高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修二）：專題5.5 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（重難點題型精講）（教師版）

專題5.5導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（重難點題型精講）1．函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負之間的關(guān)系

①單調(diào)遞增：在某個區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增；

②單調(diào)遞減：在某個區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.

③如果在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)恒有f'(x)=0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上是一個常數(shù)函數(shù).

(2)函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么在這個范圍內(nèi)函數(shù)值變化得快，這時，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較小，那么在這個范圍內(nèi)函數(shù)值變化得慢，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

常見的對應(yīng)情況如下表所示.2．函數(shù)的極值極值的相關(guān)概念

(1)極小值點與極小值：

如圖，函數(shù)y=f(x)在點x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，f'(a)=0，而且在點x=a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，則把點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)極大值點與極大值：

如圖，函數(shù)y=f(x)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，f'(b)=0，而且在點x=b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，則把點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.3．函數(shù)的最大值與最小值(1)一般地，如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.當(dāng)f(x)的圖象連續(xù)不斷且在[a,b]上單調(diào)時，其最大值和最小值分別在兩個端點處取得.

(2)函數(shù)的極值與最值的區(qū)別

①極值是對某一點附近(即局部)而言的，最值是對函數(shù)的整個定義區(qū)間而言的.

②在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(或者沒有)，但最大(小)值最多有一個.

③函數(shù)f(x)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點.4．導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用①利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題時，常常涉及用料最省、成本(費用)最低、利潤最大、效率最高等問題，求解時需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，抓主元，找主線，把“問題情境"翻譯為數(shù)學(xué)語言，抽象成數(shù)學(xué)問題，再選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解，最后經(jīng)過檢驗得到實際問題的解.

②解決優(yōu)化問題的方法并不單一，運用導(dǎo)數(shù)求最值是解決這類問題的有效方法，有時與判別式、基本不等式及二次函數(shù)的性質(zhì)等結(jié)合，多舉并用，達到最佳效果.

