浙江省金華第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

金華一中2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出該直線的方程，由點(diǎn)在該直線上，即可得出該直線方程.【詳解】設(shè)該直線方程為由點(diǎn)在該直線上，則，即即該直線方程為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了由兩直線垂直求直線方程，屬于中檔題.2.已知數(shù)列,,,則的值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將n=1和n=2代入遞推關(guān)系式，求解即可．【詳解】數(shù)列{an}，a2＝1，，可得a1+a2＝2，a2+a3＝4，解得a1＝1，a3＝3，a1+a3＝4．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.3.若橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)，建立的關(guān)系，從而求出離心率.【詳解】如圖，若橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則，所以橢圓的離心率為.故選：D.4.“點(diǎn)到直線距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，并結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可解答.【詳解】若點(diǎn)到直線的距離相等，則，解得或.∴點(diǎn)到直線的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則圓心為到直線的距離等于1，∴，解得.故選：B.6.已知數(shù)列是公差不為0無窮等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，若存在最大值，則（）A.在中最大的數(shù)是B.在中最大的數(shù)是C.在中最大的數(shù)是D.在中最大的數(shù)是【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，由是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即可判斷AB，由可得在中最大的數(shù)是不確定的，即可判斷CD.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由存在最大值可知，，因?yàn)?，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差等差數(shù)列，且，則是遞減數(shù)列，所以在中最大的數(shù)是，故A正確，B錯(cuò)誤；在中最大的數(shù)是不確定的，比如，由，可得，所以，即為最大值，故CD錯(cuò)誤；故選：A7.設(shè)雙曲線（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn)，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】由題意,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知在軸上，設(shè)，則由得：，因?yàn)榈街本€的距離小于，所以，即，所以雙曲線漸近線斜率，故選A．8.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，得出點(diǎn)在平面中，問題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)直線上取一點(diǎn)，求點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的和的最小值問題，建立平面直角坐標(biāo)系，問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線到直線的距離，從而可得結(jié)果.【詳解】如上圖示，連接則，點(diǎn)在平面中，且，，，在△中，以為x軸，為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖示，則，，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，而直線為①，所以，故直線為②，聯(lián)立①②，解得，故直線與的交點(diǎn)，所以對(duì)稱點(diǎn)，則，最小值為到直線的距離為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，結(jié)合將軍飲馬模型，求點(diǎn)到直線上動(dòng)點(diǎn)距離最小.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知雙曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的焦距為4C.雙曲線的虛軸長(zhǎng)為1 D.雙曲線的漸近線方程為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程可確定的值，即可求得雙曲線離心率、焦距、虛軸長(zhǎng)以及漸近線方程，即得答案.【詳解】由題意知雙曲線，設(shè)雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為a，虛半軸長(zhǎng)為b，焦距為2c，則，故雙曲線的離心率為，A錯(cuò)誤；雙曲線焦距為，B正確；雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；雙曲線的漸近線方程為，即，D正確，故選：BD10.已知直線，則下列說法正確的是（）A.直線過定點(diǎn)B.直線與直線不可能垂直C.若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值為D.直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，,對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，結(jié)合直線的平行條件，即可判斷，對(duì)于C，求出點(diǎn)與點(diǎn)的直線方程，根據(jù)對(duì)稱，即可求出，對(duì)于D，直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)，根據(jù)幾何關(guān)系和勾股定理，即可求出【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線與直線互相垂直,故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由題意知直線AB與直線垂直,且線段AB的中點(diǎn)在直線上，所以，且，解得，故C正確，對(duì)于D，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)圓心到直線的距離最大時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)圓心到直線的距離，解得，所以直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知拋物線上存在一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)．則（）A.拋物線的方程為 B.直線一定過拋物線的焦點(diǎn)C.線段長(zhǎng)的最小值為 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義，求得拋物線的方程，可判定A正確；設(shè)，得出和的方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到是方程的兩個(gè)不等式的實(shí)數(shù)根，再由韋達(dá)定理和，可判定D正確；由，得出直線，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式的形式，可判定B不正確，再由圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定C正確.【詳解】由拋物線，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€上存在一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，由拋物線的定義可得，可得，所以拋物線的方程為，所以A正確；設(shè)，顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)斜率為，可得的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)槭菕佄锞€的切線，所以，即，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程，可得橫坐標(biāo)為，即，設(shè)直線的斜率存在且不為0，設(shè)斜率為，同理可得：，且，所以是方程的兩個(gè)不等式的實(shí)數(shù)根，所以，因?yàn)?，所以，所以D正確；由，且，可得，則直線的方程為，即，又由，可得，所以，即，所以直線一定過定點(diǎn)，該點(diǎn)不是拋物線的焦點(diǎn)，所以B不正確.由直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，且，聯(lián)立方程組，整理得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，所以C正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與拋物線有關(guān)問題的方法與策略：1、涉及拋物線的定義問題：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡(jiǎn)單化．