2023年北師版九年級下冊直角三角形的邊角關(guān)系知識點及習(xí)題

九年級下冊第一章直角三角形的邊角關(guān)

系

【知識要點】

一、銳角三角函數(shù):

正切：在放/板中，銳角/A的對邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記作tanA,即tanA=^

,?........b

正弦：在恐/儂7中，銳角NA的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦,記作sinA,即

b

余弦:在月1A4BC中銳角NA的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作c。sA,即cosA=—

c

余切:在放/胸中，銳角NA的鄰邊與對邊的比叫做/A的余切,記作c。tA,即

注:(1)sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定義的,NA是銳角(注意數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造直角三角形).

(2)sinA,cosA,tanA,是一個完整的符號，表達(dá)NA,習(xí)慣省去“N”號；

(3)sinA,cosA,tanA,是一個比值.注意比的順序，且sinA,cosA,tanA,均＞0,無單位.

(4)sinA,cosA,tanA,的大小只與/A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān).

(5)角相等，則其三角函數(shù)值相等;兩銳角的三角函數(shù)值相等，則這兩個銳角相等.

1、三角函數(shù)和角的關(guān)系

tanA的值越大，梯子越陡，NA越大；NA越大，梯子越陡,tanA的值越大。

sinA的值越大，梯子越陡，NA越大；NA越大，梯子越陡，sinA的值越大。

cosA的值越小，梯子越陡,NA越大；NA越大，梯子越陡，cosA的值越大。

2、三角函數(shù)之間的關(guān)系

（D互為余角的函數(shù)之間的關(guān)系

若NA為銳角，則

0°30°45°60090°

①sinA=cos(90°-ZA)，

叵

sina01

cosA=sin(90°-ZA)122

V3V2

②tanA=cot^00-NA)cosa10

V2HI

cotA=tan(90°一NA)

tana01一

3國

（2）同角的三角函數(shù)的關(guān)系

V3

cota—

2困10

1）平方關(guān)系：sinA2+cosA=12A)倒數(shù)3

關(guān)系：tanA?cotA=M3）商的關(guān)系:ta※運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，（1）當(dāng)角度在0。~90°

」sinA|.A間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p

nAq----卜cotA=-----

cosAsinA

二、解直角三角形：

※在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元

素,求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。

◎在△ABC中，NC為直角，NA、ZB>NC所對的邊分別為a、b、c,則有

（1）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2;

（2）兩銳角的關(guān)系：NA+NB=90。；◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下:

(3)邊與角之間的關(guān)系:已知條件解法

兩條邊兩條直角邊a和bc=7a2+b2,

tgA=B=90°-A

b

一條直角邊a和斜邊cb=Yd-a2sinA=—,

c

B=90°-A

一條邊和一一條直角邊a和銳角A

⑷面積公式：s”E=E(hc為C邊上的B=90°-A,c=—

個銳角sinA

b=a?ctgA

高);

斜邊c和銳角AB=90°-AJa=c■sinA?

o+b-cb=c■cosA

(5)直角三角形的內(nèi)切圓半徑r--

2

(6)直角三角形的外接圓半徑H

三、解直角三角形的應(yīng)用:

1、當(dāng)從低處觀測高處的目的時，視線與水平線所成的銳角稱為仰曲

當(dāng)從高處觀測低處的目的時,視線與水平線所成的銳角稱為俯角

圖1

h

2、如圖2,坡面與水平面的夾角叫做坡角(或叫做坡比)。用字母i表達(dá)，即i=—=tanA

◎從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目的方向的水平角，叫做方位角。如圖3,OA、OB、0C的方位角分別為

45°、135°、225°。

◎指北或指南方向線與目的方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4,OA、OB、OC、OD的

方向角分別是;北偏東30°,南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°,北

偏西60°。

圖2

圖3

圖4

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

銳角三角函數(shù)定義

一、填空題

1.如圖所示，8、B'是NMAN的AN邊上的任意兩點，8C_LAM于C點,3'C'_LAM于。'點，則△

B'C_AB')

B'ACs______1從而,又可得

①一-=_______即在RtZ\A6c中(NC=90°),當(dāng)//擬定期，它的________與_______的比是一個

AB

________值;

②一-=_______，即在RtA/1BC中(NC=90。)，當(dāng)NA擬定期，它的_______與__________的比也是

AB

一個;

B'C

'3：，即在RtaA8c中(/C=90°),當(dāng)NA擬定期，它的一

AC

與的比還是一個.

cB

第1題圖

2.如圖所示，在RtZXABC中，ZC=90°.

