專題12直角三角形（4個知識點6種題型）（原卷版）

專題12直角三角形（4個知識點6種題型）【目錄】倍速學習三種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.直角三角形全等的判定知識點2.直角三角形的性質(zhì)定理的推論知識點3.勾股定理知識點4.兩點的距離公式【方法二】實例探索法題型1.直角三角形全等的判定定理題型2.直角三角形的性質(zhì)定理題型3.直角三角形的性質(zhì)的應用題型4.勾股定理題型5.勾股定理及其逆定理的應用題型6.兩點間距離【方法三】成果評定法【倍速學習三種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.直角三角形全等的判定圖形定理符號如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記：H.L）在中，，【例1】（22·23上·寶山·期中）五邊形中，，平分，，求證：．【變式】（22·23上·青浦·期末）如圖，在中，垂直平分邊，交于點E，平分的外角，，垂足為點G，，垂足為點H．求證：．知識點2.直角三角形的性質(zhì)定理的推論定理1直角三角形的兩個銳角互余；定理2直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于.【例2】（23·24上·上?！るA段練習）在中，若，于，，，則．【變式1】．（23·24上·上?！るA段練習）在中，，平分，交于，如果，那么．【變式2】．（2022·上海市羅星中學八年級期末）已知是等腰三角形，是邊上的高，且，那么此三角形的頂角的度數(shù)為______．知識點3.勾股定理圖形名稱定理符號表示邊的定理在直角三角形中，斜邊大于直角邊.在中，勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形.在中，，【例3】（21·22上·浦東新·期末）中，，點D、E分別為邊AB、BC上的點，且，，聯(lián)結AE交CD與點F，點M是AE的中點，聯(lián)結CM并延長與AB交于點H．（1）點F是CD中點時，求證：；（2）求證：【變式】．（2022·上海浦東新·八年級期末）某中學初二年級游同學在學習了勾股定理后對《九章算術》勾股章產(chǎn)生了學習興趣．今天，他學到了勾股章第7題：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”本題大意是：如圖，木柱，繩索AC比木柱AB長三尺，BC的長度為8尺，求：繩索AC的長度．知識點4.兩點的距離公式①數(shù)軸上兩點A、B分別表示實數(shù)m、n，則AB的距離為.②如果直角坐標平面內(nèi)有兩點，那么兩點間的距離【例4】（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）已知直角坐標平面內(nèi)的兩點分別為A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B兩點間的距離等于_____．【變式】．已知點、，則線段的長為______．【方法二】實例探索法題型1.直角三角形全等的判定定理1．（22·23上·青浦·期末）如圖，在中，，點在邊上，過點作，垂足為點，如果，且，那么的度數(shù)是．2．（22·23上·青浦·期末）如圖，已知，按如下步驟作圖：①以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交、于點、；②分別以點、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點；③作射線交于點．(1)按照上述方法所作的線段是的________；（在橫線上填上正確的序號）①中線；②角平分線；③高．(2)求作：點，使得點到直線與直線的距離相等，且；（保留作圖痕跡，不寫作法，但要寫出結論）(3)過點分別作，，垂足分別為點、．求證：．3．（22·23上·靜安·期中）如圖，已知在中，，點是內(nèi)部的一點，，，垂足分別為點，且．求證：．4．（2022·上海市崇明區(qū)橫沙中學八年級期末）已知：如圖，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求證：∠AFC＝2∠ADC．5．（2022·上海松江·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，過點A作AE⊥BC，垂足為點E．(1)求證：CE=CDBE；(2)如果CE=3BE，求的值．題型2.直角三角形的性質(zhì)定理6．（22·23上·上?！て谥校┤鐖D，在四邊形中，，點分別是對角線的中點，則（

）A． B．C． D．7．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，則下底BC的長為__．8．（23·24上·上?！るA段練習）如圖，在和中，，是中點．求證：．9．（22·23上·寶山·期末）如圖，在中，于點D，，點E、F分別是、的中點且，求證：．10．（22·23上·徐匯·期末）如圖，已知銳角中、分別是、邊上的高，M、N分別是線段、的中點．求證：(1)．(2)若，求證：是等邊三角形11．（22·23上·青浦·期末）已知：如圖，在四邊形中，，，點是邊的中點，．求證：(1)；(2)．題型3.直角三角形的性質(zhì)的應用12．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖1，△ABC是邊長為的等邊三角形，已知G是邊AB上的一個動點（G點不與A、B點重合），且GEAC，GFBC，若AG＝x，S△GEF＝y(tǒng)．(1)求y與x的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)定義域；(2)點G在運動過程中，能否使△GEF成為直角三角形，若能，請求出AG長度；若不能，請說明理由；(3)點G在運動過程中，能否使四邊形GFEB構成平行四邊形，若能，直接寫出S△GEF的值；若不能，請說明由．題型4.勾股定理13．（22·23上·青浦·期末）美國數(shù)學家伽菲爾德在1876年提出了證明勾股定理的一種巧妙方法，如圖，在直角梯形中，，，是邊上一點，且，．如果的面積為1，且，那么的面積為（

