山東省濰坊市2023-2024學(xué)年高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2024屆高三上學(xué)期10月份階段性測試題數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上．2．使用答題紙時(shí)，必須使用毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求出集合，再由交集與補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】由題意，或，則，故.故選：A.2.設(shè)，，分別是的三條邊，且.則“”是“為鈍角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義即可得出答案.詳解】由題意可知，若，則，所以，所以為鈍角三角形，充分性滿足；若為鈍角三角形，由，則，即，所以，必要性滿足.所以“”是“為鈍角三角形”的充要條件.故選：C3.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，，與的大小關(guān)系即可得正確選項(xiàng).【詳解】，，，所以，故選：D.4.已知，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把待求式中“1”用替換，然后用基本不等式求得最小值．【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：C．5.設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，故選：A.6.曲線在處的切線的傾斜角為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出時(shí)，，由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義和傾斜角與斜率的關(guān)系，求出，利用萬能公式求出結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，由萬能公式得：所以故選：B7.已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，且、關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意問題可轉(zhuǎn)化為方程在上有解，令，，求出的值域即可得的取值范圍.【詳解】依題意可知，方程在上有解，即上有解，令，，則，時(shí)，時(shí)，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則的最小值為，又，，則的最大值為，所以的值域?yàn)?，即可得的取值范圍?故選：C8.設(shè)是定義域的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)，.若，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用函數(shù)的奇偶性求出，再利用的對(duì)稱性和奇函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x域的奇函數(shù)，所以，，因?yàn)楫?dāng)，，所以，從而，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，即的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)閳D像是圖像向左平移一個(gè)單位得到的，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，故，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所?故選：B.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的給0分）9.下列四個(gè)函數(shù)中，以為周期且在上單調(diào)遞增的偶函數(shù)有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)以及圖象的變換，一一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，結(jié)合的圖象性質(zhì)，易知是以為周期且在上單調(diào)遞增的偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，結(jié)合的圖象性質(zhì)，易知沒有周期性，故C錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D，令，易知是以為周期且在上單調(diào)遞增的偶函數(shù)，因也是單調(diào)遞增的，所以是以為周期且在上單調(diào)遞增的偶函數(shù)，故D正確.故選：BD.10.下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.已知，，且，則D.已知，，且，則【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)做差法即可比較大小從而得出結(jié)果；B選項(xiàng)結(jié)合均值不等式即可判斷；C選項(xiàng)結(jié)合二次不等式的恒成立問題即可判斷；D選項(xiàng)舉出反例即可說明.【詳解】A因?yàn)?，，則，即，故A錯(cuò)誤；B因?yàn)椋?，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；C因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；D當(dāng)時(shí)，滿足，，且，但，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.設(shè)函數(shù)，若在有且僅有5個(gè)極值點(diǎn)，則（）A.在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn) B.在有且僅有4個(gè)零點(diǎn)C.的取值范圍是 D.在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的極值點(diǎn)（也即最值點(diǎn)）的性質(zhì)，求出極值點(diǎn)，然后根據(jù)條件，結(jié)合圖像列出關(guān)于的不等式組，解出的范圍，然后再逐一判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】作出的草圖如下：的極值點(diǎn)滿足，即，因?yàn)樵谟星覂H有5個(gè)極值點(diǎn)，所以，則需，且，解得，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，則由圖可知時(shí)，是在上的第一個(gè)極大值點(diǎn)，根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖像規(guī)律可知，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)總是交替出現(xiàn)的，時(shí)是的兩個(gè)極大值點(diǎn)，另外兩個(gè)為極小值點(diǎn)，故A正確；如圖可知，在點(diǎn)之前已有4個(gè)零點(diǎn)，也可能落在點(diǎn)的右側(cè)，從而使在上有5個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，的周期最小，此時(shí)第一個(gè)極大值點(diǎn)為，而在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：AD12.關(guān)于函數(shù)，，下列說法正確的是（）A.對(duì)，恒成立B.對(duì)，恒成立C.函數(shù)的最小值為D.若不等式對(duì)恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明恒成立，判斷A，A中不等式絕對(duì)值變形的轉(zhuǎn)換可判斷B，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值判斷C，把不等式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，然后求得的范圍判斷D．【詳解】設(shè)，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，所以，即恒成立，A正確；在中令，則，，，再令得，B正確；設(shè)，定義域?yàn)?