③利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題的一般步驟【題型1利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間】【方法點撥】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函數(shù)在解集與定義域的交集上為增函數(shù)；(4)解不等式f'(x)<0，函數(shù)在解集與定義域的的交集上為減函數(shù).【例1】（2022·吉林·高三階段練習(xí)（理））函數(shù)fx=2x?5lnA．0,3 B．3,+∞ C．52,+【解題思路】確定函數(shù)定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)小于0，即可求得答案.【解答過程】由題意函數(shù)fx=2x?5lnf'x=2?5x故函數(shù)fx=2x?5ln故選：D.【變式1-1】（2022·廣西·高二期末（文））函數(shù)y=12xA．?1,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【解題思路】求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0，即可得到單調(diào)遞減區(qū)間.【解答過程】解：由題意，x>0在y=12當(dāng)y'=0時，解得x=?1當(dāng)y'<0即∴單調(diào)遞減區(qū)間為0,1故選：B.【變式1-2】（2022·寧夏·高二期中（文））函數(shù)f(x)=(x?3)ex的單調(diào)遞減區(qū)間是（A．(?∞,2] B．[0,3] C．[1,4] D．[2,【解題思路】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系解不等式f'(x)<0進行求解即可.【解答過程】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'由f'x<0即x?2<0得x<2，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,2]故選：A.【變式1-3】（2022·云南·模擬預(yù)測（理））設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x3+(a?1)x2?(a+2)x，且A．(0,2) B．(?3,3) C．【解題思路】求導(dǎo)，結(jié)合f'(x)是偶函數(shù)得到f'?x=【解答過程】因為f(x)=x3+(a?1)又因為f'(x)是偶函數(shù)，所以即3?x2?2a?1x?所以f'(x)=3x2?3所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?1,1).故選：C．【題型2由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【方法點撥】由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍經(jīng)常涉及的兩種題型：(1)已知含參函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍.方法一：將問題轉(zhuǎn)化為不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在區(qū)間I上的恒成立問題.方法二：求得遞增(減)區(qū)間A，利用I與A的關(guān)系求解.(2)已知函數(shù)y=f(x)在含參區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍.方法:利用(1)中的方法二.【例2】（2022·江蘇·高二期末）設(shè)函數(shù)fx=12ax2A．?1，+∞C．0，+∞【解題思路】函數(shù)fx在1,??+∞上單調(diào)遞增等價于【解答過程】由題意f'x=ax+1x≥0在1,??+∞上恒成立，即a≥?故選：C．【變式2-1】（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=1?xlnx+ax在1,+A．0,+∞ B．?∞,0 C．0,+【解題思路】因為f(x)在1,+∞上不單調(diào)，故利用f'x在1,+∞上必有零點，利用a=lnx?1x【解答過程】依題意f'x=?lnx+1x+a?1，故f'(x)在1,+∞上有零點，令則z'(x)=1x+1x2，由x>1，得z'(x)>0，故a=z(x)>0，所以，a的取值范圍0,+故選：A.【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fx=x2?ax+lnxA．3,+∞ B．?∞,3 C．3,【解題思路】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于或等于0，即可求解.【解答過程】依題意f'x=2x?a+1x≥0在區(qū)間令gx=2x+1x1<x<e，則g'x=2?故選:B.【變式2-3】（2022·四川·高二期中（文））已知函數(shù)fx=x3+x2A．?∞,?13 B．?∞,?【解題思路】由題設(shè)可得f'(x)≥0在R上恒成立，結(jié)合判別式的符號可求實數(shù)【解答過程】f'因為f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，故f'(x)≥0在所以Δ=4+12a≤0即a≤?故選：A.【題型3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值】【方法點撥】求函數(shù)的極值需嚴格按照步驟進行，重點考慮兩個問題：一是函數(shù)的定義域，注意判斷使導(dǎo)數(shù)值為0的點是否在定義域內(nèi).如果不在定義域內(nèi)，需要舍去；二是檢查導(dǎo)數(shù)值為0的點的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是否異號，若異號，則該點是極值點，否則不是極值點.