人教版高數(shù)必修二第7講：平面直角坐標(biāo)系的基本公式

平面直角坐標(biāo)系的基本公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________平面上兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式；兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)；會(huì)運(yùn)用這兩個(gè)公式解題．一、數(shù)軸上的基本公式1．一條給出了原點(diǎn)、度量單位和正方向的直線叫做數(shù)軸，或稱在這條直線上建立了直線坐標(biāo)系，在數(shù)軸上，若點(diǎn)P與x對(duì)應(yīng)，稱P的坐標(biāo)為x，記作P(x)．2．位移是一個(gè)既有大小，又有方向的量，通常稱作位移向量，本書中叫做向量．從點(diǎn)A到點(diǎn)B的向量，記作eq\o(AB,\s\up13(→))，A為eq\o(AB,\s\up13(→))的起點(diǎn)，B為eq\o(AB,\s\up13(→))的終點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)度稱作eq\o(AB,\s\up13(→))的長(zhǎng)度，記作|eq\o(AB,\s\up13(→))|.數(shù)軸上同向且等長(zhǎng)的向量叫做相等的向量.3．在數(shù)軸上，點(diǎn)A作一次位移到點(diǎn)B，再由點(diǎn)B作一次位移到點(diǎn)C，則位移eq\o(AC,\s\up13(→))稱作位移eq\o(AB,\s\up13(→))與位移eq\o(BC,\s\up13(→))的和，記作eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→)).在數(shù)軸上，任意三點(diǎn)A、B、C，向量eq\o(AB,\s\up13(→))、eq\o(BC,\s\up13(→))、eq\o(AC,\s\up13(→))的坐標(biāo)都具有關(guān)系：AC＝AB＋BC.4設(shè)eq\o(AB,\s\up13(→))是數(shù)軸上的任一個(gè)向量，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A(x1)、B(x2)，則AB＝OB－OA＝x2－x1，A、B兩點(diǎn)的距離d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|.平面直角坐標(biāo)系的基本公式1．平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之間的距離d(P1，P2)＝|P1P2|＝x2．平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P(x2，y2)的中點(diǎn)P(x，y)，則x=x1+x如果P為P1P2的中點(diǎn)，則稱P1與P2關(guān)于P對(duì)稱．點(diǎn)A(x0，y0)關(guān)于點(diǎn)M(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x0,2b－y0).類型一數(shù)軸例1：(1)若點(diǎn)P(x)位于點(diǎn)M(－2)、N(3)之間，求x的取值范圍；(2)試確定點(diǎn)A(a)、B(b)的位置關(guān)系．解析：數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以點(diǎn)的坐標(biāo)的大小決定彼此的相互位置，顯然右邊的點(diǎn)的坐標(biāo)要大于左邊的點(diǎn)的坐標(biāo)．答案：(1)由題意可知，點(diǎn)M(－2)位于點(diǎn)N(3)的左側(cè)，且點(diǎn)P(x)位于點(diǎn)M(－2)、N(3)之間，∴－2<x<3.(2)確定兩點(diǎn)的位置關(guān)系，需要討論實(shí)數(shù)a、b的大小關(guān)系：當(dāng)a>b時(shí)，點(diǎn)A(a)位于點(diǎn)B(b)的右側(cè)；當(dāng)a<b時(shí)，點(diǎn)A(a)位于點(diǎn)B(b)的左側(cè)；當(dāng)a＝b時(shí)，點(diǎn)A(a)與點(diǎn)B(b)重合．練習(xí)1：下列各組點(diǎn)中，點(diǎn)M位于點(diǎn)N左側(cè)的是()A．M(－2)、N(－3)B．M(2)、N(－3)C．M(0)、N(6)D．M(0)、N(－6)答案：點(diǎn)M(0)在點(diǎn)N(6)的左側(cè)，故選C.練習(xí)2：下列各組點(diǎn)中M位于N右側(cè)的是（）A．M(-4)、N(－3)B．M(0)、N(6)C．M(3)、N(6)D．M(-4)、N(－6)答案：D例2：已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，A、B之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，求向量eq\o(OA,\s\up13(→))、eq\o(AB,\s\up13(→))的坐標(biāo)．解析：由向量定義求解即可．答案：∵點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為3或－3.當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為3時(shí)，∵A、B之間的距離為1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為2或4.此時(shí)eq\o(OA,\s\up13(→))的坐標(biāo)為3，eq\o(AB,\s\up13(→))的坐標(biāo)為－1或1.當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為－3時(shí)，∵A、B之間的距離為1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為－4或－2.此時(shí)eq\o(OA,\s\up13(→))的坐標(biāo)為－3，eq\o(AB,\s\up13(→))的坐標(biāo)為－1或1.練習(xí)1：已知數(shù)軸上的三點(diǎn)A(－1)、B(5)、C(x)．(1)當(dāng)|AB|＋d(B，C)＝8時(shí)，求x；(2)當(dāng)AB＋CB＝0時(shí)，求x；(3)當(dāng)eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))時(shí)，求x.答案：(1)由題意可知，|AB|＝|5－(－1)|＝6，d(B，C)＝|x－5|.當(dāng)|AB|＋d(B，C)＝8時(shí)，有6＋|x－5|＝8，解得x＝3或x＝7.