廣東省肇慶市高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)

肇慶市2024屆高中畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處.2.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.3.答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A1 B. C.2 D.43.記為等比數(shù)列的前項和，若，，則（）A.3 B.4 C.5 D.64.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若，則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.6.記內(nèi)角的對邊分別為，，，已知，則（）A. B. C. D.7.已知，，且，則的最大值為（）A.2 B. C.4 D.8.“順德眼”是華南地區(qū)首座雙立柱全拉索設(shè)計的摩天輪總共設(shè)有36個等間距座艙，其中親子座艙4個，每2個親子座艙之間有8個普通座艙，摩天輪上的座艙運動可以近似地看作是質(zhì)點在圓周上做勻速圓周運動，質(zhì)點運行軌跡為圓弧，運行距離為弧長，“順德眼”在旋轉(zhuǎn)過程中，座艙每秒運行約米，轉(zhuǎn)一周大約需要21分鐘，則兩個相鄰的親子座艙在運行一周的過程中，距離地面的高度差的最大值約為（）（參考數(shù)據(jù)：，計算結(jié)果保留整數(shù)）A.40米 B.50米 C.57米 D.63米二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.10.已知是模長為1的復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.11.已知，是夾角為的單位向量，且，，則（）A.在上的投影向量為 B.C. D.12.已知定義在R上的函數(shù)，對任意的，都有，且，則（）A.或1 B.是偶函數(shù)C.， D.，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.記數(shù)列前項和為，且，則__________.14.已知向量，，若，則__________.15.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則___________.16.已知不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.記的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知為銳角，且.（1）求角的大?。唬?）若，，求的面積.18.已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，且.（1）求與的通項公式；（2）記，記為數(shù)列的前項和，求.19.設(shè)，為實數(shù)，且，函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，函數(shù)，試問是否存在極小值點?若存在，求出的極小值點；若不存在，請說明理由.20.記數(shù)列的前項和為，已知，是公差為1的等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列落在區(qū)間，內(nèi)的項數(shù)，在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記這個等差數(shù)列的公差為，求數(shù)列的前項和.21.如圖，在四邊形中，，，，.（1）若，求；（2）求的最大值.22.已知函數(shù).（1）求的極值點；（2）若（且），證明：對一切，都有（?。?；（ⅱ）.

肇慶市2024屆高中畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處.2.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.3.答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出集合、，再根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】因為，，所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可得解.【詳解】因為，所以，.故選：A.3.記為等比數(shù)列的前項和，若，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于首項和公比的方程組，求出首項和公比即可求解.【詳解】由，得，解得，，.故選：C.4.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】運用誘導(dǎo)公式和充分必要條件的定義判斷求解即可.【詳解】因為，則，故充分性成立，若，所以，所以，則，所以必要性不成立，即是的充分不必要條件.故選：A5.若，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，證明，再根據(jù)已知條件即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，，又，，所以.故選：B.6.記的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理變形等式，可得三角形為等邊三角形，即得答案.【詳解】因為，有正弦定理得，則，所以，故，即，代入上邊等式可得，，則三角形為等邊三角形，故故選：7.已知，，且，則的最大值為（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】由，兩邊取對數(shù)得到，再設(shè)，兩邊取對數(shù)，利用基本不等式求解.【詳解】解：因為，所以，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選：B8.“順德眼”是華南地區(qū)首座雙立柱全拉索設(shè)計的摩天輪總共設(shè)有36個等間距座艙，其中親子座艙4個，每2個親子座艙之間有8個普通座艙，摩天輪上的座艙運動可以近似地看作是質(zhì)點在圓周上做勻速圓周運動，質(zhì)點運行軌跡為圓弧，運行距離為弧長，“順德眼”在旋轉(zhuǎn)過程中，座艙每秒運行約米，轉(zhuǎn)一周大約需要21分鐘，則兩個相鄰的親子座艙在運行一周的過程中，距離地面的高度差的最大值約為（）（參考數(shù)據(jù)：，計算結(jié)果保留整數(shù)）A.40米 B.50米 C.57米 D.63米【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意求得圓的半徑，再由當(dāng)兩個相鄰的親子座艙的連線與底面垂直時，距離地面的高度差最大求解.【詳解】解：設(shè)圓的半徑為r，由題意得：，解得，如圖所示：當(dāng)兩個相鄰親子座艙的連線與底面垂直時，距離地面的高度差最大，所以兩個相鄰的親子座艙在運行一周的過程中，距離地面的高度差的最大值約為：，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對于A，，，又，所以是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，，由，所以在和上分別單調(diào)遞增，但在定義域上并不單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C，，，，所以是奇函數(shù)，又，所以是的增函數(shù)，故C正確；對于D，，，，所以是奇函數(shù)，又，所以是的增函數(shù)，故D正確.