【例3】（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)fx=xA．?43 B．1 C．?5【解題思路】根據(jù)函數(shù)求極小值的過程求解：先求f'(x)=0的解x0【解答過程】因為fx=x令f'x=0當(dāng)x∈?∞,?43∪1,+故fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,?43則當(dāng)x=1時，fx取得極小值，且極小值為f故選：C.【變式3-1】（2022·山東濟南·模擬預(yù)測）若x=?4是函數(shù)fx=x2+ax?5A．-3 B．7e?5 C．?3【解題思路】根據(jù)給定的極值點求出參數(shù)a的值，再求出函數(shù)極小值作答.【解答過程】函數(shù)f(x)=(x2+ax?5)因x=?4是函數(shù)fx的極值點，即f'(?4)=(3?3a)f'(x)=(x2+3x?4)ex?1=(x+4)(x?1)ex?1，當(dāng)即x=?4是函數(shù)fx的極值點，函數(shù)fx在x=1處取得極小值故選：A.【變式3-2】（2022·安徽省高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xA．當(dāng)x=1時，fx取得極小值1 B．當(dāng)x=?1時，fC．當(dāng)x=3時，fx取得極大值33 D．當(dāng)x=?13時，【解題思路】求導(dǎo)可得f'(x)解析式，令f'(x)=0，可得極值點，利用表格法，可得f(x)的單調(diào)區(qū)間，代入數(shù)據(jù)，可得【解答過程】由題意得f'令f'(x)=0，解得x=?1或當(dāng)x變化時，f'(x)、x?-1?1,11f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)x=?1時，fx當(dāng)x=13時，故選：B.【變式3-3】（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））記函數(shù)fx=sinx+cosxexx≥0的極大值從大到小依次為x1、x2A．e3π B．e4π C．e6π【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)fx的單調(diào)性，求出函數(shù)fx的極大值點，利用極值的單調(diào)性可求出x2【解答過程】因為fx=sinx+cos令f'x=0可得x=nπn∈N當(dāng)x∈2k?2π,2k?1π時k∈當(dāng)x∈2k?1π,2kπ時k∈N當(dāng)x∈2kπ,2k+1π時所以，函數(shù)fx的極小值點為x=2k?1π所以，函數(shù)fx的極大值為f因為函數(shù)gk=1e2k因此，x2故選：C.【題型4利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】【方法點撥】設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；(2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.【例4】（2021·寧夏·高二期中（文））函數(shù)y=xex在x∈2,4A．2e2 B．1e C．4【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可求得最小值.【解答過程】∵y=xe∴y'當(dāng)x∈2,4時，∴函數(shù)y=xex在區(qū)間∴當(dāng)x=2時，函數(shù)y=xex取得最小值，∴函數(shù)y=xex在x∈2,4故選：A.【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)f(x)=13x3+4A．563 B．203 C．43【解題思路】根據(jù)f(x)在[?1，【解答過程】由f(x)=13x令f'(x)=0，解得當(dāng)?1<x<1，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)1<x<2，f'所以f(x)的極小值，也為最小值為f(1)=1故選：C.【變式4-2】（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx=a?3x?ax3在?1,1上的最小值為A．?∞,?1 B．12,+∞ C．?1,12【解題思路】取a=0可排除AB；取a=?3【解答過程】當(dāng)a=0時，fx=?3x在且最小值為f1當(dāng)a=?32時，fxx∈?1,1時，f'x≤0，所以最小值為f1故選：D.【變式4-3】（2022·廣東·高二開學(xué)考試）若函數(shù)f(x)=lnx+1?ax?2,x>0x+1x+a,x<0A．(?∞,eC．1e,+∞【解題思路】由基本不等式求得x＜0時，f（x）的值域，由題意可得x＞0時，f（x）的值域應(yīng)該包含在x＜0時的值域內(nèi)，轉(zhuǎn)化為a≥ln(x+1)x+1在x【解答過程】當(dāng)x＜0時，fx當(dāng)且僅當(dāng)x＝?1時，f（x）取得最大值f（?1）＝a?2，由題意可得x＞0時，fx=ln即ln(x+1)?ax?2≤a?2在x＞0時恒成立即a≥ln(x+1)x+1在即a≥ln設(shè)g(x)=ln∴g當(dāng)0<x<e?1時，g'當(dāng)x>e?1時，g'∴g(x)∴a≥1故選：C．【題型5導(dǎo)數(shù)中的零點（方程根）問題】【方法點撥】利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點主要有兩種方法：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的最值，轉(zhuǎn)化為f(x)圖象與x軸的交點問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x)，研究y=a與y=g(x)圖象的交點問題.【例5】（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx=lnx?ax+2=0a∈RA．0,+∞ B．0,e C．