2、涉及直線與拋物線綜合問題：通常設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，同時(shí)注意向量、基本不等式、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)在解答中的應(yīng)用.12.在正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，平面B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，△PBD的面積為定值D.當(dāng)時(shí)，直線與所成角的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，確定點(diǎn)在面對(duì)角線上，通過證明面面平行，得線面平行；對(duì)于B選項(xiàng)，確定點(diǎn)在棱上，由等體積法，說明三棱錐的體積為定值；對(duì)于C選項(xiàng)，確定點(diǎn)在棱上，的底不變，高隨點(diǎn)的變化而變化；對(duì)于D選項(xiàng)，通過平移直線，找到異面直線與所成的角，在正中，確定其范圍.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，又平面，所以平面，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如下圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，三棱錐的體積為定值，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，過作于點(diǎn)，則，其大小隨著的變化而變化，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)共線，因?yàn)榍?所以四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角是直線與所成角，在正中，取值范圍為，D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知等差數(shù)列滿足，則______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解?故答案為：14.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在該橢圓上，若，則的面積是______．【答案】【解析】【分析】利用橢圓定義結(jié)合題設(shè)求得，可判斷，即可求得的面積.【詳解】由題意知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則，不妨取，則，又，結(jié)合可得，則，即，故，故答案為：15.已知球是直三棱柱的內(nèi)切球（點(diǎn)到直三棱柱各面的距離都相等），若球的表面積為，的周長(zhǎng)為4，則三棱錐的體積為______．【答案】##【解析】【分析】由題意求出直棱柱內(nèi)切球半徑，即可求得棱柱的高，將直棱柱分割為5個(gè)小棱錐，根據(jù)等體積法求得棱柱的底面積，再根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案.【詳解】設(shè)直三棱柱的高為h，設(shè)，內(nèi)切球的半徑設(shè)為r，則，球的表面積為，則，則；又的周長(zhǎng)為4，即，連接，則直三棱柱被分割為5個(gè)小棱錐，即以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，以三棱錐的兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面為底面的5個(gè)棱錐，根據(jù)體積相等可得，即，即得，故三棱錐的體積為,故答案為：16.設(shè)經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)且斜率為1的直線，與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則______．【答案】【解析】【分析】得到直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，求出的坐標(biāo)，得到，利用余弦定理求出答案.【詳解】由題意得，，直線的方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，不妨設(shè)在第一象限，解得，故，故，故，，，由余弦定理得.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知?jiǎng)訄A：.（1）當(dāng)時(shí)，求經(jīng)過原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；（2）若圓與圓：內(nèi)切，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）時(shí)圓心為，半徑為2．當(dāng)過原點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)恰好與此圓相切，此時(shí)切線方程為；當(dāng)過原點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)設(shè)直線方程為，當(dāng)直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑2，可求得的值，從而可得切線方程．（2）圓的圓心，半徑為；圓的圓心，半徑為4．當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)兩圓心距等于兩半徑的差的絕對(duì)值，從而可得的值．【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為，由題意得所以方程為.（2）,由題意得，兩邊平方解得.18.如圖，為平行四邊形，是邊長(zhǎng)為1的正方形，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）要證，轉(zhuǎn)化只需證明平面，只需證明、即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量和向量的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為利用向量和法向量所成的角，即可求解直線與平面所成角的正弦值．【小問1詳解】因?yàn)?，由余弦定理得，從而，∴，又，故．又，平面，所以底面，而底面，可得，因?yàn)槠矫妫嗥矫?，平面，?【小問2詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，設(shè)直線與平面所成的角為．故.19.如圖，已知拋物線與軸相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，是該拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)．（1）記直線的斜率分別為，求證：為定值；（2）過點(diǎn)作，垂足為，若平分，求的面積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，再利用兩點(diǎn)間的斜率公式即可證明.（2）由平分，可知，再由求出，再利用相交求出，即可求出的面積.【小問1詳解】由題意得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則，所以為定值．【小問2詳解】由直線的位置關(guān)系知：．因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)槭堑谝幌笙迌?nèi)的點(diǎn)，所以，則．聯(lián)立直線與的方程，解得．所以的面積．20.正項(xiàng)數(shù)列中，，對(duì)任意都有．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）設(shè)，試問是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足要求的；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），（2）存在，或或【解析】【分析】（1）利用平方差公式得到，從而判斷得是等差數(shù)列，從而利用公式法即可得解；（2）假設(shè)存在，利用中等中項(xiàng)公式即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．所以的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和.【小問2詳解】存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，由（1）得，假設(shè)存在正整數(shù)，傳得成等差數(shù)列，則，即，當(dāng)時(shí)，得，顯然不成立，所以，得，為整數(shù)，，故，即，對(duì)應(yīng)的，所以存在滿足要求的，或或.21.在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，且、分別為、的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若直線與平面的交點(diǎn)為，且，求截面與底面所成銳二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）先利用中位線判定四邊形是平行四邊形，得到線線平行，再利用線面平行的判定定理即證結(jié)果；（2）先找到點(diǎn)，利用線面平行的性質(zhì)定理，再建立空間直角坐標(biāo)系寫點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，計(jì)算夾角余弦即得結(jié)果.【詳解】解：（1）取的中點(diǎn)，連接、，∵是的中點(diǎn)，∴且，∵底面為直角梯形，，，即，且，∴且，∴四