基本不等式-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）必修第一冊(cè)

第3章不等式

把一個(gè)物體放在天平的一個(gè)盤子上，在另一個(gè)盤子上放砝碼使天平平衡，稱得物體的質(zhì)量為a.如果天平制造得不精確，天平的兩臂長(zhǎng)略有不同(其他因素不計(jì))，那么a

并非物體的實(shí)際質(zhì)量.不過，我們可作第二次測(cè)量：把物體調(diào)換到天平的另一個(gè)盤子上，此時(shí)稱得物體的質(zhì)量為b.那么如何合理地表示物體的質(zhì)量呢?

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)●兩個(gè)正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系?3.2.1基本不等式的證明

也就是說，兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)，兩者相等.下面證明上述猜想是正確的.證法1對(duì)于正數(shù)a，b，有

證法2

證法3對(duì)于正數(shù)a，b，有

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立.(1)公式：①條件：a，b是正數(shù)；②結(jié)論：____________；③等號(hào)成立：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí).一、基本不等式

當(dāng)a，b≥0時(shí)，這個(gè)不等式仍然成立.

(3)變形式：

當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，請(qǐng)用基本不等式證明這兩個(gè)不等式.

這兩個(gè)不等式通?？梢灾苯邮褂?【思考】(1)基本不等式成立的條件能省略嗎?

(2)“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立”的含義是什么?

二、基本不等式求最值的結(jié)論*

大小a＝b例1設(shè)a，b

為正數(shù)，證明下列不等式成立：

例2

【基礎(chǔ)小測(cè)】

?

?

?

B解析：因?yàn)椴坏仁匠闪⒌那疤釛l件是各項(xiàng)均為正，

所以x－2y＞0，即x＞2y.解析3.設(shè)x，y

滿足x＋y＝40，且x，y

都是正數(shù)，則

xy

的最大值為_________.

400

解析【跟蹤訓(xùn)練】1.已知ab＝4，a＞0，b＞0，則a＋b

的最小值為(

).

A.1 B.2 C.4 D.8C

解析

B

解析

C

解析

解析

x＜y

解析練習(xí)1.計(jì)算下列兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(其中p＞0)：(1)2，8；(2)3，12；(3)p，9p；(4)2，2p2.

(3)p，9p；(4)2，2p2.解：(3)p，9p的算術(shù)平均數(shù)為5p，幾何平均數(shù)為3p；(4)2，2p2的算術(shù)平均數(shù)為1＋p2，

幾何平均數(shù)為2p；2.如圖，我國(guó)古代的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角

形圍成的.設(shè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a，b，根據(jù)圖

示，大正方形的面積與四個(gè)小直角三角形的面積之和

存在不等關(guān)系，用a，b

表示這種關(guān)系.

3.證明：

證明：∵0°＜α＜90°，∴0°＜2α＜180°，∴sin2α∈(0，1]，∴1＋sin2α∈(1，2]，∴(sinα＋cosα)2∈(1，2]，∴1＜(sinα＋cosα)2≤2，∴1＜(sinα＋cosα)2≤2，得證.3.2.2基本不等式的應(yīng)用

例3用長(zhǎng)為4a

的鐵絲圍成一個(gè)矩形，怎樣才能使所圍矩形的面積最大?

上式當(dāng)且僅當(dāng)x＝2a－x，即x＝a

時(shí)，等號(hào)成立.由此可知，當(dāng)x＝a時(shí)，S＝(2a－x)取得最大值a2.答將鐵絲圍成正方形時(shí)面積最大，最大面積為a2.例4某工廠建造一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體貯水池，其容積為4800m，深度為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低總造價(jià)為多少元?

對(duì)于正數(shù)a，b，在運(yùn)用基本不等式時(shí)，應(yīng)注意：例5

例6如圖3-2-3，一份印刷品的排版面積(矩形)為A，它的兩邊都留有寬為a

的空白，頂部和底部都留有寬為的空白如何選擇紙張的尺寸，才能使紙的用量最少?解

設(shè)紙張的面積為S，排版矩形的長(zhǎng)和寬分別是x，y(x＞0，y＞0)，則xy＝A.

【跟蹤訓(xùn)練】

D

解析

D

解析

4

解析4.某游泳館出售冬季游泳卡，每張240元,其使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每天只限一次.某班有48名同學(xué)，老師打算組織同學(xué)們集體去游泳，除需購(gòu)買若干張游泳卡外，每次游泳還需包一輛汽車,無論乘坐多少名同學(xué)，每次的包車費(fèi)均為40元.若使每名同學(xué)游8次，每人最少應(yīng)交多少元錢?

練習(xí)

D

D3.設(shè)x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20，求xy的最大值.

4.將一段圓木制成橫截面是矩形的柱子，怎樣加工才能

使橫截面的面積最大?

故AB＝2rcosα，BC＝2rsinα，故S＝4r2sinαcosα＝2r2sin2α≤2r2，故當(dāng)α＝45°時(shí)，sin2α

取得最大值1，此時(shí)面積S取得最大值S＝2r2.5.如圖，質(zhì)量是W

的重物掛在桿上距支點(diǎn)a處.質(zhì)量均

的桿子每單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為m.杠桿應(yīng)當(dāng)多長(zhǎng)，才能

使得加在另一端用來平衡重物的力F最小?

習(xí)題3.2感受·理解1.證明下列不等式：(1)a2＋b2≥2a＋2b－2；證明：∵a2＋1＞2a，b2＋1＞2b，

∴a2＋b2＋2≥2a＋2b，

即a2＋b2≥2a＋2b－2.

3.證明：

6.如圖，墻角線互相垂直，長(zhǎng)為am的木棒AB的兩個(gè)端

點(diǎn)分別在這兩墻角線上，如何放置木棒才能使圍成區(qū)

域的面積最大?解：如圖，設(shè)AO＝am，BO＝y(tǒng)m.∵OA⊥OB∴OA2＋OB2＝AB2∴

x2＋y2＝a2

證明：設(shè)點(diǎn)A(b，a)，B(－c,－c)，C(－d，－d)，∵a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，∴點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第三象限，

點(diǎn)C第三象限，

且點(diǎn)B、點(diǎn)C都在直線y＝x上，

思考·運(yùn)用

解：設(shè)提價(jià)前的價(jià)格為1，那么兩次提價(jià)后的價(jià)格為，

方案甲：(1＋p%)(1＋q%)

＝1＋p%＋q%＋0.01pq%；方案乙：(1＋q%)(1＋p%)

＝1＋p%＋q%＋