e,+【解題思路】先求函數(shù)定義域，進而轉(zhuǎn)化為gx=lnx+2x，x∈【解答過程】fx=ln故lnx+2x=a有兩個不同的根，即gx=其中g(shù)'當(dāng)x>1e時，g'x<0故gx=lnx+2x從而gx=lngx且當(dāng)x>1e2當(dāng)0<x<1e2畫出gx顯然要想gx=lnx+2x需要滿足a∈0,綜上：實數(shù)a的取值范圍是0,e故選：B.【變式5-1】（2022·四川·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)f(x)=1+ex(alnx?xa+x)（其中A．(?∞,?e2) B．(?e【解題思路】根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)、方程的解個數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)之間的關(guān)系可得方程lnxa?xa=lne?x?e?x有2個不同的解，構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx?x【解答過程】函數(shù)f(x)=1+e則方程1+e方程alnx?x設(shè)函數(shù)f(x)=lnx?x(x>1)，則所以函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，由得xa=e?x，即1a=?ln設(shè)函數(shù)g(x)=?lnxx令g'(x)<0?1<x<e所以函數(shù)g(x)在(1,e)上單調(diào)遞減，在故g(x)所以a<01a>?故選：D.【變式5-2】（2022·陜西·一模（理））若函數(shù)f(x)=kex?x2A．0,6e3 B．?2e,6【解題思路】運用分離變量法將k與x分開，將零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像有三個交點的問題，數(shù)形結(jié)合容易得到答案.【解答過程】由f(x)=0，得k=x2?3ex，設(shè)g(x)=x2?3ex,g'(x)=?(x+1)(x?3)ex若使得函數(shù)f(x)有3個零點，則0<k<6故選：A.【變式5-3】（2022·貴州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx滿足fx=f'x，且f0A．?∞,1C．0,1e 【解題思路】根據(jù)題意，構(gòu)造并求出函數(shù)fx的表達式，則函數(shù)gx有兩個零點轉(zhuǎn)化為?x=x【解答過程】由fx=f'x，可設(shè)fx=k?所以fx=2e令?x=x當(dāng)x<1時，?'x>0，所以函數(shù)f當(dāng)x>1時，?'x<0，所以函數(shù)f故?x又?0=0，當(dāng)x>1時，?x觀察圖象可知a∈0,1e故選：C．【題型6利用導(dǎo)數(shù)解（證明）不等式】【方法點撥】(1)一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點處的函數(shù)值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞減即可.(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題．【例6】（2022·吉林·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=x?a(1)若a=?1，求曲線y=fx在點1,f(2)當(dāng)a∈?1e【解題思路】（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，然后可得；（2）利用二次導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)函數(shù)的零點，從而可得函數(shù)的最值，然后可證.【解答過程】（1）因為a=?1，所以fx=x+1lnx?1又f1=?2，所以曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為（2）f'x設(shè)函數(shù)gx=xln所以gx在1因為a∈?1e,0，所以所以gx在1e,+∞上存在唯一零點x0當(dāng)x∈1e,x0時，gx<0，f因此fxmin=f設(shè)函數(shù)φx=?xlnx?12所以φx在1e,1即fxmin=φ【變式6-1】（2022·河北·高三期中）已知a>0，函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時，求fx(2)證明：fx【解題思路】（1）代入a=1，求出f'x=ex?1（2）原題可轉(zhuǎn)化為證明ex+lna?x?ln【解答過程】（1）當(dāng)a=1時，fx=e則f'x=所以f'x在?1,+∞所以當(dāng)x∈?1,0時，f'x<0；當(dāng)故fx在?1,0上單調(diào)遞減，在0,+（2）證明：因為a>0，由ax+a>0可得x>?1，則fx定義域為?1,+要證aex?只需證aex?令gx=ex?x，則g'x=ex?1，所以當(dāng)x∈?∞,0時，g'令?x=lnx+1?x+1，則?'x=1x+1?1=?xx+1，所以當(dāng)x∈?1,0時，?'故ex+lna【變式6-2】（2022·北京高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=fx在點1,f(2)當(dāng)a≥1時，討論函數(shù)fx(3)當(dāng)a≥2時，證明：fx【解題思路】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)點斜式求出切線方程；（2）求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可得函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（3）根據(jù)（2）中函數(shù)f(x)的單調(diào)性求出函數(shù)f(x)的最大值，再利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)f(x)的最大值小于0即可得證.