(2)由AB＋CB＝0可知，5－(－1)＋5－x＝0，解得x＝11.(3)由eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))可知AB＝BC，故5－(－1)＝x－5，所以x－5＝6，解得x＝11.練習(xí)2：數(shù)軸上任意三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為a、b、c，那么有下列關(guān)系：①AB＋AC＝BC；②eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→))；③|AB|＝|AC|＋|CB|；④BC＝b－c；⑤A、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\f(c－a,2).其中正確的有________．(填序號(hào))答案：②AB、AC、BC的關(guān)系為AB＋BC＝AC，故①錯(cuò)誤；根據(jù)向量的和可知eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→))，故②正確；因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置關(guān)系共有六種情況，所以|AB|、|AC|、|CB|的關(guān)系有三種情況，而|AB|＝|AC|＋|CB|是其中一種情況，故③錯(cuò)誤；向量eq\o(BC,\s\up13(→))的坐標(biāo)是終點(diǎn)C的坐標(biāo)c減去起點(diǎn)B的坐標(biāo)b，即BC＝c－b，故④錯(cuò)誤；A、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\f(a＋c,2)，故⑤錯(cuò)誤．類型二中點(diǎn)坐標(biāo)公式例3：平行四邊形ABCD三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,3)、B(4,0)、D(5,3)，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．解析：運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式先求出?ABCD兩對(duì)角線交點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．答案：設(shè)AC與BD交點(diǎn)為M(a，b)，則M為BD的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,2),b＝\f(3,2))).又設(shè)C(x0，y0)，則M為AC的中點(diǎn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)＝\f(2＋x0,2),\f(3,2)＝\f(3＋y0,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝7,y0＝0)).∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(7,0)．練習(xí)1：已知點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B(2,1)的對(duì)稱點(diǎn)為C(－4,3)，C關(guān)于D的對(duì)稱點(diǎn)為E(－6，－3)，求A、D的坐標(biāo)及AD中點(diǎn)坐標(biāo)．答案：設(shè)A(x1，y1)，∵A、C中點(diǎn)是B，∴eq\f(x1－4,2)＝2，eq\f(y1＋3,2)＝1，∴x1＝8，y1＝－1，即A(8，－1)．設(shè)D(x2，y2)，∵D是C、E中點(diǎn)，∴x2＝eq\f(－4－6,2)＝－5，y2＝eq\f(3－3,2)＝0.即D(－5,0)．∴A、D中點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8－5,2)，\f(－1＋0,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2))).練習(xí)2：設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)為P(2，－1)，則|AB|等于()A．5 B．4eq\r(2)C．2eq\r(5) D．2eq\r(10)答案：設(shè)A(a,0)、B(0，b)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝\f(a＋0,2),－1＝\f(0＋b,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝－2)).即A(4,0)、B(0，－2)，∴|AB|＝eq\r(0－42＋－2－02)＝2eq\r(5)，故選C.類型三兩點(diǎn)間距離公式例4：已知A(3，－4)與B(a,3)兩點(diǎn)間距離為7eq\r(2)，求a的值．解析：用兩點(diǎn)間距離公式即可.答案：∵d(A，B)＝7eq\r(2)，∴(a－3)2＋(3＋4)2＝(7eq\r(2))2，∴a＝10或a＝－4.練習(xí)1：求下列兩點(diǎn)間的距離：(1)A(2,5)、B(3，－4)；(2)A(eq\r(2)－1，eq\r(3)＋eq\r(2))、B(eq\r(2)＋1，eq\r(3)－eq\r(2))；答案：(1)Δx＝3－2＝1，Δy＝－4－5＝－9.∴d(A，B)＝eq\r(Δx2＋Δy2)＝eq\r(12＋－92)＝eq\r(82).(2)Δx＝eq\r(2)＋1－(eq\r(2)－1)＝2，Δy＝(eq\r(3)－eq\r(2))－(eq\r(3)＋eq\r(2))＝－2eq\r(2)，∴d(A，B)＝eq\r(Δx2＋Δy2)＝eq\r(22＋－2\r(2)2)＝2eq\r(3).練習(xí)2：已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,1)、(2，－1)、(－1，－3)，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為________．答案：(4,3)或(－2，－1)或(0，－5)①當(dāng)(1,1)與(2，－1)為一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)時(shí)，第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,3)；②當(dāng)(1,1)與(－1，－3)為一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)時(shí)，第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，－1)；③當(dāng)(2，－1)與(－1，－3)為一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)時(shí)，第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－5)．