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高一數(shù)學同步輔導講義 高一數(shù)學同步輔導講義PAGE1第13講函數(shù)應用【必備知識】1函數(shù)的零點:對于函數(shù),我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.備注1:方程的實數(shù)解函數(shù)的零點函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標.備注2:函數(shù)零點存在定理:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,并且有,那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點,即存在,使得,這個也就是方程的解.2二分法;對于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù),通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.3常見函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型反比例函數(shù)模型二次函數(shù)模型指數(shù)型函數(shù)模型對數(shù)型函數(shù)模型冪函數(shù)型模型【題型精講】【題型一求函數(shù)零點】【題1】函數(shù)的零點個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【分析】分解因式求解方程的根.【詳解】函數(shù)的零點,即方程的實數(shù)根.由解得,或.故函數(shù)函數(shù)的零點個數(shù)是.故選:D.【題2】函數(shù)的零點為(

)A. B.2 C. D.【答案】A【分析】根據(jù)零點的定義即可求解.【詳解】令,得,則.故選:A【題3】函數(shù)的零點是(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】解方程,即可得出答案.【詳解】解方程,即,解得或,因此,函數(shù)的零點為.故選:.【題4】設是函數(shù)的兩個零點,則的值為(

)A.2 B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)題意得到是函數(shù)的根,再利用韋達定理求解即可.【詳解】因為是函數(shù)的根,由題意,,,故選:D.【題5】函數(shù)的零點是.【答案】/0.5【分析】直接令,解出即可.【詳解】令,解得,故答案為:.【題6】已知函數(shù)則函數(shù)的零點為【答案】【分析】結合函數(shù)的解析式分類討論求解即可.【詳解】當時,由,即,解得或(舍),當時,由,解得,綜上可得,函數(shù)的零點為.故答案為:.【題7】已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點構成的集合為.【答案】【分析】本題即求方程的所有根的集合,先解方程,得到,然后再解方程,可得所求.【詳解】函數(shù)的零點,即方程的所有根,令,根據(jù)函數(shù),方程的解是,則方程的根,即為方程的根,當時,,由,,當時,,由,,綜上,函數(shù)所有零點構成的集合是.故答案為:.【題8★】已知是函數(shù)的零點,則.【答案】【分析】根據(jù)題意列出方程,進而得到進行求解即可.【詳解】由題可知,,所以,所以,所以,所以.故答案為:【題型二判斷零點所在區(qū)間】【題1】函數(shù)一定存在零點的區(qū)間是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在定理知識可求解判斷.【詳解】對于A項:,,得:,故區(qū)間上不一定存在零點,故A項錯誤;對于B項:,,得:,故區(qū)間上不一定存在零點,故B項錯誤;對于C項:,,得,故區(qū)間上一定存在零點,故C項正確;對于D項:,,得,故區(qū)間上不一定存在零點,故D項錯誤;故選:C.【題2】已知函數(shù),則下列區(qū)間中含有的零點的是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】先判斷在上遞增,再根據(jù)零點存在性定理求解即可.【詳解】因為函數(shù)在上都遞增,所以在上遞增,又因為,,所以,所以區(qū)間含有的零點,故選:B.【題3】函數(shù)的零點一定位于區(qū)間(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】利用零點存在性定理即可判定函數(shù)的零點所在區(qū)間.【詳解】因為,所以,,又在上連續(xù)不間斷,且單調(diào)增,所以的零點一定位于區(qū)間,故選:B.【題4】函數(shù)的零點一定位于下列哪個區(qū)間(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用零點的存在性定理進行分析判斷即可.【詳解】在上為單調(diào)遞增函數(shù),又,故,所以的零點一定在內(nèi).故選:B.【題5】如果是函數(shù)的零點,那么一定在下列哪個區(qū)間中(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在性定理進行計算即可.【詳解】因為,易得是上的遞增函數(shù),因為,所以函數(shù)的唯一零點在區(qū)間內(nèi),故選:【題6】設,用二分法求方程在內(nèi)近似解的過程中得,則下列必有方程的根的區(qū)間為(