【解答過程】（1）當(dāng)a=1時，f(x)=lnx?1f'(x)=1所以曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為（2）因為fx=ln所以f'(x)=1因為a≥1，所以當(dāng)0<x<1a時，f'(x)>0；當(dāng)所以f(x)在(0,1a)（3）當(dāng)a≥2時，由（2）知，f(x)在(0,1a)所以f(x)max=f(1a)=令g(a)=12a?則g'(a)=?12a2?所以g(a)≤g(2)=14?ln2所以f(x)max=g(a)<0【變式6-3】（2022·四川自貢·一模（理））設(shè)函數(shù)fx=ln(1)若b=1，求函數(shù)fx(2)證明：當(dāng)0<b≤1時，fx【解題思路】（1）代入b，求出f(x)，再求出f'(x)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)（2）設(shè)?(b)=f(x)+lnb=ln再設(shè)s(b)=ebb(0<b≤1)，t(x)=(1?x)ex(x>0)，通過導(dǎo)數(shù)s'(b)和t'(x)的性質(zhì)，s(b)的最小值和t(x)【解答過程】（1）b=1，f(x)=lnx?(x?1)e∵g∴g(x)在x∈(0,+∞)單調(diào)遞減，而∴x∈(0,1)，f'(x)>0，x∈(1,+∞∴f(x)的最大值為f(1)=0，無最小值.（2）當(dāng)0<b≤1時，?(b)=f(x)+ln?'設(shè)s(b)=ebbs(b)在b∈0,1上是單調(diào)遞減函數(shù)，∴s(b)≥s(1)=設(shè)t(x)=(1?x)ex(x>0)t(x)在x∈(0,+∞∴t(x)<t(0)=1，∴s(b)?t(x)=e∴?'(b)=?(b)=ln∴?(b)≤?(1)=ln∴l(xiāng)n∴f(x)+ln【題型7導(dǎo)數(shù)中的恒成立（存在性）問題】【方法點撥】解決不等式恒（能）成立問題有兩種思路：(1)分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題．(2)分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)進行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進行求解即可.【例7】（2022·黑龍江·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x(1)若a=?1，證明：f(x)≥xe(2)若fx>0對任意的x∈0,+【解題思路】(1)證明不等式f(x)≥xex+2(2)對a的正負分類討論，當(dāng)a<0時，可以直接去絕對值.當(dāng)a>0【解答過程】（1）證明：因為fx的定義域為0,+∞，所以若a=?1，要證f(x)≥xex+2，即證1+x(令?(x)=lnx+1x?1，所以?'(x)=1x?1x2=x?1所以?(x)≥?(1)=0，所以f(x)≥xe（2）若fx>0對任意的即xex?a令g(x)=x若a≤0，則g(x)=e由（1）知lnx+1x?1≥0，所以lnx+又ex>0，所以若a>0，令u(x)=xex?a(x>0)，u所以ux在0,+∞上單調(diào)遞增，又u(0)=?a<0，所以存在唯一的x0∈0,a，使得u所以gx=ax?所以g'(x)=?ax2當(dāng)x>x0時，g(x)=e當(dāng)x>x0時，y=ex?所以當(dāng)x>x0時，g'(x)=e所以g(x)min=g設(shè)y=xex，x∈0,1e所以y=xex在0,1e上單調(diào)遞增，所以綜上所述，a的取值范圍為?∞【變式7-1】（2022·四川高三期中）已知函數(shù)f(x)=1(1)若f(x)在R上是單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若對任意的x∈(0,+∞)，不等式f(x)>x(3【解題思路】（1）轉(zhuǎn)化為f'x=x?mex≤0在（2）代入fx并分離參數(shù)得m<?x2+x(lnx+1)【解答過程】（1）由題意得f'x=x?m∴m≥xexmax，設(shè)?x解得x=1，當(dāng)x<1時，?'x>0，此時?當(dāng)x>1時，?'x<0，此時?故?xmax=?（2）f(x)>x32x?即12x2即m<?x2設(shè)gx=?令g'x=0，∵顯然有一根為1，當(dāng)x?2?lnx=0時，令則φ'x=x?1x，當(dāng)0<x<1當(dāng)x>1時，φ'x>0故當(dāng)x=1時，φxmin=φ故存在x1∈e?2,1故存在x2∈1,而當(dāng)x>x2時，φx>0，且單調(diào)遞增，故在x>x同理0<x<x1時，φx>0，且單調(diào)遞減，故在0<x<x1<x<x2時，φx故在x1<x<x2故g'x=0只存在3個根x當(dāng)x∈0,x1時，g當(dāng)x∈x1,1時，g當(dāng)x∈1,x2時，gx∈x2,+∞時，故gx存在兩個極小值，gx1x1,xx1?2?lnxg==?e同理可得gx故gxmin=?【變式7-2】（2022·北京·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=1(1)a=3時，y=f(x)在點1,f(1)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)對任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，求【解題思路】（1）將a=3代入函數(shù)解析式，求出f1的值，再根據(jù)函數(shù)f(x)（2）求出導(dǎo)函數(shù)，對參數(shù)a進行分類討論即可得到答案；（3）若函數(shù)對任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，即可尋找區(qū)間上【解答過程】（1）根據(jù)題意，當(dāng)a=3時，fx=1所以f'x=x?2x，當(dāng)x=1所以y=f(x)在點1,f(1)處的切線方程為y?0=?1x?1，即x+y?1=0（2）因為函數(shù)f(x)=12xf'x=x?a?1x=x當(dāng)a?1<0即a<1時，x2?a?1因為f'x=x?