高考物理核心高頻考點(diǎn)專題備考專題45 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的多解問題（解析版）

專題45帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的多解問題帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動,由于多種因素的影響,使問題形成多解。多解形成原因一般包含4個方面:類型分析圖例帶電粒子電性不確定受洛倫茲力作用的帶電粒子,可能帶正電,也可能帶負(fù)電,在相同的初速度下,正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動軌跡不同,形成多解。如圖所示,帶電粒子以速度v垂直磁感線進(jìn)入勻強(qiáng)磁場,如帶正電,其軌跡為a;如帶負(fù)電,其軌跡為b磁場方向不確定在只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小,而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向時必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成多解。如圖所示,帶正電粒子以速度v垂直磁感線進(jìn)入勻強(qiáng)磁場,若B垂直紙面向里,其軌跡為a,若B垂直紙面向外,其軌跡為b臨界狀態(tài)不唯一帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時,由于粒子運(yùn)動軌跡是圓弧狀,因此,它可能穿過磁場飛出,也可能轉(zhuǎn)過180°從入射界面這邊反向飛出,于是形成多解運(yùn)動具有周期性帶電粒子在部分是電場、部分是磁場空間運(yùn)動時,運(yùn)動往往具有周期性,因而形成多解【典例1】[帶電粒子電性不確定的多解問題]（多選）如圖所示，一磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直紙面向里，且范圍足夠大。紙面上M、N兩點(diǎn)之間的距離為d，一質(zhì)量為m的帶電粒子(不計(jì)重力)以水平速度v0從M點(diǎn)垂直進(jìn)入磁場后會經(jīng)過N點(diǎn)，已知M、N兩點(diǎn)連線與速度v0的方向成30°角。以下說法正確的是(

)A.粒子可能帶負(fù)電

B.粒子一定帶正電，電荷量為mv0dB

C.粒子從M點(diǎn)運(yùn)動到N點(diǎn)的時間可能是πd3v0

D.【答案】BCD【解析】根據(jù)題意作出粒子運(yùn)動的軌跡如圖所示：A.根據(jù)左手定則及曲線運(yùn)動的條件判斷出此電荷帶正電，故A錯誤；B.由幾何知識可知：d=MN=r，根據(jù)洛倫茲力提供向心力Bqv0=mv02r，解得q=mv0dB，故B正確；

CD.粒子由M運(yùn)動到M時速度方向改變了60°角，所以粒子軌跡對應(yīng)的圓心角為θ=n×360°+60°，所以粒子運(yùn)動的時間為t=θ360°T=(n+16【典例2】[利用對稱性討論的多解問題]（多選）如圖，虛線MN的上方有垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，兩電性相同、質(zhì)量相等的粒子1、2先后從磁場邊界的O點(diǎn)沿紙面射入磁場內(nèi)，射入時粒子1、2的速度v1、v2與磁場邊界的夾角分別為30°、60°已知兩粒子在磁場中的運(yùn)動時間相同，不計(jì)粒子重力，則粒子1、2A.帶電量之比可能為4：1 B.帶電量之比可能為5：2

C.運(yùn)動半徑之比可能為4v1:v【答案】BC【解析】AB、假設(shè)磁場垂直紙面向里，根據(jù)粒子在直線邊界磁場運(yùn)動的對稱性，若粒子帶負(fù)電，則粒子1的偏轉(zhuǎn)角α=360°?2×30°=300°，2的偏轉(zhuǎn)角β=2×60°=120°，偏轉(zhuǎn)角之比為5:2，若粒子帶正電，則粒子1的偏轉(zhuǎn)角α=2×30°=60°，2的偏轉(zhuǎn)角β=360°?2×60°=240°，偏轉(zhuǎn)角之比為1:4，粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動周期，運(yùn)動時間為為偏轉(zhuǎn)角)，因?yàn)檫\(yùn)動時間t相同，質(zhì)量m相同，所以電量之比等于偏轉(zhuǎn)角之比，即當(dāng)粒子帶負(fù)電時，電量之比為5:2，粒子帶正電時，電量之比為1:4，故A錯誤，B正確；CD、粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動半徑為R=mvBq，因?yàn)橘|(zhì)量m相同，所以帶粒子帶負(fù)電時，半徑之比為2v1:5v2，粒子帶正電時，半徑之比為4v1:【典例3】[速率不同的多解問題]（多選）如圖所示，正方形abcd區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)。若一個帶正電的粒子(重力忽略不計(jì))從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間t0剛好從c點(diǎn)射出磁場?，F(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°的方向(如圖中虛線所示)，以各種不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法正確的是A.該帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點(diǎn)射出磁場