)A. B. C. D.不能確定【答案】C【分析】根據(jù)零點存在定理判斷.【詳解】由題可知函數(shù)為增函數(shù),結合零點存在定理知在區(qū)間上必有根.故選:C.【題7】函數(shù)的零點所在的區(qū)間是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)零點存在性定理,即可判斷選項.【詳解】函數(shù)為增函數(shù),,,,,所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間為.故選:B【題8】函數(shù)的一個零點在內(nèi),另一個零點在(

)內(nèi).A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)題意結合零點存在性定理列不等式組求解即可.【詳解】因為函數(shù)的一個零點在內(nèi),所以,又因為函數(shù)在連續(xù)不斷,根據(jù)零點存在性定理另一個零點在內(nèi).故選:C.【題9】(多選)已知函數(shù)的零點所在的區(qū)間可能是(

)A. B. C. D.【答案】AD【分析】確定函數(shù)有兩個零點,計算,,,,得到答案.【詳解】,,故函數(shù)有兩個零點,,,故上有零點;,,故上有零點;故零點所在的區(qū)間為,.故選:AD【題10】(多選)若函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的,且,,則下列命題不正確的是(

)A.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點B.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點C.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點【答案】ABC【分析】根據(jù)零點存在定理分析判斷.【詳解】因為,則中有一個小于0,另兩個大于0,或三個都小于0.若,又,則,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點;若,又,則,,所以函數(shù)在區(qū)間,內(nèi)有零點;若,又,則,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點;若,又,則,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,綜上,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點,因此ABC錯誤,D正確.故選:ABC.【題11】設為方程的解,若,則的值為.【答案】【分析】令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,結合零點存在定理,即可得出答案.【詳解】由題意可知是方程的解,所以,令,因為,為R上的增函數(shù),根據(jù)零點存在定理可得.根據(jù),可得.故答案為:.【題12】已知方程的根在區(qū)間,上,則.【答案】【分析】移項作差構造函數(shù)后,根據(jù)零點定理即可求解.【詳解】原問題轉化為的零點所在區(qū)間問題,函數(shù)是增函數(shù),所以,,所以,函數(shù)的零點在之間,函數(shù)的零點在區(qū)間,上,,故答案:.【題型三根據(jù)零點求參】【題1】若不等式的解集為,則函數(shù)的零點為(