，，定義域內(nèi)恒成立，令是增函數(shù)，，，所以在即在上存在唯一零點(diǎn)，，，時(shí)，，即，遞減，時(shí)，，即，遞增，所以，C錯(cuò)；不等式為，，，所以，即，令，則，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，，因?yàn)?，所以，因此不等式恒成立，則恒成立，，即，設(shè)，，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，所以，即的最小值是，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，研究不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，深深需要不斷求導(dǎo)才能確定函數(shù)的單調(diào)性與極值．這是問題的難點(diǎn)所在，解題過程中需要不斷引進(jìn)新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、零點(diǎn)等性質(zhì)，本題屬于困難題．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，.若，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，解?故答案為：14.已知，則______．【答案】【解析】【分析】由余弦二倍角公式結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：15.已知，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合解決問題【詳解】有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)根，即函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，顯然，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意故答案為：16.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍________.【答案】【解析】【分析】首先求導(dǎo)，根據(jù)題意得到，恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可得到答案.【詳解】，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，恒成立，即，恒成立，設(shè)，，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以，即.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分）17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和的余弦公式以及輔助角公式可得，再由正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間，整體代入即可求解.（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解.小問1詳解】，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】由（1），解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)的最大值為.18.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊長分別為，，，是1和的等差中項(xiàng)．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若邊上的中線長為，，求的面積．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)是1和的等差中項(xiàng)得到，再利用正弦定理結(jié)合商數(shù)關(guān)系，兩角和與差的三角函數(shù)化簡得到，從而得出，即可求出角；（Ⅱ）設(shè)中線交于，則，由余弦定理求得，再由求得，最后根據(jù)三角形的面積公式，進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（Ⅰ）由題意及正弦定理得，所以，化簡得，因?yàn)?，所以，而在中，，所以；（Ⅱ）設(shè)中線交于，則，由余弦定理得，即，化簡得，因?yàn)?，所以，所以?9.首屆中國（寧夏）國際葡萄酒文化旅游博覽會(huì)于2021年9月2428日在銀川國際會(huì)展中心拉開帷幕，家酒莊、企業(yè)攜各類葡萄酒、葡萄酒加工機(jī)械設(shè)備、酒具等葡萄酒產(chǎn)業(yè)相關(guān)產(chǎn)品亮相.某酒莊帶來了2021年葡萄酒新品參展，供購商洽談采購，并計(jì)劃大量銷往海內(nèi)外.已知該新品年固定生產(chǎn)成本萬元，每生產(chǎn)一箱需另投入元.若該酒莊一年內(nèi)生產(chǎn)該葡萄酒萬箱且全部售完，每萬箱的銷售收入為萬元，.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬箱）的函數(shù)解析式；（利潤＝銷售收入－成本）（2）年產(chǎn)量為多少萬箱時(shí)，該酒莊的利潤最大？并求出最大利潤.【答案】（1）（2）年產(chǎn)量為28萬箱時(shí)，該酒莊的利潤最大，最大利潤為萬元.【解析】【分析】（1）分和兩種情況列出解析式即可；（2）分別結(jié)合二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值以及利用均值不等式求出最值，進(jìn)而比較即可求出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，；所以，因此；【小問2詳解】由（1）知當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，開口向下，所以在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以年產(chǎn)量為28萬箱時(shí)，該酒莊的利潤最大，最大利潤為萬元.20.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足________.（1）求；（2）若的面積為，的中點(diǎn)為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①，利用正弦定理邊角互化以及誘導(dǎo)公式可求解；選②，利用正弦定理的邊角互化即可求解；選③，利用正弦定理的邊角互化以及兩角差的正弦公式即可求解.（2）利用三角形的面積公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.【小問1詳解】選①，由正弦定理可得，又因?yàn)椋傻?，即，所以，又因?yàn)椋?，所以，解?②，由正弦定理可得，即，整理可得，又因?yàn)椋獾?，因?yàn)椋?③，由正弦定理可得，整理可得，即，即，所以或（舍），即，即，解得.【小問2詳解】，解得，由余弦定理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取等號(hào)，所以的最小值為.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明不等式恒成立.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論的范圍結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得出單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上有唯一實(shí)數(shù)根，且，則可得，即得證.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得到，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）設(shè)函數(shù)，則，可知在上單調(diào)遞增.又由，知，在上有唯一實(shí)數(shù)根，且，則，即.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，結(jié)合，知，所以，則，即不等式恒成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立的證明，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明的最小值大于0.22.已知函數(shù)，其中為正實(shí)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，成立，所以；當(dāng)時(shí)，，令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單