第四章 數(shù)列單元檢測(cè)B-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)尖子生同步培優(yōu)題典（人教A版選擇性必修第二冊(cè)）（解析版）

2020-2021年高二數(shù)學(xué)選擇性必修二尖子生同步培優(yōu)題典第四章數(shù)列單元檢測(cè)B解析版學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________注：本檢測(cè)滿分150分。其中8道單選題，4道多選題，4道填空題，6道解答題一、單選題1．已知等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則（）A．-4 B．-6 C．-8 D．-10【答案】B【解析】【分析】把，用和公差2表示，根據(jù)，，成等比數(shù)列，得到解得.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，即解得故選：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，與等比中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則公比等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由條件可得，即可求出.【詳解】因?yàn)?，所以所以，即因?yàn)?，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是等比數(shù)列的知識(shí)，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，較簡(jiǎn)單.3．已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由條件可設(shè)，，然后計(jì)算出和即可.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，且，所以可設(shè)，，所以，，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.4．若數(shù)列滿足：，而數(shù)列的前項(xiàng)和最大時(shí)，的值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】方法一：∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為19，公差為-3的等差數(shù)列．則．所以時(shí)，取最大值．選B．方法二：∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為19，公差為-3的等差數(shù)列．∴，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以時(shí)，取最大值．選B．點(diǎn)睛：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的常用方法：①利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；②利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；③將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(A、B為常數(shù))看作關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．5．著名物理學(xué)家李政道說：“科學(xué)和藝術(shù)是不可分割的”.音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的，它們是按照嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法確定的.我國(guó)明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一個(gè)利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個(gè)半音，使相鄰兩個(gè)半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表所示，其中表示這些半音的頻率，它們滿足.若某一半音與的頻率之比為，則該半音為（）頻率半音CDEFGABC（八度）A． B．G C． D．A【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)與指數(shù)的轉(zhuǎn)化，得到數(shù)列為等比數(shù)列，公比，然后求得所求半音對(duì)應(yīng)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，從而得到答案.【詳解】依題意可知.由于滿足，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比，對(duì)應(yīng)的頻率為，題目所求半音與的頻率之比為，所以所求半音對(duì)應(yīng)的頻率為，即對(duì)應(yīng)的半音為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算，等比數(shù)列的判定，等比數(shù)列的性質(zhì)，屬中檔題.6．若數(shù)列滿足：對(duì)任意的，總存在，使，則稱是“數(shù)列”．現(xiàn)有以下數(shù)列：①；②；③；④；其中是數(shù)列的有（）．A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【答案】D【解析】【分析】利用特殊值的方法可以否定②③,再根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)證明①④即可【詳解】①,則,,則,故①是“數(shù)列”；②,則,若,則只能是1,2,但,,此時(shí),故②不是“數(shù)列”；③,則,若,則只能是1,2,但,,此時(shí),故③不是“數(shù)列”；④,則,，則,故④是“數(shù)列”故選：D【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,考查對(duì)新定義的理解,考查分析閱讀能力,考查推理論證能力7．已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是、，再接下來的三項(xiàng)是、、，以此類推，若且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則的最小值為（）A．440 B．330 C．220 D．110【答案】A【解析】【分析】把題設(shè)中的數(shù)列分成如下的組：，記前組的和為，算出后結(jié)合前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪可得的最小值.【詳解】把題設(shè)中的數(shù)列分成如下的組：，記前組的和為。則.令即，故.故當(dāng)時(shí)，數(shù)列至少包括前13組且含有第14組的前個(gè)元素.設(shè)前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪且第項(xiàng)為第組的第個(gè)元素，則，且前項(xiàng)和，其中，.下證：當(dāng)時(shí)，總有.記，則當(dāng)時(shí)，有，故為單調(diào)增數(shù)列，而，故即.所以，由為2的整數(shù)冪，故，從而，當(dāng)時(shí)，，與矛盾；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查分組數(shù)列的和以及與不定方程的整數(shù)解，對(duì)于分組數(shù)列的前項(xiàng)和的問題，一般采用計(jì)算“大組”和，再計(jì)算“小組”和，而不定方程的整數(shù)解問題，則需把和式放縮為2的正整數(shù)冪的形式，從而確定和的表達(dá)式，本題屬于難題.8．等差數(shù)列，滿足，則（）A．的最大值為50 B．的最小值為50C．的最大值為51 D．的最小值為51【答案】A【解析】【分析】首先數(shù)列中的項(xiàng)一定滿足既有正項(xiàng)，又有負(fù)項(xiàng)，不妨設(shè)，由此判斷出數(shù)列為偶數(shù)項(xiàng)，利用配湊法和關(guān)系式的變換求出的最大值.【詳解】為等差數(shù)列，則使，所以數(shù)列中的項(xiàng)一定有正有負(fù)，不妨設(shè)，因?yàn)闉槎ㄖ?，故設(shè)，且，解得.若且，則，同理若，則.所以，所以數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，所以，由于，所以，解得，故，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.二、多選題9．首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，現(xiàn)有下列4個(gè)命題中正確的有（）A．若，則；B．若，則使的最大的n為15C．若，，則中最大D．若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的求和公式，逐項(xiàng)判斷，即可得答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，那么.故A不正確；B選項(xiàng)，若，則，又因?yàn)?，所以?項(xiàng)為正，從第9項(xiàng)開始為負(fù)，因?yàn)椋允沟淖畲蟮臑?5.故B正確；C選項(xiàng)，若，，則，，則中最大.故C正確；D選項(xiàng)，若，則，而，不能判斷正負(fù)情況.故D不正確.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的求和公式，屬于?？碱}型.10．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】AD【解析】【分析】利用等比數(shù)列，得數(shù)列為等差數(shù)列，用等差數(shù)列的性質(zhì)得出和的大小關(guān)系【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為，由得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，由于，，則且，得，，由，得，，若，則，而，則，則，，此時(shí)不成立，所以，所以，所以A正確；由，，得，又因?yàn)?，所以?shù)列為遞減數(shù)列，從第10項(xiàng)開始小于零，故前9項(xiàng)和最大，即可的最大值為，所以D正確，因?yàn)?，所以，所以B不正確，因?yàn)?，，所以?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以沒有最大值，所以C不正確，故選：AD【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題11．意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足：，，.若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為1，記前項(xiàng)所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題中遞推公式，求出，，數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和，與選項(xiàng)對(duì)比即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列總滿足，所以，，，類似的有，，累加得，由題知，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，，類似的有，累加得，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，，類似的有，累加得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，可知扇形面積，故，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的性質(zhì)，屬于一般題.12．