B.若該帶電粒子從ab邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)歷的時間可能是t0

C.若該帶電粒子從bc邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)歷的時間可能是32t0

D.【答案】AD【解析】由題意可知帶電粒子以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間t0剛好從c點(diǎn)射出磁場，則知帶電粒子的運(yùn)動周期為T=2t0。隨粒子速度逐漸增大，軌跡由①→②→③→④依次漸變，由圖可以知道粒子在四個邊射出時，射出范圍分別為OG、FE、DC、BA之間，不可能從四個頂點(diǎn)射出，所以A項(xiàng)正確；當(dāng)粒子從O點(diǎn)沿紙面垂直于cd邊射入正方形內(nèi)，軌跡恰好為半個圓周，即時間t0剛好為半周期，從ab邊射出的粒子所用時間小于半周期t0，從bc邊射出的粒子所用時間小于23T=4t03，所有從cd邊射出的粒子圓心角都是300°，所用時間為【典例4】[運(yùn)動過程的周期性的多解問題]如圖所示，邊長為L的等邊三角形區(qū)域ACD內(nèi)、外的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向分別垂直紙面向里、向外。三角形頂點(diǎn)A處有一質(zhì)子源，能沿∠A的角平分線發(fā)射速度大小不等、方向相同的質(zhì)子(質(zhì)子重力不計(jì)、質(zhì)子間的相互作用可忽略)，所有質(zhì)子均能通過D點(diǎn)，已知質(zhì)子的比荷qm=k，則質(zhì)子的速度不可能為（A.BkL2 B.BkL C.3BkL2 【答案】C【解析】質(zhì)子帶正電，且經(jīng)過D點(diǎn)，其可能的軌跡如圖所示：所有圓弧所對圓心角均為60°，所以質(zhì)子運(yùn)行半徑：r=Ln(n=1,2,3,…)，質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=mv2r，

解得：v=Bqrm=BkLn(n=1,2,3,…)，當(dāng)n=1、2、3時，【點(diǎn)對點(diǎn)01】如圖所示，由光滑彈性絕緣壁構(gòu)成的等邊三角形ABC容器的邊長為a，其內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，小孔O是豎直邊AB的中點(diǎn)，一質(zhì)量為為m、電荷量為+q的粒子(不計(jì)重力)從小孔O以速度v水平射入磁場，粒子與器壁多次垂直碰撞后(碰撞時無能量和電荷量損失)仍能從O孔水平射出，已知粒子在磁場中運(yùn)行的半徑小于a2，則磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值Bmin及對應(yīng)粒子在磁場中運(yùn)行的時間t為(????)A.Bmin=2mv0qa，t=7πa6v B.Bmin=2mv【答案】C【解析】粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為r，則Bqv=mv?2r，得r=mvqB，因粒子從O孔水平射入后，最終又要水平射出，則有(2n+1)r=a2，(n=1、2、3…)，聯(lián)立得B=2(2n+1)mvqa，當(dāng)n=1時B取最小值，Bmin?【點(diǎn)對點(diǎn)02】如圖所示，圓形區(qū)域直徑MN上方存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，下方存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同．現(xiàn)有兩個比荷相同的帶電粒子a、b，分別以v1，v2的速度沿圖示方向垂直磁場方向從M點(diǎn)入射，最終都從N點(diǎn)離開磁場，則(