3.由于對于銳角a的每一個擬定的值,sina、cosa、tana分別都有與它

所以sina、cosa、tanc都是.又稱為a的.

4.在中,NC=90°,若a=9,b=12,貝ljc=,

sinA=,005/4=,tanX=,

sinB=,cQSB-,tanB=.

5.在RtZVl/C中,NC=90°,若a=l,b=3,則c=,

s\nA=,cosA=,tan4=,

sinB=,cosB=，tan8=.

6.在RtZ\48C中，N8=90°,若Q=16,。=30,則b=,

sin力二,cosA=,tanA=,

sinC=,cosC=,tanC=.

7.在RtzMBC中,NC=90°,若NA=30°，則N8=

sin4=,cosA=,tanA=,

sin8=,cosB=,tanB=.

二、解答題

8.已知:如圖，Rt/\TNM^fZTMN=90。，MR_LTN于7?點，77V=4,MN=3.

求:sinNTMR、cos/TMR、tanZTMR.

3

9.已知Rt△ABC中，ZC=90°,tanA=-,^C=12,求47、48和cosB.

4

綜合、運(yùn)用、診斷

10.已知：如圖，RtZ\A8C中，NC=90°.D是AC邊上一點，OE_LA8于E點.

DE：AE=1：2.求:sinB、cosS.tanB.

11.已知:如圖,AABC中,/C=12cm,A8=16cm,sinA=--

(1)求AB邊上的高CD;

(2)求AABC的面積S；

(3)求tanB.

12.已知:如圖,△48C中,48=9,BC=6,Z\48C的面積等于9,求sin夕.

拓展、探究、思考

13.已知：如圖，Rt△力6c中，ZC=90°,按規(guī)定填空:

(1)vsinA=—,

。=c?sinA,c=

(2)vcosA=—,

(3)tanA=—,

b

=

??afb

J3--------------

(4),/sinB=cosB=,tan3=

(5)?/cosB=—,sinB,tanA=

(6)*.,[tanfi=]3,/.sinB=\,|sinA=

正切：1、在RtAABC中，銳角A的對邊和鄰邊同時擴(kuò)大100倍，tanA的值（)

A.擴(kuò)大100倍B.縮小100倍C.不變D.不能擬定

2、已知/A,NB為銳角

⑴若NA=/B,貝(|tanAtanB;(2)若tanA=tanB,貝UZA

ZB.

3,在aABC中，ZC=90°,BC=12cm,AB=20cm,求tanA和tanB的值.

正弦和余弦:

1.已知△區(qū)況中，NC=90°,3cosB=2,AC』2閭,則AB=

2.在Rt|A43d中,|/。=90。|,假如|48=2|,|fiC=l|,那么應(yīng)囹的值是（）

D.叵]

A.B.C.

23

3.在囪區(qū)亞?中，|"=90。|,|a,b,c|分別是|N4NB,的對邊，若山=2a|,則|tanA=

4.如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子到墻的距離國=3米,cosNBAC=1,則梯子

AC

國的長度為米.

5.假如酉1是等腰直角三角形的一個銳角，則而同的值是()

A.B?日C川D.|>/2|

三角函數(shù)值的計算

一、填空題

L填表.

銳角a30°45°60°

sina

cosa

tana

二、解答題

2.求下列各式的值.

(1)2sin30°-收cos450(2)tan300—sin60°?sin30°

(3)cos450+3tan300+cos300+2sin60°—2tan45

212

(4)cos450-H-+----c--o--s----3-0°+sin2450

sin30°tan300

3.求適合下列條件的銳角a.

(3)sin2?=^

(1)COS2=5(2)(4)

6cos(a-16°)=373

綜合、運(yùn)用、診斷

4.已知：如圖，在菱形4BCD中,DE_L于E,BE=16cm,sinA=—?求此菱形

的周長.