）A．1 B．2 C． D．514．（21·22上·上?！て谀┤鐖D，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知，，，，則．15．（22·23上·上?！て谥校┦切边吷系母?，若，，則的長為．16．（22·23上·徐匯·期末）如圖，點是的邊的中點，將沿直線翻折能與重合，若，，，則點到直線的距離為17．（22·23上·虹口·期中）已知：三角形紙片中，，，，是邊上一點．將三角形紙片折疊，使點B與點重合，折痕與、分別相交于E、F．(1)設，，試建立y關于x的函數(shù)關系式，并直接寫出x的取值范圍；(2)當是直角三角形時，求出x的值．18．（22·23上·寶山·期末）如圖，直角三角形，直角頂點C在直線上，分別過點A、B作直線的垂線，垂足分別為點D和點E．(1)求證：；(2)如果，①求證：；②若設的三邊分別為a、b、c，試用此圖證明勾股定理．題型5.勾股定理及其逆定理的應用19．（21·22上·奉賢·期中）如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，△ABC與△DEC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，則∠BAC+∠CDE＝度．20．如圖，這是美國第20屆總統(tǒng)加菲爾德的構圖，其中Rt△ADE和Rt△BEC是完全相同的，請你試用此圖形驗證勾股定理的正確性．21．如圖，筆直的公路上A、兩點相距，、為兩村莊，于點A，于點，已知，，現(xiàn)在要在公路的段上建一個土特產(chǎn)品收購站，使得、兩村到收購站的距離相等，則收購站應建在離A點多遠處？22．如圖，已知：大風把一顆大樹刮斷，折斷的一端恰好落在地面上的A處，量得BC=3米，AC=4米，試計算這棵大樹的高度．題型6.兩點間距離23．（2022·上海市崇明區(qū)橫沙中學八年級期末）在直角坐標平面內(nèi)，已知點、，且，那么m的值是________．24．（22·23上·楊浦·期末）、、是三角形的三個頂點，則是三角形．25．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）如圖，有兩條互相垂直的公路，A廠離公路的距離為2千米，離公路的距離為5千米；B廠離公路的距離為11千米，離公路的距離為4千米；現(xiàn)在要在公路上建造一倉庫P，使A廠到P倉庫的距離與B廠到P倉庫的距離相等，求倉庫P的位置．【方法三】成果評定法一、單選題1．（22·23上·上?！ｎ}練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的垂直平分線DE交AB于點D，交BC于點E，且AE平分∠BAC，下列關系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE2．（22·23上·寶山·期末）機場入口處的銘牌上說明，飛機行李架是一個的長方體空間，有位旅客想購買一件畫卷隨身攜帶，現(xiàn)有4種長度的畫卷①；②；③；④，請問這位旅客可以購買的尺寸是（

）A．①②； B．①②③； C．①②③④； D．①；3．（22·23上·寶山·期末）下列四組數(shù)據(jù)為三角形的三邊，其中能構成直角三角形的是（

）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（）4．（22·23上·青浦·期末）在下列各原命題中，逆命題為假命題的是（）A．線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等B．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半C．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應邊相等D．關于某一條直線對稱的兩個三角形全等5．（22·23上·青浦·期末）如圖，在中，，，平分，，則以下結論錯誤的是（

）A．點C到直線的距離為1 B．點D到直線的距離為1C．點A到直線的距離為 D．點B到直線的距離為6．（21·22上·靜安·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，BD平分∠ABC，BD=2，則以下結論錯誤的是（

）A．點D在AB的垂直平分線上；B．點D到直線AB的距離為1；C．點A到直線BD的距離為2；D．點B到直線AC的距離為.二、填空題7．（22·23上·靜安·期末）已知平面直角坐標內(nèi)的兩點、，那么，兩點的距離等于.8．（22·23下·虹口·期末）我們?nèi)缦露x：如果一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，那么稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．如圖，已知，，，如果格點四邊形（即四邊形的頂點都在格點上）是以為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形，那么點M的坐標是．9．（22·23下·嘉定·開學考試）如圖，含30°的三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)150°得到，連接，若，則的面積為．10．（22·23上·靜安·期末）已知三角形的三邊長分別為、、，那么這個三角形形狀是.11．（22·23下·虹口·期末）如圖，在中，，，，點D是的中點．將繞點A旋轉(zhuǎn)得到（點D與點對應，點C與點對應），當點落在邊上時，連接，那么線段的長是．12．（22·23下·浦東新·期末）如圖，梯形中，，，且平分，則梯形的周長是cm．13．（22·23下·嘉定·開學考試）如圖，在中，，平分，交邊點，，，則．14．（21·22上·上海·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，如圖所示.如果將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，其中點A、B的對應點分別為點D、E，聯(lián)結BD，那么BD的長等于.15．（22·23上·青浦·期末）已知兩塊相同的三角板如圖所示擺放，點、、在同一直線上，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，如果在旋轉(zhuǎn)的過程中有一條邊與平行，那么此時的面積是．16．（22·23上·青浦·期末）在中，，于點，且，．則17．（22·23上·靜安·期末）如圖，在中，，，為邊上一點，將沿著直線翻折，點恰好落在邊上的點處，連接．如果，那么的長為．18．（22·23上·徐匯·期末）函數(shù)的最小值為三、解答題19．（23·24上·上?！るA段練習）已知：，，，且為等腰三角形，求的值．20．（23·24上·上?！るA段練習）已知：如圖，在四邊形中，，，，．(1)求的度數(shù)．(2)求四邊形的面積．21．（22·23上·青浦·期末）如圖，已知中，，于點，是中點，，求證：．22．（22·23上·靜安·期末）如圖，在中，，垂足為點，，垂足為點，，垂足為點，且點是中點，若，，.(1)求的長；(2)求的度數(shù).23．（22·