A.粒子a、b可能帶異種電荷

B.粒子a從N點(diǎn)離開磁場時的速度方向一定與初速度v1的方向垂直

C.v1:v2可能為2:1

【答案】C【解析】A、兩粒子都從M點(diǎn)入射從N點(diǎn)出射，則a粒子向下偏轉(zhuǎn)，b粒子向上偏轉(zhuǎn)，由左手定則可知兩粒子均帶正電，故A錯誤；B、設(shè)磁場半徑為R，將MN當(dāng)成磁場的邊界，兩粒子均與邊界成45°入射，由運(yùn)動對稱性可知出射時與邊界成45°，則一次偏轉(zhuǎn)穿過MN時速度偏轉(zhuǎn)90°；同理第二次穿過MN時速度方向再次偏轉(zhuǎn)90°與初速度方向平行，故B錯誤；CD、兩粒子可以圍繞MN重復(fù)穿越，運(yùn)動有周期性，設(shè)a粒子重復(fù)k次穿過MN，b粒子重復(fù)n次穿過MN，由幾何關(guān)系可知k?2r1=2R(k=1,2,3…)，n?2r2=2R(n=1,2,3…)，

由洛倫茲力提供向心力qvB=mv2r，可得v=qBrm，而兩個粒子的比荷相同，可知v1v2=nk，如n=1，k=1時，v1【點(diǎn)對點(diǎn)03】（多選）如圖所示，直線MN與水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，左下方存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，兩磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B.一粒子源位于MN上的a點(diǎn)，能水平向右發(fā)射不同速率、質(zhì)量為m(重力不計(jì))、電荷量為q(q>0)的同種粒子，所有粒子均能通過MN上的b點(diǎn)，已知ab=L，則粒子的速度可能是(????)A.3qBL6m B.3qBL3m C.【答案】AB【解析】解：粒子可能在兩個磁場間做多次的運(yùn)動，畫出可能的粒子軌跡，如圖所示，所有圓弧的圓心角均為120°，根據(jù)幾何關(guān)系可得粒子運(yùn)動的半徑為：r=33?Ln(其中n=1，2，3，…)根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qvB=mv2r聯(lián)立可得：v=qBrm=3qBLn?3m(其中n=1，2，3，【點(diǎn)對點(diǎn)04】（多選）如圖所示，直線MN與水平方向成θ=30°角，MN的右上方區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向水平向外的勻強(qiáng)磁場，MN的左下方區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B、方向水平向里的勻強(qiáng)磁場，MN與兩磁場均垂直。一粒子源位于MN上的a點(diǎn)，能水平向右發(fā)射不同速率、質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的同種粒子(粒子重力不計(jì))，所有粒子均能通過MN上的b點(diǎn)。已知ab=L，MN兩側(cè)磁場區(qū)域均足夠大，則粒子的速率可能是(????)A.9BL8m B.qBL6m C.qBL2m【答案】BD【解析】設(shè)粒子速率為v，根據(jù)粒子在磁場中運(yùn)動，洛倫茲力做向心力可得：B′vq=mv2R；那么，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑R=mvB′q；所以，粒子在MN的右上方區(qū)域的軌道半徑情況一：ab=L=n(R1+R2)=3nmv2qB，n∈N?；故粒子速率為：v=2qBL3nm,n∈N?，

情況二：L=nR1【點(diǎn)對點(diǎn)05】（多選）如圖所示，邊長為L的正方形虛線框內(nèi)充滿著垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，虛線AC及其上方的框內(nèi)磁場方向向里，虛線AC下方的框內(nèi)磁場方向向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B?，F(xiàn)有兩個比荷相同的帶電粒子a、b，分別以v1、v2的速度沿圖示方向垂直磁場方向射入磁場，并分別從B、C兩點(diǎn)離開磁場，設(shè)a、b兩粒子在磁場中運(yùn)動的時間分別為t1、tA.粒子a一定帶正電，粒子b一定帶負(fù)電B.v1:v2可能等于1:2

C.v1:v【答案】ABD【解析】A、做出粒子的可能的運(yùn)動軌跡，結(jié)合左手定則可知：粒子a帶正電，粒子b帶負(fù)電，選項(xiàng)A正確；