5.已知:如圖，在△ABC中，NBAC=120°/2=10,AC=5.求：sin

ZACB的值.

6.已知:如圖，Rt△ABC中,NC=90°,/8AC=30°,延長。A至。點，使AD=A5.求:

(1)ND及NDBC；

(2)tanD及tan/D6C;

(3)請用類似的方法，求tan22.5°.

7.已知：如圖,RtZVlNC中，/。=90°,4。=8。=6，作/。/4。=30°/0交（72于。點,

求：⑴/84。；(2)sinNBA。、cos/84。和tan/8A

B

8.已知:如圖△/8C中，〃為BC中點，且/B/〃=90°t,anZB=-

3

求：sin/C4〃、cosZCADytanZCAD.

拓展、探究、思考

9.已知:如圖，ZAOB=90°,A0=OB,C,〃是匾上的兩點，N4。。＞NAOC,求證:

(1)0<sinZAOC<sinZAOD<1;

(2)1>cosZAOC>cosZAOD>0;

(3)銳角的正弦函數(shù)值隨角度的增大而;

（4）銳角的余弦函數(shù)值隨角度的增大而

C

10.己知：如圖，CAVAO,E、F是AC上的兩點，ZAOF>ZAOE.

⑴求證：tanZAOF>tanZ.AOE-,

⑵銳角的正切值隨角度的增大而

，sinA

11.己知:如圖,RtzMBC中,NC=90°,求證：⑴siM^+cos2A=1(2)tanA=-------

cosA

解直角三角形（一）

一、填空題

1.在解直角三角形的過程中，一般要用的重要關(guān)系如下（如圖所示）:

在Rt△/IBC中,NC=90°,AC=b,BC=a,AB=c,

①三邊之間的等量關(guān)系:

②兩銳角之間的關(guān)系:

③邊與角之間的關(guān)系:

第1題圖

④直角三角形中成比例的線段（如圖所示）.

c

第④小題圖

在RtZ\A3c中，NC=90°于D.

22

CD=；AC=

2

BC=,；AC-BC=____________

⑤直角三角形的重要線段（如圖所示）.

第⑤小題圖

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的,斜邊的中點是.

若/"是RtZiA3c（NC=90°）的內(nèi)切圓半徑，則r==.

⑥直角三角形的面積公式.

在RtA/ISC中,NC=90°,

S^ABC=.（答案不唯一）

2.關(guān)于直角三角形的可解條件，在直角三角形的六個元素中，除直角外，只要再知道

（其中至少）,這個三角形的形狀、大小就可以擬定下來.解直角三角形的基本類型可

分為己知兩條邊（兩條或斜邊和）及已知一邊和一個銳角（和

一個銳角或和一個銳角)

3.填寫下表:

已知條件解法

一條邊和斜邊C和銳角NAZB=____—,a=_______?b=_______

直角邊和銳角N

aAZB=______,b=_______fc=______

兩條直角邊a和bc=_____由____求__NA,ZB=_______

兩條邊

直角邊a和斜邊cb=________,由_________求NMB=________

二、解答題

4.在RtAABC中,NC=90°.

(1)已知：a=35,C=35&,求乙4、ZB,b;

(2)已知：|a=2百［即引求4、NB,c；

2----、

⑶已知：sinA,|c=6L求a、b；

3

(4)已知：tanB=—,/?=9,求。、c；

⑸已知：N4=60°,8。的面積5=126，求a、b、c及N8.

拓展、探究、思考

8.如圖所示，甲樓在乙樓的西面，它們的設(shè)計高度是若干層，每層高均為3m,冬天太陽光與水平面的夾角為

30

（1）若規(guī)定甲樓和乙樓的設(shè)計高度均為6層，且冬天甲樓的影子不能落在乙

樓上，那么建筑時兩樓之間的距離8〃至少為多少米?（保存根號）

（2）由于受空間的限制，甲樓和乙樓的距離BD=21m,若仍規(guī)定冬天甲樓

的影子不能落在乙樓上，那么設(shè)計甲樓時，最高應(yīng)建幾層?