)A.和 B.和 C.2和 D.和【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程根之間的關系求解,然后根據(jù)零點的定義求解即可.【詳解】因為的解集為,所以方程的兩根分別為和2,且,則,解得,故函數(shù),則與軸的交點坐標為和,所以零點為和.故選:D.【題2★】已知函數(shù),若方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】轉化為與的圖象有2個不同的交點,結合圖象可得答案.【詳解】函數(shù)的圖象如下圖,方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根可看作的圖象與的圖象有2個不同的交點,可得.故選:A.【題3】已知的零點為1和3,則.【答案】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系求解即可.【詳解】因為的零點為1和3,即的兩根為1和3,所以,解得,所以,故答案為:【題4】若函數(shù)只有一個零點,則實數(shù)的值是.【答案】或【分析】分和討論,當時,利用求解可得.【詳解】當時,由得,滿足題意;當時,因為只有一個零點,所以,解得.綜上,實數(shù)的值為或.故答案為:或【題5】已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點,則的取值范圍是.【答案】【分析】用兩個零點表示所求關系式即可求解.【詳解】記題設的兩個零點為,則由知所以,所以故答案為:.【點睛】關鍵點點睛:本題解題關鍵是將用兩個零點表示,結合零點的范圍可得答案.【題6★】已知關于x的不等式恰有一個整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】畫出函數(shù)和的圖像,根據(jù)圖像知且,解得答案.【詳解】,畫出函數(shù)和的圖像,如圖所示:不等式恰有一個整數(shù)解,則這個整數(shù)解為,故且,解得.故答案為:【題7★】已知函數(shù),若函數(shù)有三個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】令,分析可知,方程有三個不等的實根,由可得,其中,令,其中,則函數(shù)和的圖象有三個交點,數(shù)形結合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】令,若函數(shù)有三個不同的零點,則方程有三個不等的實根,令,可得,其中,令,其中,則,作出函數(shù)和的圖象如下圖所示:由圖可知,當時,直線和的圖象有三個交點,因此,實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【題8★】已知函數(shù),若存在非零實數(shù),使得,則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意,轉化為在上存在根,結合二次函數(shù)的圖象與性質,列出不等式,即可求解.【詳解】設,則,使得成立,即在上存在根,設,則的圖象與的非負半軸有公共點,因為對稱軸的方程為,只需,即,設,則,使得成立,即,即在上存在根,設,則的圖象與的負半軸有公共點,因為對稱軸的方程為,只需,即,綜上可得,實數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【題9】已知定義在的函數(shù),其中.(1)若方程有解,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若對任意實數(shù),不等式在區(qū)間上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1);(2)【分析】(1)由題意可將原方程變形為,利用轉化的思想可知函數(shù)的圖象有交點,結合二次函數(shù)的性質即可求解;(2)易知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),則、,結合恒成立問題,列出不等式組,解之即可求解.【詳解】(1)已知,當時則.要使方程有解有解,即方程有根;轉化為函數(shù)的圖象有交點;又函數(shù)的函數(shù)值大于,故實數(shù)a的取值范圍為.(2)由可知,函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),;故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為:,最小值為:對于任意實數(shù),不等式在區(qū)間上恒成立,等價于:,即,解得,對任意實數(shù)恒成立,即,解得:.故實數(shù)a的取值范圍為.【題10★】已知,(1)若定義在上的函數(shù)是奇函數(shù),求a的值;(2)若函數(shù)在上有兩個零點,求a的取值范圍.【答案】(1);(2)【分析】(1)根據(jù)題意,結合,得出方程,進而求得實數(shù)的值;(2)令,得到,得到,令,轉化方程可化為上有兩個不相等的根,方法一:設,結合二次函數(shù)的性質,列出不等式組,即可求解;方法二:把方程化為,求得,結合,即可求解.【詳解】(1)解:因為是奇函數(shù),所以,可得,即恒成立,因為,所以且,所以.(2)解:由,令,可得,所以,兩邊同乘以并整理,得.令,因為,所以,于是方程可化為,(*)問題轉化為關于的方程(*)在上有兩個不相等的根,顯然,方法一:設,拋物線的對稱軸為,.若,由知,必有一個零點為負數(shù),不合題意;若,要使在上有兩個零點,由于對數(shù)軸,故只需,即,解得.綜上可得,實數(shù)的取值范圍是.方法二:方程(*)可化為,若,則,矛盾,故,故,所以,即或,①;此時,,即,其中,則,即,即,可得,解得②由①②得a的取值范圍是.【題型四二分法求方程近似解】【題1】在用“二分法”求函數(shù)零點近似值時,若第一次所取區(qū)間為,則第二次所取區(qū)間可能是(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)“二分法”的處理過程寫出第二次所取區(qū)間即可.【詳解】由題意,根據(jù)二分法取值,即判斷或的符號,所以第二次所取區(qū)間可能是或.故選:A【題2】下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】能用二分法求零點的函數(shù),必須滿足函數(shù)在零點的左右兩側函數(shù)值異號,逐一檢驗各選項即可得出結論.【詳解】易知函數(shù)的零點為,而在零點左右兩側的函數(shù)值符號都為正,不是異號的,故不能用二分法求函數(shù)的零點;而選項A、B、D中的函數(shù),它們在各自的零點左右兩側的函數(shù)值符號相反,可以用二分法求函數(shù)的零點;故選:C【題3】判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有無零點,如果有,求出一個近似零點(精確度0.1)?【答案】有,【分析】根據(jù)題意,利用零點存在定理可判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,再由二分法求近似解可將零點近似限定在內(nèi),即可求得其近似零點.【詳解】因為,,且函數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線,由零點存在定理可知它在區(qū)間內(nèi)有零點,用二分法逐步計算,列表如下:區(qū)間中點值中點函數(shù)近似值1.251.3751.31251.34375由于,所以函數(shù)的一個近似零點為.【題4】已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,求方程在區(qū)間內(nèi)的一個近似解.(精確度為0.1)【答案】1.2【分析】根據(jù)題意,函數(shù)在區(qū)間上的零點就是方程在區(qū)間內(nèi)的解,由二分法求出函數(shù)在區(qū)間上的零點,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)在區(qū)間上的零點就是方程在區(qū)間內(nèi)的解,由于函數(shù)和均為單調(diào)遞增函數(shù),所以在區(qū)間上遞增,,,,則的零點在上,又由,而,則的零點在上,又由,而,則的零點在上,又由,而,則的零點在上,此時滿足精確度為0.1,則函數(shù)在區(qū)間上的零點近似為1.2,故方程在區(qū)間內(nèi)的近似解為1.2.【題型五函數(shù)模型的應用】【題1】如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展,極大地促進了社會經(jīng)濟發(fā)展和資源整合.已知某類果蔬的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關系(a,b為常數(shù)),若該果蔬在6℃的保鮮時間為216小時,在24℃的保鮮時間為8小時,那么在12℃時,該果蔬的保鮮時間為(