BC、由題圖結(jié)合幾何關(guān)系可知：r1=22L，r2=2nL，(其中n=1、2、3、……)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qvB=mv2r，解得：v=qBrm，所以：v1：v2=r1：r2=n：2，故B正確，C錯誤；D、粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期：T=2πrv=2πmqB，t1=T4，t2=n?T6(其中n=1、2、3、……)，所以：t1：t2=3：2n，(其中n=1、2、3、……)，可知若n=1時，t1：t2=3：2，故D正確；故選：ABD。

【點(diǎn)對點(diǎn)06】如圖所示，在空間中有一坐標(biāo)系A(chǔ).該粒子一定沿y軸負(fù)方向從O點(diǎn)射出

B.該粒子射出時與y軸正方向夾角可能是74°

C.該粒子在磁場中運(yùn)動的最短時間t=53πm60qB

D.【答案】B【解析】

A、粒子進(jìn)入磁場中受到洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動，對于直線邊界，考慮軌跡圓的對稱性，粒子進(jìn)入磁場與離開磁場時速度方向與邊界的夾角相等，故粒子不可能從Ⅰ區(qū)到達(dá)O點(diǎn)，故一定是從Ⅱ區(qū)到達(dá)O點(diǎn)；畫出可能的軌跡，如圖所示：tanα=3L4L=0.75得α=37°，α+β=90°故該粒子一定沿y軸負(fù)方向從O點(diǎn)射出，故A正確，B錯誤；C、設(shè)粒子的入射速度為v，用R1，R2，T1，T2分別表示粒子在磁場I區(qū)和II區(qū)中運(yùn)動的軌道半徑和周期，則：qvB=mv2R1；qv(2B)=mv2R2

周期分別為：T1=2πR1v=2πmqB；T2=2πR2v=πmqB

粒子先在磁場I區(qū)中做順時針的圓周運(yùn)動，后在磁場II區(qū)中做逆時針的圓周運(yùn)動，然后從O點(diǎn)射出，這樣粒子從P點(diǎn)運(yùn)動到O點(diǎn)所用的時間最短。粒子在磁場I區(qū)和II區(qū)中的運(yùn)動時間分別為：t1=2β2π?T1；t2=2β2πT2

粒子從P點(diǎn)運(yùn)動到O【點(diǎn)對點(diǎn)07】（多選）如圖所示，EF和MN兩平行線將磁場分割為上、下兩部分，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子(不計(jì)重力)從EF線上的A點(diǎn)以速度v斜向下射入EF下方磁場，速度與邊界成30°角，經(jīng)過一段時間后正好經(jīng)過C點(diǎn)，經(jīng)過C點(diǎn)時速度方向斜向上，與EF也成30°角，已知A、C兩點(diǎn)間距為L，兩平行線間距為d，下列說法中正確的是(

)A.粒子不可能帶負(fù)電

B.磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可能滿足B=mvqL

C.粒子到達(dá)C點(diǎn)的時間可能為7πm3Bq+【答案】BCD【解析】由題意可知，粒子運(yùn)動的軌跡可能有以下幾種情形：

A.若粒子帶負(fù)電，粒子可沿圖甲軌跡通過C點(diǎn)，故A錯誤；B.如果粒子帶正電，且直接偏轉(zhuǎn)經(jīng)過C點(diǎn)，如圖乙所示，由幾何關(guān)系可知：R=L，由qvB=mv2R得B=mvqL，故B正確；C.在圖丙所示情形中粒子到達(dá)C點(diǎn)所用時間正好為t=56T+16T+16T+4dv=7πm3Bq+【點(diǎn)對點(diǎn)08】如圖，光滑水平桌面上有一個矩形區(qū)域cdef，cf長度為L，cd長度為1.5L，cdef區(qū)域存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。質(zhì)量為m、電荷量為?q的絕緣小球(可視為質(zhì)點(diǎn))以大小為kqBLm的初速度從f點(diǎn)向右進(jìn)入磁場區(qū)域。

(1)若小球從ed邊離開磁場，求k的最大值；

(2)若ef左邊有水平向左的勻強(qiáng)電場(圖中未畫出)，小球從ed邊中點(diǎn)離開磁場，求k的可能值?！敬鸢浮拷猓?1)小球進(jìn)入磁場以后，將做勻速圓