9.王英同學(xué)從A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再從8地向正南方向走200m到C地,此時王英同

學(xué)離/地多少距離?

10.已知：如圖，在高2m,坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要多少米？（保存整數(shù)）

解直角三角形（二）

1.已知:如圖，△A8C中，NA=3O°,ZB=60",AC=1Ocm.

求及BC的長.

AB

2.已知:如圖,Rt△58c中，ZD=90°ZB=45°,AACD=60°.BC=10cm/。的長.

zA

上

BcQ

3.已知：如圖，△A8C中,/A=30°,ZB=135°,4010cm.求A8及8c長.

J

AB

4.已知:如圖，RtZWBC中,NA=30°,NC=90°,ZBDC=60°,BC=6cm.

求A。的長.

AD

綜合、運(yùn)用、診斷

5.已知：如圖，河旁有一座小山,從山頂A處測得河對岸點。的俯角為30°,測得岸邊點。的俯角為45°,

又知河寬CD為50m.現(xiàn)需從山頂A到河對岸點。拉一條筆直的纜繩AG求

山的高度及纜繩AC的長（答案可帶根號）.

三角函數(shù)的應(yīng)用

1、船有觸礁的危險嗎

例1、已知:如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得燈塔M在北偏西30。，貨輪以每小時20海里

的速度航行，1小時后到達(dá)8處，測得燈塔M在北偏西45°,問該貨輪繼續(xù)向北航行時，與燈塔加之間的

最短距離是多少？（精確到0.1海里,V3?1.732）

練習(xí)1、如圖，某貨船以20海里/時的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)16小時的航行

到達(dá),到達(dá)后必須立即卸貨.此時.接到氣象部門告知I,一臺風(fēng)中心正以40海里/時的速度由A向北偏西60°

方向移動，距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域（涉及邊界）均受到影響.

（1）問：B處是否會受到臺風(fēng)的影響？請說明理由.

（2）為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨品？（供選用數(shù)據(jù)：同為1.4,國^1.7）

練習(xí)2、、如圖，一條小船從港口因出發(fā)，沿北偏東畫方向航行區(qū)］海里后到達(dá)回處，然后又沿北偏西國

方向航行回海里后到達(dá)?處.問此時小船距港口因多少海里？（結(jié)果精確到1海里）

（以下數(shù)據(jù)可以選用：sin4020.6428cos40°20.7660,tan40"=0.8391,8~1.732.).

2、測量物體的高度（1）

例2、已知：如圖,在某旅游地一名游客由山腳A沿坡角為30°的山坡A6行走400m,到達(dá)一個景點B,

再由3地沿山坡3c行走320米到達(dá)山頂卻假如在山頂。處觀測到景點8的俯角為60°.求山高CD（精

確到0.01米）.

練習(xí)1、已知：如圖,在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時，梯子的頂端在B點;當(dāng)它

靠在另一側(cè)墻上時,梯子的頂端在D點.已知/8AC=60°,/〃AE=45".點〃到地面的垂直距離

DE=3在111,求點B到地面的垂直距離BC.

練習(xí)2、已知：如圖，小明準(zhǔn)備測量學(xué)校旗桿AB的高度，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)斜坡正對著太陽時，旗桿A3的影子恰好

落在水平地面和斜坡的坡面上，測得水平地面上的影長BC=20m,斜坡坡面上的影長C〃=8m,太陽光線/

。與水平地面成26°角，斜坡C〃與水平地面所成的銳角為30°,求旗桿AB的高度（精確到1m）.

3、測量物體的高度（2）

例3、某市為促進(jìn)本地經(jīng)濟(jì)發(fā)展,計劃修建跨河大橋,需要測出河的寬度AB,在河邊一座高度為300米

的山頂觀測點D處測得點A,點B的俯角分別為a=30°,9=60°,求河的寬度（精確到0.1米）D

ABC

練習(xí)1、如圖：某水壩的橫斷面為梯形|A6C4,壩頂寬函為R］米,壩高麗為國米,斜坡踵］的坡度

i=l：閭斜坡國的坡角為叵］.