如圖，已知點(diǎn)是的邊的中點(diǎn)，為邊上的一列點(diǎn)，連接交于，點(diǎn)滿足，其中數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】AB【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，根據(jù)共線得到，即，計(jì)算，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】，故，共線，故，即，，故，故.，正確；數(shù)列是等比數(shù)列，正確；，錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量運(yùn)算，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力.三、填空題13．已知數(shù)列滿足，，則__________．【答案】【解析】【分析】利用已知條件證得數(shù)列是等差數(shù)列，由此先求得，再求得.【詳解】依題意數(shù)列滿足，，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.14．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則_______.【答案】【解析】【分析】用，代入已知等式，得，變形可得，說明是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，可得的值.【詳解】，，整理可得，則，即，所以，是以為公差的等差數(shù)列，又，，則.故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的判定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題.15．已知函數(shù)，，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則等于______．【答案】【解析】試題分析：因?yàn)?，所以．因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，即．設(shè)①，又＋…＋②，①+②，得，所以．考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的性質(zhì)；2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算；3、數(shù)列求和．【知識(shí)點(diǎn)睛】如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和（都相等，為定值），可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法．如等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．16．如圖，在楊輝三角形中，斜線1的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，記其前項(xiàng)和為，則__________．【答案】361【解析】【分析】將按照奇偶分別計(jì)算：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，計(jì)算得到答案.【詳解】解法一：根據(jù)楊輝三角形的生成過程，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，，，，，，解法二：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的前N項(xiàng)和，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和解決問題的能力.四、解答題17．在①對(duì)任意，滿足，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中．問題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，______，若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若數(shù)列不一定是等差數(shù)列，說明理由．【答案】選擇條件①，數(shù)列不一定是等差數(shù)列，理由見解析；選擇條件②，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；選擇條件③，．【解析】【分析】若選擇條件①，可得，即，由于無法確定的值，即可判斷；若選擇條件②：可得，，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算得解；若選擇條件③：利用，可得，，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算得解；【詳解】解：選擇條件①：因?yàn)閷?duì)任意，，滿足，所以，所以．因?yàn)闊o法確定的值，所以不一定等于2．所以數(shù)列不一定是等差數(shù)列．選擇條件②：由，得，即，．又因?yàn)椋裕詳?shù)列是等差數(shù)列，其公差為2．因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．選擇條件③：因?yàn)?，所以，兩式相減得，即．又，即，所以，，又，，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，根據(jù)求通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.18．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（3）在條件（2）下，若不等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立，求的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)：；當(dāng)時(shí)：（2）（3）【解析】【分析】（1）直接利用等比數(shù)列公式得到答案.（2）利用錯(cuò)位相減法得到答案.（3）將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)雙勾函數(shù)求數(shù)列的最大值得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：（2）數(shù)列為遞增數(shù)列，，兩式相加，化簡(jiǎn)得到（3）設(shè)原式（為奇數(shù)）根據(jù)雙勾函數(shù)知：或時(shí)有最大值.時(shí)，原式時(shí)，原式故【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求前N項(xiàng)和，恒成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用雙勾函數(shù)求數(shù)列的最大值是解題的關(guān)鍵，此題綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.19．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求（用表示）；（2）求證：當(dāng)時(shí)，不等式成立.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)，代入即得，整理可得，為等差數(shù)列，即可得解；（2）代入整理，通過放縮即可證明.【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴，為首項(xiàng)為為首項(xiàng)，公差為等差數(shù)列，∴.（2）∵，∴時(shí)，，時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了和關(guān)系，考查了構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)公式，同時(shí)考查了放縮法證明不等式，要求一定的計(jì)算能力，屬于較難題.20．市民小張計(jì)劃貸款60萬元用于購(gòu)買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個(gè)月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年，月利率為0.004.（1）若小張采取等額本金的還款方式，現(xiàn)已得知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，試計(jì)算小張?jiān)摴P貸款的總利息；（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張?jiān)摴P貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；（3）對(duì)比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）289200元；（2）能夠獲批；（3）應(yīng)選擇等額本金還款方式【解析】【分析】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即可由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；（2）根據(jù)題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，設(shè)小張每月還款額為元，由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù)，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；（3）計(jì)算出等額本息還款方式時(shí)所付出的總利息，兩個(gè)利息比較即可判斷.【詳解】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則，，則，故小張?jiān)摴P貸款的總利息為元.（2）設(shè)小張每月還款額為元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，則，所以，即，因?yàn)椋孕堅(jiān)摴P貸款能夠獲批.（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息為：，因?yàn)?，所以從?jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇等額本金還款方式.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的綜合應(yīng)用，數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，理解題意是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.21．已知數(shù)列滿足，，.（1）若.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②證明：對(duì)，.（2）若，且對(duì)，有，證明：.【答案】（1）①；②證明見解析；（2）證明見