第4章三角形證明 題型解讀13 全等典型模型：線段和差之“截長補(bǔ)短”模型-2020-2021學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊

《三角形證明》題型解讀13全等典型模型：線段和差之“截長補(bǔ)短”模型【知識梳理】不管是等腰三角形中的“等角對等邊”，還是三角形全等性質(zhì)的對應(yīng)邊相等，都是一條邊與一條邊的等量關(guān)系，當(dāng)出現(xiàn)“線段和或差”關(guān)系時(shí)，一般采用“截長補(bǔ)短”（在長邊上截取一段等于其中一條短邊，或延長其中一條短邊，使延長的長度等于另一短邊），把“線段的和或差”轉(zhuǎn)化成“一條邊與一條邊的等量關(guān)系”，再通過三角形全等知識來解題。注意：有些題既可以“截長”也可以“補(bǔ)短”，有些題只能用其中一種.【典型例題】例1.已知四邊形ABCD中，AB//CD，BE、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，求證：AB+CD=BC解析：在“AB+CD=BC”中，AB、CD是“短”，BC是“長”.方法（一）“截長”①在線段BC上取一點(diǎn)F，使BF=BA，連接EF，如圖1.由AB=BE,∠ABE=∠FBE，BE=BE，可得△ABE≌△FBE,∴∠A=∠BFE，∵AB//CD，∴∠A+∠D=180°,∴∠BFE+∠D=180°,∵∠BFE+∠CFE=180°,∴∠D=∠EFC,則由∠DCE=∠FCE,CE=CE可得△DCE≌△FCE,∴CD=CF，∴AB+CD=BF+CF=BC②在線段BC上取一點(diǎn)F，使CF=CD，連接EF，如圖1.由CF=CD,∠ECF=∠ECD，CE=CE，可得△DCE≌△FCE,∴∠D=∠EFC，∵AB//CD，∴∠A+∠D=180°,∴∠EFC+∠A=180°,∵∠EFC+∠EFB=180°,∴∠A=∠EFB,則由∠ABE=∠FBE,BE=BE可得△ABE≌△FBE,∴AB=BF，∴AB+CD=BF+CF=BC方法（二）“補(bǔ)短”③分別延長BE、CD交于點(diǎn)F，如圖2，由AB//CF可得∠ABE=∠F，由∠ABE=∠CBE則得∠CBE=∠F，∴CB=CF，∵∠CBE=∠F，∠BCE=∠FCE，CE=CE可得△BCE≌△FCE，∴BE=EF，∵∠AEB=∠DEF，BE=EF，∠ABE=∠F，∴△ABE≌△DFE，∴AB=DF，∴BC=CF=CD+DF=CD+AB；④分別延長BA、CE交于點(diǎn)F，如圖3，由CD//BF可得∠DCE=∠F，由∠DCE=∠BCE則得∠BCE=∠F，∴BC=BF，∵∠BCE=∠F，∠CBE=∠FBE，BE=BE可得△CBE≌△FBE，∴CE=EF，∵∠AEF=∠DEC，CE=EF，∠DCE=∠F，∴△CDE≌△FAE，∴CD=AF，∴BC=BF=AB+AF=AB+CD；【提醒】：此小題在“補(bǔ)短”時(shí)，最好選擇延長得交點(diǎn)，用三角形全等來證明延長的線段正好等于另一條短邊，若采用在延長線上截取一段等于另一短邊的線段，則在證明過程中，很容易忽視一個(gè)證明步驟：“三點(diǎn)共線”.以圖2為例.當(dāng)采用另一種“補(bǔ)短”方法，注意下面的【錯(cuò)誤證法】：延長線段CD到F，使DF=AB，連接EF，則由AB//CD可得∠ABE=∠F，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠F，∴BC=CF,∴BC=CF=CD+DF=CD+AB.以上證法中，輔助線是連接EF，即BE與EF并不一定在一條直線上，故由AB//CD不能得出∠ABE=∠F，需要補(bǔ)上證明步驟，先證B、E、F三點(diǎn)共線,再由“角平分線+平行線=等腰△”模型得出BC=CF.例2.如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的角平分線，且AC=AB+BD，求∠ABC的度數(shù).解析：在“AC=AB+BD”中，AC是“長”，AB、BD是“短”，方法（一）“截長”在線段AC上取一點(diǎn)E，使AE=AB，連接DE，如圖1，由AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD可得△BAD≌△EAD，∴BD=CE，∠B=∠AED，∵AC=AB+BD，AB=AE，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C，∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C，∵∠BAC=60°，∴∠B+∠C=120°，即3∠C=120°，∴∠C=40°，∴∠B=80°方法（二）“補(bǔ)短”延長線段AB到點(diǎn)E，使BE=BD，連接DE，如圖2，∴AC=AB+BD=AB+BE=AE，由AC=AE，∠CAD=∠EAD，AD=AD可得△CAD≌△EAD，∴∠C=∠E，∵BD=BE，∴∠BDC=∠E，∴∠ABC=∠EDC+∠E=2∠E，∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠C=120°，∴∠ABC+∠E=120°，即3∠E=120°，∴∠E=40°，∴∠B=80°.例3.