求（1）斜坡國的坡角；（2）壩底寬國（精確到［3米）.

（參考數(shù)據(jù)：行=141,73=1.73）

直角三角形的邊角關(guān)系基礎(chǔ)性測試卷

一、選擇題

1.如圖，在國可中，國=3,國=4,亞=5,則應(yīng)目的值是（）

2.在函中，|/C=9F|,=則Icos41等于（）

3.如圖，已知正方形區(qū)甌的邊長為2,假如將線段畫繞著點回旋轉(zhuǎn)后,

點?落在畫的延長線上的點叵］處，那么ItanZBADl等于（）

A.1。D」2屈

4.如圖.一個小球由地面沿著坡度臼=1：2的坡面向上前進(jìn)了10回,

此時小球距離地面的高度為（。）

A.5回。B.2加mC.4亞m?

5.如圖,在某海島的觀測所八測得船只B的俯角是30°.若觀測所的標(biāo)高（當(dāng)水位為

0m時的高度）是53m,當(dāng)時的水位是+3m,則觀測所A和船只B的水平距離BC是

（）

A.50m??B.5()后m??C.53m?D.53后m

6.如圖，兩條寬度均為40m的國際公路相交成a角，那么這兩條公路在相交處的公共

部分（圖中陰影部分）的路面面積是（）

C.1600sina(m')D,1600cosa(rn2)

7.某市為了美化環(huán)境，計劃在如圖所示的三角形空地上種植草皮，已知這種草皮每2吵/粉中

平方米售價為。元，則購買這種草皮至少需要（）/------------

A.450a元B.225a元bbC.l50a元3D.300。元

8.身高相同的甲、乙、丙三人放風(fēng)箏，各人放出線長分別為300米、350米、280米,線與地面的夾

角分別為30°、45°、60。（假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的），三人所放風(fēng)箏（）

A.甲的最高。。8.乙的最高。C.丙的最高。。D.同樣高

二'填空題

1.在AA5C中，NC=90若tanB=2,a=l,則。=

2.在RAAB'中,|BC=3|,AC=&ZC=90,則|NA=|

3.在AA8C中,NC=90",tanA=2,貝i]sin4+cosC=

4.在用AABC中,ZC=90,sinA=-,|BC=2（）|,則國目的面積為

5

5.如圖所示，在高2m,坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要m.

6.如圖所示,從位于。處的某哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60°的方向，相距600m的A處有一艘快艇正

在向正南方向航行,通過若干時間，快艇到達(dá)哨所東南方向的B處,則48的距離為m.

7.如圖，在高為h的山頂上，測得一建筑物頂端與底部的俯角分別為30。和60°,用力表達(dá)這個建筑

（第A聯(lián)囪n（笛7顆疼n

（第6題圖）（第7題圖）

三'解答題

AC=1（）|,?是國上一點，若tanNDBC=1,求國的長.

1.在等腰直角三角形46C中，zc=90,

2.如圖，學(xué)校的保管室里,有一架5米長的梯子斜靠在墻上，此時梯子與地面所成的角為叵］,假如梯子的

底端回固定不動，頂端靠在對面墻上，此時梯子與地面所成的角為叵］,求此保管室的寬度國的長.

3.如圖，在|AABC|中,|A3=15|,|BC=|14,=84.求|tanNC|的值。

A13

4.一人由山底爬到山頂，他先爬了國的山坡200米，接著又爬了回的山坡100。米，到達(dá)山頂，求從山底

到山頂?shù)母叨?。（精確到際|）

5.如圖，沿AC方向開山修渠，為了加快施工速度,要在小山的另一邊同進(jìn)施工，從AC上的點B取NABD

=135°,BD=1200米，ZBDE=45°，那么開挖點E離D多遠(yuǎn)（精確到0.1米）正好能使A、C、E成一條

直線?

CEBA

直角三角形的邊角關(guān)系提高性測試卷

一、選擇題

1.如圖，在/?大△?!%中，N406=90°,?！ǎ?氏〃為垂足.若4C=4,叱3,則sin

的值為（)

3◎?同

AfB.

2.已知N4+N5=90°且cos/用，則cos3的值為（