)A.16小時 B.24小時 C.36小時 D.72小時【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出解析式,再將代入求值即可.【詳解】由題設,,所以時,,此時小時.故選:D【題2】一種藥在病人血液中的量保持在以上時才有療效,而低于時病人就有危險.現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥,如果藥在血液中以每小時的比例衰減,以保證療效,那么下次給病人注射這種藥的時間最遲大約是(參考數(shù)據(jù):)(

)A.5小時后 B.7小時后C.9小時后 D.11小時后【答案】B【分析】設小時后減少到,依題意可得,兩邊同時取對數(shù),再根據(jù)對數(shù)的運算法則計算可得.【詳解】設小時后減少到,則,則,即,則,則,則注射時間需小于小時.故選:B.【題3】在一次物理實驗中某同學測量獲得如下數(shù)據(jù):123455.38011.23220.18434.35653.482下列所給函數(shù)模型較適合的是(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】由數(shù)據(jù)中y隨x的變化情況,分析適用的函數(shù)模型.【詳解】由所給數(shù)據(jù)可知y隨x的增大而增大,且增長速度越來越快,而A中的函數(shù)增長速度保持不變,B中的函數(shù)增長速度越來越慢,C中的函數(shù)是隨x的增大而y減小,D中的函數(shù)符合題意.故選:D.【題4】紅星幼兒園要建一個長方形露天活動區(qū),活動區(qū)的一面利用房屋邊墻(墻長),其它三面用某種環(huán)保材料圍建,但要開一扇寬的進出口(不需材料),共用該種環(huán)保材料,則可圍成該活動區(qū)的最大面積為(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】設這個活動區(qū)垂直于墻的一邊長是,則平行于墻的一邊是,面積,再利用二次函數(shù)的性質解答即可.【詳解】設這個活動區(qū)垂直于墻的一邊長是,則平行于墻的一邊是,面積,墻長,所以,解得,對稱軸方程,拋物線開口向下,,函數(shù)在上遞減,當時,最大為(),故選:C.【題5】2022年12月7日,國務院發(fā)布了精準防控新冠疫情的十條最新措施,以減輕疫情防控對企業(yè)經(jīng)營和民眾生活帶來的損失.某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場力,計劃改進技術生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為10萬元,最大產(chǎn)能為10

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