所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+∞當(dāng)a?1>0即a>1時，令f'x>0，即x2?a?1>0令f'x<0，即x2?a?1<0綜上，當(dāng)a<1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為0,+∞當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為a?1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為（3）由（2）得，當(dāng)a<1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+∞所以當(dāng)x∈[1,+∞)時，函數(shù)f(x)在區(qū)間所以f(x)可得對任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，所以當(dāng)a>1，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為a?1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為所以對于x∈[1,+∞)，當(dāng)a?1≤1，即1<a≤2時，函數(shù)f(x)所以f(x)可得對任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，所以當(dāng)a?1>1時，即a>2，此時函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為a?1,+∞所以f(x)又因為f1根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間可知fa?1所以存在x0∈[1,+∞)有綜上，a的取值范圍為?∞【變式7-3】（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知f(x)=e(1)若x∈0,2π，求函數(shù)f(x)(2)若對?x1,x2【解題思路】（1）直接求導(dǎo)計算即可．（2）將問題轉(zhuǎn)化為fx2+ax2【解答過程】（1）f令f'x=0，因為x∈0,2π得x0，3π37π7f+0?0+f(x)↑極大值↓極小值↑所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為0，3π4和7f(x)極大值為f(3π4)=22e3π（2）對?x1,f(x設(shè)g(x)=f(x)+ax2，則g(x)在故g'(x)=e方法一：（含參討論）設(shè)?x則?0=1>0，?π?'x=2ex①當(dāng)a≥eπ時，故，當(dāng)x∈0,π4時，?當(dāng)x∈π4,π時，?此時，?'x≥min?'0②當(dāng)eπ2π≤a<eπ時，同①，當(dāng)x∈0,π∵?'π4∴由連續(xù)函數(shù)零點存在性定理及單調(diào)性知，?x0∈于是，當(dāng)x∈0,x0時，?當(dāng)x∈x0,π時，?∵?0=1>0，?π=?綜上，實數(shù)a的取值范圍是eπ方法二：（參變分離）由對稱性，不妨設(shè)0≤x則fx1?f設(shè)gx=fx+ax故g'x=∵g'0=1>0，∴,??2a≤exsin設(shè)?x=exsinx+cos設(shè)φx=2x?tan則φ'x=2?由φ'x>0，x∈0,π2∪由φ'x<0，x∈0,π2∪故x∈0,π2x∈π2,π從而，φxcosx=2x又x=π2時，2xcosx?sin?x=e?xmin=?于是，?2a≤?e綜上，實數(shù)a的取值范圍是eπ【題型8導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用】【方法點撥】解決實際問題時，首先要根據(jù)實際情況建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究，進而解決問題.【例8】用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2:1【解題思路】設(shè)出長方體的寬為xm，表達出長方體的長和高，從而體積V=?6x3+9x2【解答過程】設(shè)長方體的寬為xm，則長方體的長為2xm，故長方體的高為18?12x4由x>02x>092設(shè)長方體的體積為V，故V=2x?x?92則V'令V'=?18x令V'=?18x故V=?6x3+9x2故V=?6x3+9x2在x=1此時長為2x=2m，寬為1m，高為92【變式8-1】（2022·山東泰安·高二期中）如圖，一個面積為6400平方厘米的矩形紙板ABCD，在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖)．設(shè)小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB,AD的長分別為a厘米和b厘米，其中a≥b.（1）當(dāng)a=80，求紙盒側(cè)面積的最大值；（2）試確定a,b,x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．【解題思路】（1）當(dāng)a=80時，b=80，求出側(cè)面積，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求紙盒側(cè)面積的最大值；（2）表示出體積，利用基本不等式，導(dǎo)數(shù)知識，即可確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值.【解答過程】解：（1）當(dāng)a=80時，b=80，紙盒的底面是正方形，邊長為80?2x，周長為320?8x.所以紙盒的側(cè)面積S(x)=(320?8x)x=?8x2+320x令S'(x)=0，得所以當(dāng)x<20時，S'(x)>0，可知S(x)在區(qū)間當(dāng)x>20時，S'(x)<0，可知S(x