故選：CD.10.已知是模長為1的復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)，按復(fù)數(shù)運算法則進行運算，逐項驗證即可.【詳解】設(shè)，由題知，則，故A正確；又，，顯然，故B錯誤；，故C正確；因為，即，故D正確，故選：ACD11.已知，是夾角為的單位向量，且，，則（）A.在上的投影向量為 B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】A選項，根據(jù)投影向量的定義可運算判斷；B選項，根據(jù)向量模的定義結(jié)合數(shù)量積運算可判斷；C選項，由數(shù)量積運算可判斷；D選項，由向量夾角公式可運算判斷.【詳解】對于A，B，，，則，，，，所以在上的投影向量為，故A，B正確；對于C，，，故C錯誤；對于D，，所以，故D錯誤.故選：AB.12.已知定義在R上的函數(shù)，對任意的，都有，且，則（）A.或1 B.是偶函數(shù)C.， D.，【答案】BD【解析】【分析】用賦值法，令求得判斷A，令判斷B，求出判斷C，令得出遞推關(guān)系，進而得出函數(shù)的周期性，然后由周期性計算判斷D．【詳解】在中，又有，令得，所以，A錯；令得，所以，是偶函數(shù)，B正確；令得，所以，令得，所以，令得，，C錯；令得，所以，由此，即，所以，是周期為6的周期函數(shù)，，，，，所以，D正確．故選：BD．【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)求值問題，一般是通過賦值法，即在已知等式中讓自變量取特殊值求得一些特殊的函數(shù)值，解題時注意所要求函數(shù)值的變量值與已知的量之間的關(guān)系，通過賦值還可能得出函數(shù)的奇偶性、周期性，這樣對規(guī)律性求值起到?jīng)Q定性的作用．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.記數(shù)列的前項和為，且，則__________.【答案】##【解析】【分析】由題可得數(shù)列的周期為3，可計算得解.【詳解】，，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，又，，，.故答案：.14.已知向量，，若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算法則，利用題中條件建立方程，結(jié)合模長公式進行計算即可.【詳解】因為，，則，，又，即，解得，則故答案為：15.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)值域的知識求得.【詳解】依題意，函數(shù)在區(qū)間上的值域為，由于，所以，此時，當(dāng)時取得最小值，符合題意，所以.故答案為：16.已知不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)性求解即可.【詳解】因為，所以，即，令，所以，令，所以，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，即在上恒成立，所以有，故答案為：.【點睛】方法點睛：對于導(dǎo)數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，一般情況有以下幾步：①分離參數(shù)②構(gòu)造新函數(shù)③對函數(shù)求導(dǎo)，分析單調(diào)性④通過函數(shù)單調(diào)性分析即可解決問題特別難的時候往往還需要進行二次求導(dǎo)進行分析.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.記的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知為銳角，且.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化簡等式，解出即可；（2）根據(jù)正弦定理求出角,再利用三角形面積公式計算即可.【小問1詳解】由已知可得,，解得.因為為銳角，所以，所以，所以.【小問2詳解】由題，，又由正弦定理，得.因為，所以或.當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以，所以的面積為或.18.已知是公差為等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，且.（1）求與的通項公式；（2）記，記為數(shù)列的前項和，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中條件可得出關(guān)于、的值，再分別利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列與的通項公式；（2）利用分組求和法可求得的值.【小問1詳解】由可得，解得，所以，.【小問2詳解】因為，由題意得.19.設(shè)，為實數(shù)，且，函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，函數(shù)，試問是否存在極小值點?若存在，求出的極小值點；若不存在，請說明理由.【答案】（1）答案見解析（2）存在極小值點，且極小值點為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，對求導(dǎo)，分和兩種情況討論即可求解；（2）對求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)零點存在性定理即可說明是否存在極值點.【小問1詳解】，，，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，且時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問2詳解】當(dāng)時，，，故.令，，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.又，，，故，使得.當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，故存在極小值點，且極小值點為.20.記數(shù)列的前項和為，已知，是公差為1的等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列落在區(qū)間，內(nèi)的項數(shù)，在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記這個等差數(shù)列的公差為，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系，相減法即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由得，進而得到，則，再應(yīng)用錯位相減法即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以，所以①，當(dāng)時，②.由①②整理得.當(dāng)時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由題意知，所以，所以，故.由題可知，得，則③，④，③④得，所以.21.如圖，在四邊形中，，，，.（1）若，求；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，求出，，,進而求出，在中由余弦定理可得解；（2）過點作于點，設(shè)，求出，，得到，利用基本不等式可得解.【小問1詳解】由題意知，，，所以.在中，，，所以.在中，由余弦定理得，，所以.【小問2詳解】過點作于點，由，，，，可得，，①②設(shè)，當(dāng)時，點在點的右側(cè)，如圖①，，則.當(dāng)