matlab實現(xiàn)數值分析插值及積分

/Matlab實現(xiàn)數值分析插值與積分摘要：數值分析<numericalanalysis>是研究分析用計算機求解數學計算問題的數值計算方法與其理論的學科,是數學的一個分支,它以數字計算機求解數學問題的理論和方法為研究對象.在實際生產實踐中,常常將實際問題轉化為數學模型來解決,這個過程就是數學建模.學習數值分析這門課程可以讓我們學到很多的數學建模方法.分別運用matlab數學軟件編程來解決插值問題和數值積分問題.題目中的要求是計算差值和積分,對于問題一,可以分別利用朗格朗日插值公式,牛頓插值公式,埃特金逐次線性插值公式來進行編程求解,具體matlab代碼見正文.編程求解出來的結果為：=+.其中Aitken插值計算的結果圖如下：對于問題二,可以分別利用復化梯形公式,復化的辛卜生公式,復化的柯特斯公式編寫程序來進行求解,具體matlab代碼見正文.編程求解出來的結果為：0.6932其中復化梯形公式計算的結果圖如下：問題重述問題一：已知列表函數表格SEQ表格\*ARABIC101234121782257分別用拉格朗日,牛頓,埃特金插值方法計算.問題二：用復化的梯形公式,復化的辛卜生公式,復化的柯特斯公式計算積分,使精度小于5.問題解決問題一：插值方法對于問題一,用三種差值方法：拉格朗日,牛頓,埃特金差值方法來解決.一、拉格朗日插值法：拉格朗日插值多項式如下：

首先構造個插值節(jié)點上的插值基函數,對任一點所對應的插值基函數,由于在所有取零值,因此有因子.又因是一個次數不超過的多項式,所以只可能相差一個常數因子,固可表示成：利用得：于是因此滿足的插值多項式可表示為：從而次拉格朗日插值多項式為：matlab編程：編程思想：主要從上述朗格朗日公式入手：依靠循環(huán),運用poly〔〕函數和conv〔〕函數表示拉格朗日公式,其中的poly〔i〕函數表示以i作為根的多項式的系數,例如poly〔1〕表示x-1的系數,輸出為1-1,而poly〔poly〔1〕〕表示〔x-1〕*〔x-1〕=x^2-2*x+1的系數,輸出為1-21；而conv〔〕表示多項式系數乘積的結果,例如conv〔poly〔1〕,poly〔1〕〕輸出為1-21；所以程序最后結果為x^n+x^n-1+……+x^2+x+1〔n的值據結果的長度為準〕的對應系數.在命令窗口輸入editlagran來建立lagran.m文件,文件中的程序如下：function[c,l]=lagran<x,y>w=length<x>;n=w-1;l=zeros<w,w>;fork=1:n+1v=1;forj=1:n+1ifk~=jv=conv<v,poly<x<j>>>/<x<k>-x<j>>;endendl<k,:>=v;endc=y*l;輸入：>>x=[01234];>>y=[121782257];>>lagran<x,y>運行結果為ans=1.0000-0.0000-0.000001.0000結果為：=+.如圖表1：圖表SEQ圖表\*ARABIC1二．牛頓插值法newton插值多項式的表達式如下：其中每一項的系數ci的表達式如下：即為f<x>在點處的i階差商,〔,〕,由差商的性質可知：matlab編程：編程思想：主要從上述牛頓插值公式入手：依靠循環(huán),運用poly〔〕函數和conv〔〕函數表示拉格朗日公式,其中的poly〔i〕函數表示以i作為根的多項式的系數,例如poly〔1〕表示x-1的系數,輸出為1-1,而poly〔poly〔1〕〕表示〔x-1〕*〔x-1〕=x^2-2*x+1的系數,輸出為1-21；而conv〔〕表示多項式系數乘積的結果,例如conv〔poly〔1〕,poly〔1〕〕輸出為1-21；所以程序最后結果為x^n+x^n-1+……+x^2+x+1〔n的值據結果的長度為準〕的對應系數.在命令窗口輸入editnowpoly來建立newpoly.m文件,文件中的程序如下：function[c,d]=newpoly<x,y>n=length<x>;d=zeros<n,n>;d<:,1>=y';forj=2:nfork=j:nd<k,j>=<d<k,j-1>-d<k-1,j-1>>/<x<k>-x<k-j+1>>;endendc=d<n,n>;fork=<n-1>:-1:1c=conv<c,poly<x<k>>>;m=length<c>;c<m>=c<m>+d<k,k>;end輸入：>>x=[01234];>>y=[121782257];>>newpoly<x,y>運行結果為ans=10001所以=+.如圖表2：圖表SEQ圖表\*ARABIC2三．埃特金插值法：Aitken插值公式如下：遞推表達式為：=+當n=1時,=+當n=2時,=+其中的帶入遞推表達式求得.由此遞推下去,最終得到的結果.matlab編程：編程思想：埃特金插值多項式又稱作Aitken逐次線性插值多項式,根據公式的特點,可以利用2次嵌套循環(huán)將公式表示出來.在命令窗口輸入editAitken來建立Aitken.m文件,文件中的程序如下：functionf=Aitken<x,y>symsz;n=length<x>;y1<1:n>=z;fori=1:n-1forj=i+1:ny1<j>=y<j>*<z-x<i>>/<x<j>-x<i>>+y<i>*<z-x<j>>/<x<i>-x<j>>;endy=y1;simplify<y1>;endsimplify<y1<n>>;f=collect<y1<n>>;輸入：>>x=[01234];>>y=[121782257];>>Aitken<x,y>運行結果為ans=z^4+1所以=+.