1．下列命題：①相等的向量，它們的坐標(biāo)相等；反之，若數(shù)軸上兩個(gè)向量的坐標(biāo)相等，則這兩個(gè)向量相等；②對(duì)于任何一個(gè)實(shí)數(shù)，數(shù)軸上存在一個(gè)確定的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)；③數(shù)軸上向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是一個(gè)數(shù)，實(shí)數(shù)的絕對(duì)值為線段AB的長(zhǎng)度，如果起點(diǎn)指向終點(diǎn)的方向與數(shù)軸同方向，則這個(gè)實(shí)數(shù)取正數(shù)，反之取負(fù)數(shù)；④起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐標(biāo)是0.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．答案：D2．A、B為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，B的坐標(biāo)為－5，BA＝－6，則A的坐標(biāo)為()A．－11 B．－1或11C．－1 D．1或－11答案：A3．?dāng)?shù)軸上點(diǎn)P、M、N的坐標(biāo)分別為－2、8、－6，則在①M(fèi)N＝NM；②MP＝－10；③PN＝－4中，正確的表示有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)答案：C4．點(diǎn)P(2，－1)關(guān)于點(diǎn)M(3,4)的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()A．(1,5) B．(4,9)C．(5,3) D．(9,4)答案：B5．以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)為頂點(diǎn)的三角形是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形答案：B6.數(shù)軸上一點(diǎn)P(x)，它到A(－8)的距離是它到B(－4)距離的3倍，則x＝________.答案：－2或－57.已知點(diǎn)A(2x)、B(x)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，則x的取值范圍為________．答案：(0，＋∞)8.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(2,1)、B(－2,3)、C(0，－1)，則BC邊上中線的長(zhǎng)為__________．答案：39.已知A(6,1)、B(0，－7)、C(－2，－3)．(1)求證：△ABC是直角三角形；(2)求△ABC的外心的坐標(biāo)．答案：(1)|AB|2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100，|BC|2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20，|AC|2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80，因?yàn)閨AB|2＝|BC|2＋|AC|2，所以△ABC為直角三角形，∠C＝90°.(2)因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，所以其外心是斜邊AB的中點(diǎn)，所以外心坐標(biāo)為(eq\f(6＋0,2)，eq\f(1－7,2))，即(3，－3).10．已知兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)如下，求AB、|AB|.(1)A(2)、B(5)；(2)A(－2)、B(－5)．答案：(1)AB＝5－2＝3，|AB|＝|5－2|＝3.(2)AB＝(－5)－(－2)＝－3，|AB|＝|(－5)－(－2)|＝3.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1．?dāng)?shù)軸上向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)為－8，且B(－5)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A．1 B．2C．3 D．4答案：C2．?dāng)?shù)軸上兩點(diǎn)A(2x＋a)，B(2x)，則A、B兩點(diǎn)的位置關(guān)系是()A．A在B左側(cè) B．A在B右側(cè)C．A與B重合 D．由a的取值決定答案：D3．已知兩點(diǎn)A(a，b)、B(c，d)，且eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2)＝0，則()A．原點(diǎn)一定是線段AB的中點(diǎn)B．A、B一定都與原點(diǎn)重合C．原點(diǎn)一定在線段AB上但不是中點(diǎn)D．以上結(jié)論都不正確答案：D4．已知線段AB的中點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，且A(x,2)、B(3，y)，則x＋y等于()A．5 B．－1C．1 D．－5答案：D5．點(diǎn)M到x軸和到點(diǎn)N(－4,2)的距離都等于10，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________．答案：(2,10)或(－10,10)能力提升6．下列各組點(diǎn)：①M(fèi)(a)和N(2a)；②A(b)和B(2＋b)；③C(x)和D(x－a)；④E(x)和F(x2)．其中后面的點(diǎn)一定位于前面的點(diǎn)的右側(cè)的是(A．① B．②C．③ D．④答案：B7.已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為eq\f(1,3)、－eq\f(1,3)，則d(A，B)為()A．0 B．－eq\f(2,3)\f(2,3)\f(1,9)答案：C8.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A(a)、B(b)，則在數(shù)軸上滿足條件|PA|＝|PB|的點(diǎn)P坐標(biāo)為()\f(b－a,2) \f(a－b,2)\f(a＋b,2) D．b－a答案：C9.設(shè)A(3,4)，在x軸上有一點(diǎn)P(x,0)，使得|PA|＝5，則x等于()A．0 B．6C．0或6 D．