4BC中，過重心G的直線交邊A3于P,交邊AC

于Q,設(shè)A4PQ的面積為加，A4BC的面積為S2，AP=pPB，AQ=qQC，⑴求

__pqS,

GA+GB+GC^(2)求一工的值：(3)求營■的取值范圍.

p+qs2

【鞏固訓(xùn)練】

1.己知點(diǎn)0、N、P在A48C所在平面內(nèi)，且|萬目而|=|反NA+NB+NC=0,

萬?而=而?定?莎，則點(diǎn)0、N、P依次是力8。的()

A.重心、外心、重心B.重心、外心、內(nèi)心

C.外心、重心、重心D.外心、重心、內(nèi)心

2.已知的外接圓的圓心為0,半徑為1,若3而+4應(yīng)+5亦=0,則△/%的面積為

3.已知A0N8中，刊=3,口目=2,“是AONB重心，且施?礪=0,則

cosZ.AOB-.

4.設(shè)6是△力比重心，且(56sinA)不+(40sin3)無+(35sinC)&<=6,則NB=

5.設(shè)4B,。為直線/上不同的三點(diǎn)，。為直線/外一點(diǎn).若通l+g宓+康'=0(0,q,r

CR),則p+0+r=()

A.-1B.0C.1D.3

6.[上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中?9]已知△ABC滿足|麗|=3,|祝|=4,。是△ABC的外心，

AO^AAB+——AeQeR),則△ABC的面積是

2

7.(徐匯一模)己知。是銳角△ABC的外心，tanA=-,若

2

cosB-cosC.八/八?

---------AB-\-----------AC-2m-AO>則mil頭數(shù)加=_________；

sinCsinB

備選題：與三角形“四心”相關(guān)的向量問題

題1：己知。是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

———(ABACy

OP=OA+A+,2efO,+oo).則P點(diǎn)的軌跡一定通過△人1^的()

[\AB\\AC\)

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

題2：已知。是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP=OA+A(AB+AC),2G[0,+OO).則P點(diǎn)的軌跡一定通過aABC的()

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

題3：已知0是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP=OA+A(_—+_?C—),2e[0,+oo),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的

|A8|sinB|AC|sinC

()

A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心

題4：已知0是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

—?—?ASAC

OP=OA+A(-=----------------------------),2G[0,+OO),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過^

|A5|cosB|AC|cosC

ABC的()

A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心

題5：已知0是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

__.OB+OCABAC

OP=----------------1-/1(^=：------------H——.---------),2e[0,-l-oo),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定

2\AB\cosB|AC|cosC

通過aABC的()

A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心

題6：三個(gè)不共線的向量礪，麗，花滿足礪.（怨+望尸赤.（竺+烏）=

\AB\|C4||BA|\CB\

反?（整~+-^）=0,則0點(diǎn)是△人8（：的（）

\BC\|CA|

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.外心

題7：已知。是aABC所在平面上的一點(diǎn)，若OX+0與+反=0,則。點(diǎn)是AABC的

（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

題&已知0是4ABC所在平面上的一點(diǎn)，若尸0=g（P4+尸方+尸Q（其中P為平面上任

意一點(diǎn)），則0點(diǎn)是△48（：的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

題9：已知0是aABC所在平面上的一點(diǎn)，若況?麗=0反定=0心?礪，則0點(diǎn)是△

ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

題10：己知。為aABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足|一『+|配舊而『+|夙|2=

\OC\2+\AB\2,則。點(diǎn)是△人13（：的（）

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.外心

題11：已知。是aABC所在平面上的一點(diǎn)，若（次+而）?麗=（而+3）?冊(cè)=

（反+況）-5=0,則。點(diǎn)是aABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

題12：已知0是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若4函+〃赤+C反=0,則0點(diǎn)是△ABC的

（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

___npA_i_App_i_cPC

題13：已知0是aABC所在平面上的一點(diǎn)，若用="小十'〃"十'八（其中P是aABC

a+h+c

所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)），則0點(diǎn)是△人13（：的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

題14：ZXABC的外接圓的圓心為0,兩邊上的高的交點(diǎn)為H,OH=m（OA+OB+OC）,

則實(shí)數(shù)m_.

題15：已知。為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足|麗—花|=|麗+阮一2函則4ABC

一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

三、平面向量與其他模塊知識(shí)綜合應(yīng)用

例1.函數(shù)尸sin（ox+0）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，以川分別是最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，0

為坐標(biāo)原點(diǎn)，且南?麻-0,則函數(shù)f（x）的最小正周期是.

例2.［華師大二附中期中?10］已知。=(1+(：05。,5111。)￡=(1一(：05分,5山/?),。=(1,0)

aQ(兀2兀),。與c的夾角為4，9與c的夾角為4，且4一%二^，求

.a-P

sin----=.

2

例3.平面上O,A,B三點(diǎn)不共線，設(shè)況=2麗=入則△。鉆的面積等于()

A.由謂、Q而B.MW+0而

C.；桐下『0/D,以郴1+6垃2

例4.［上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中?19］對(duì)于一組向量I，(〃eN*),令

Sn=4+4+/+…+?！?，如果存在

(pe{l,2,3...,〃}),使得|］|2|$；一可］,那么稱羨是該向量組的“〃向量”;

(1)設(shè)a“=(〃,〃+%)(〃eN"),若。3是向量組q,4,%的“〃向量”；

(2)若禮=((-r',(-l)n)(neN*),向量組I，Z，Z，...，Z(〃eN*)是否存在“〃向量”?

給出你的結(jié)論并說明理由;

例5.[華師大二附中期中?13]對(duì)于向量A片（產(chǎn)1,2,…加，把能夠使得|i+AR,

1+…+1而I取到最小值的點(diǎn)。稱為4（i=l,2,…加的“平衡點(diǎn)”.如圖，矩形力版

的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)0,延長8。至反使得6C=CE,聯(lián)結(jié)4T,分別交被、CD于F、G兩

點(diǎn).下列結(jié)論中，正確的是（）

____________/）

A.A、C的“平衡點(diǎn)”必為0

B.D、C、E的“平衡點(diǎn)”為D、E的中點(diǎn)

C.A、F、G、E的“平衡點(diǎn)”存在且唯一