如圖表3：圖表SEQ圖表\*ARABIC3問題二：復化積分對于問題二來說,用復化的梯形公式,復化的辛卜生公式,復化的柯特斯公式結局問題〔計算積分,使精度小于5〕.一復化的梯形公式：復化梯形的迭代公式為：;matlab編程：程序1〔求f〔x〕的n階導數：〕在命令窗口輸入editqiudao來建立qiudao.m文件,文件中的程序如下：functiond=qiudao<x,n>symsx;f=1/x;n=input<'輸入導數階數：'>;d=diff<f,x,n>;輸入:qiudao〔x,n〕輸入所求導數階數:2顯示：n=2ans=2/x^3結果為：f2=2/x^3如圖表4：圖表SEQ圖表\*ARABIC4程序2：在命令窗口輸入edittixing來建立tixing.m文件,文件中的程序如下：functiony=tixing<>symsx；%定義自變量xf=inline<'1/x','x'>；%定義函數f<x>=1/xf2=inline<'2/x^3','x'>；%定義f<x>的二階導數,輸入程序1里求出的f2即可.f3='-2/x^3'；%因fminbnd〔〕函數求的是表達式的最小值,且要求表達式帶引號,故取負號,以便求最大值e=5*10^<-5>；%精度要求值a=1；%積分下限b=2；%積分上限x1=fminbnd<f3,1,2>；%求負的二階導數的最小值點,也就是求二階導數的最大值點對應的x值forn=2:1000000；%求等分數nRn=-<b-a>/12*<<b-a>/n>^2*f2<x1>；%計算余項ifabs<Rn><e%用余項進行判斷break%符合要求時結束endendh=<b-a>/n；%求hTn1=0；fork=1:n-1%求連加和xk=a+k*h；Tn1=Tn1+f<xk>；endTn=h/2*<<f<a>+2*Tn1+f<b>>>；fprintf<'用復化梯形算法計算的結果Tn='>disp<Tn>fprintf<'等分數n='>disp<n>%輸出等分數輸入：tixing<>運行結果為:用復化梯形計算的結果Tn=0.6932等分數n=58結果如圖表:5圖表SEQ圖表\*ARABIC5二復化的辛卜生公式：復化simpson迭代公式為：;matlab編程：程序1〔求f〔x〕的n階導數：〕在命令窗口輸入editqiudao來建立qiudao.m文件,文件中的程序如下：functiond=qiudao<x,n>symsx;f=1/x;n=input<'輸入導數階數：'>;d=diff<f,x,n>;輸入:qiudao〔x,n〕輸入所求導數階數:4顯示：n=4ans=24/x^5結果為：f2=24/x^5如圖表6：圖表SEQ圖表\*ARABIC6程序2：在命令窗口輸入editxinpusheng來建立xinpusheng.m文件,文件中的程序如下：functiony=xinpusheng<>symsx;f=inline<'1/x','x'>;f2=inline<'24/x^5','x'>;f3='-24/x^5';e=5*10^<-5>;a=1;b=2;x1=fminbnd<f3,1,2>;forn=2:1000000Rn=-<b-a>/180*<<b-a>/<2*n>>^4*f2<x1>;ifabs<Rn><ebreakendendh=<b-a>/n;Sn1=0;Sn2=0;fork=0:n-1xk=a+k*h;xk1=xk+h/2;Sn1=Sn1+f<xk1>;Sn2=Sn2+f<xk>;endSn=h/6*<f<a>+4*Sn1+2*<Sn2-f<a>>+f<b>>;fprintf<'用Simpson公式計算的結果Sn='>disp<Sn>fprintf<'等分數n='>disp<n>調用xinpusheng.m中xinpusheng函數：輸入：>>clear>>xinpusheng<>運行結果為用Simpson公式計算的結果Sn=0.6932等分數n=4結果如圖表7圖表SEQ圖表\*ARABIC7三復化的柯特斯公式：牛頓-柯特斯公式如下：matlab編程：<1>在命令窗口輸入editNewtonCotes來建立NewtonCotes.m文件,文件中的程序如下：function[y,Ck,Ak]=NewtonCotes<fun,a,b,n>ifnargin==1[mm,nn]=size<fun>;ifmm>=8error<'為了保證NewtonCotes積分的穩(wěn)定性,最多只能有9個等距節(jié)點！'>elseifnn~=2error<'fun構成應為：第一列為x,第二列為y,并且個數為小于10的等距節(jié)點！'>endxk=fun<1,:>;fk=fun<2,:>;a=min<xk>;b=max<xk>;n=mm-1;elseifnargin==4xk=linspace<a,b,n+1>;ifisa<fun,'function_handle'>fx=fun<xk>;elseerror<'fun積分函數的句柄,且必須能夠接受矢量輸入！'>endelseerror<'輸入參數錯誤,請參考函數幫助！'>endCk=cotescoeff<n>;Ak=<b-a>*Ck;y=Ak*fx';〔2〕在命令窗口輸入editcotescoeff來建立cotescoeff.m文件,文件中的程序如下：functionCk=cotescoeff<n>f