部編初中數(shù)學(xué)全等三角形幾何模型期末特訓(xùn)

部編初中數(shù)學(xué)全等三角形幾何模型期末特訓(xùn)【手拉手模型】如圖，點(diǎn)C是線段AB上任意一點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)A，B不重合），分別以AC，BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點(diǎn)M，BD與CE相交于點(diǎn)N．連接MN．求證：（1）△ACE≌△DCB；解：∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°.∵∠ACD+∠DCE+∠ECB=180°，∴∠DCE=60°.∴∠ACE=∠DCB=120°.∴△ACE≌△DCB(SAS).（2）△ACM≌△DCN；解：由(1)知△ACE≌△DCB∴∠EAC=∠BDC.又∵AC=DC，∠ACM=∠DCN=60°，∴△ACM≌△DCN(ASA).（3）MN∥AB．解：由(2)知△ACM≌△DCN，∴CM=CN.又∵∠MCN=60°，∴∠NMC=∠MNC=60°.∴∠NMC=∠ACM.∴MN∥AB.【半角模型】如圖在四邊形ABCD中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60度角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)．連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．解：BE+CF=EF證明如下：如圖，把△DCF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBG，則∠1=∠3，∠4=∠C，DG=DF，BG=CF，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠1+∠2=120°?60°=60°，∴∠3+∠2=60°，即∠EDG=60°，∴∠EDG=∠EDF，∵∠B+∠C=180°，∴∠B+∠4=180°，∴點(diǎn)E、B、G共線，在△EDG和△EDF中，DG=CF，∠EDG=∠EDF，ED=ED，∴△EDG≌△EDF（SAS），∴EF=EG，∵EG=BE+BG=BE+CF，∴BE+CF=EF．【角平分線模型】如圖，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，且CE⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）若AD=1，求DC；解：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠BCA=45°，

∴DH=CH，

∵BD是∠ABC的平分線，

∴DH=AD=1，

∴CD=√2（2）求證：BD=2CE．解：如圖2，延長(zhǎng)CE、BA相交于點(diǎn)F，∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，

∴∠EBF=∠ACF，

在△ABD和△ACF中∠EBF=∠ACF，AB=AC，∠BAC=∠CAF

∴△ABD≌△ACF（ASA），

∴BD=CF，

在△BCE和△BFE中∠EBF=∠CBF，BE=BE，∠CEB=∠FEB，

∴△BCE≌△BFE（ASA），

∴CE=EF，

∴BD=2CE．【中點(diǎn)模型】如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn).連接AE，DE.求∠AED的度數(shù).證明：如圖，延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB//CD，即AB//DF∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE又∵點(diǎn)E是BC中點(diǎn)∴BE=CE∴△ABE≌△FCE∴CF=AB=CD，AE=FE∴DF=2CD,又∵AD=2CD∴AD=DF,又因?yàn)辄c(diǎn)E是AF的中點(diǎn)∴DE⊥AF即∠AED=90°.【倍長(zhǎng)中線模型】已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F.求證：AF=EF證明：延長(zhǎng)AD至K，使DK=AD，連接BK，∵D為BC中線，∴BD=DC，在△ADC和△KDB中，AD=DK∠1