四邊形ABCD是正方形（四條邊都相等，四個(gè)角都是直角）（1）如圖1，將一個(gè)直角頂點(diǎn)與A點(diǎn)重合，角的兩邊分別交BC于E，交CD的延長線于F，試說明BE=DF；（2）如圖2，若將（1）中的直角改為45°角，即∠EAF=45°，E、F分別在邊BC、CD上，試說明EF=BE+DF；（3）如圖3，改變（2）中的∠EAF的位置（大小不變），使E、F分別在BC、CD的延長線上，若BE=15,DF=2，試求線段EF的長.【思路分析】（1）基礎(chǔ)簡單小題，只需用ASA證△ADF≌△ABE即可得到BE=DF；（2）中等難度小題，數(shù)學(xué)典型題型“線段和差問題”，解題方法是“截長補(bǔ)短”，延長EB到M，使BM=DF，連接AM，證△AME≌△AFE，可得EF=ME=MB+BE=DF+BE；（3）與（2）相比，除了∠EAF的位置變動(dòng)了，題目主要條件沒變，“一動(dòng)兩靜”，屬典型的幾何動(dòng)態(tài)問題（可視E、F為動(dòng)點(diǎn)）。解決初中幾何動(dòng)態(tài)問題，最好的解題方法或技巧就是“解題思路的延續(xù)性”---即第（2）小題的解題思路、過程或所涉最主要知識點(diǎn)、結(jié)論，一定要在解決第（3）小題時(shí)得到繼續(xù)運(yùn)用。所以把握住兩點(diǎn)思考分析：①求EF的長，必定與第（2）小題結(jié)論中“EF=BE+DF”中的三條線段“EF、BE、DF”的和差有關(guān)，所以突破口是：找到EF、BE、DF在此小題中的和差關(guān)系；②找三者的和差關(guān)系時(shí)，一定要用到兩個(gè)主要知識點(diǎn)：截長補(bǔ)短和三角形全等。這樣，此小題就有了思考方向了：由圖猜想：EF=BE-DF，從圖形的“美感”來看及結(jié)合圖1、2易推測，此小題用“截長”，而不適合用“補(bǔ)短”，在BE上截取BN，使BN=DF，連接AN，證△ANE≌△AFE，可得EF=NE=BE-BN=BE-DF=15-2=13；【解題過程】（1）∵∠EAF=90°,∠BAD=90°,即∠DAF+∠DAE=90°,∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAF=∠BAE,∵AB=AD,∠B=∠D=90°,∴△ADF≌△ABE(ASA)，∴BE=DF；（2）如圖4，延長EB到M，使BM=DF，連接AM，∵DF=BM，∠B=∠D=90°,AB=AD，∴△ADF≌△ABM(SAS)，∴AM=AF，∠1=∠4，∵∠2=45°，∴∠1+∠3=45°，∴∠4+∠3=45°，即∠MAE=45°，∴∠MAE=∠FAE，∵AM=AF,AE=AE,∴△AME≌△AFE(SAS)，∴ME=EF，∴EF=MB+BE=DF+BE；（3）如圖5，在BE上截取BN，使BN=DF，連接AN，∵DF=BN，∠B=∠D=90°,AB=AD，∴△ADF≌△ABN(SAS)，∴AN=AF，∠1=∠4，∵∠1+∠2=45°，∴∠4+∠2=45°，∴∠3=45°，∴∠NAE=∠FAE，∵AN=AF,AE=AE,∴△ANE≌△AFE(SAS)，∴NE=EF，∴EF=BE-BN=BE-DF=15-2=13；例4.已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°,求證：AE=AD+BE.【整體思路分析】（1）出現(xiàn)線段的和差關(guān)系，先用“截長補(bǔ)短”的方法，把等式中的和或差轉(zhuǎn)化掉，把和差關(guān)系轉(zhuǎn)化成線段“一對一”的等量關(guān)系，再利用全等知識證明；（2）由題可知：線段AE是“長”，線段AE、BE是“短”，轉(zhuǎn)化角度有兩種：①在“長邊”AE上截取一段，使該線段等于“短邊”的AD或BE；②延長“短邊AD”，使延長的線段等于BE的長；這樣，即可把所求結(jié)論中的“AE=AD+BE”，通過等式性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成形如“AD=?或BE=?或AE=？”,再利用三角形全等性質(zhì)即可解題【具體證明思路步驟】（1）“截長思路”①在AE上截取一段EF，使EF=BE；則AE=AD+BE就變形成了AF+EF=AD+BE，由于EF=BE，則只需證明AF=AD即可，只需證△ADC≌△AFC即可，結(jié)合題目條件，容易找到以下全等條件：由AC是角平分線可得的∠1=∠2;公共邊AC=AC；還缺一個(gè)全等條件，一定與未用過的已知條件“∠B+∠D=180°”及“EF=BE”所隱藏的條件有關(guān)；由已作的BE=EF;由CE⊥AB可得的∠CEF=∠CEB=90°；由公共邊CE=CE，SAS易證△CEF≌△CEB，可得∠B=∠4，由∠B+∠D=180°、∠4+∠3=180°，利用“等角的補(bǔ)角相等”這一性質(zhì)可得∠D=∠3，由AAS易證△ADC≌△AFC，則AD=AF；②在AE上截取一段AF，使AF=AD；則AE=AD+BE就變形成了AF+EF=AD+BE，由于AD=AF，則只需證明EF=BE即可，只需證△CEF≌△CFB即可，結(jié)合題目條件，容易找到以下全等條件：由CE⊥AB可得的∠CEF=∠CEB=90°；由公共邊CE=CE；還缺一個(gè)全等條件，一定與未用過的已知條件“∠B+∠D=180°”及“AD=AF”所隱藏的條件有關(guān)；由已作的AD=AF;由AC是角平分線可得的∠1=∠2;公共邊AC=AC；SAS易證△DAC≌△EAC，可得∠D=∠3，由∠B+∠D=180°、∠4+∠3=180°，利用“等角的補(bǔ)角相等”這一性質(zhì)可得∠B=∠4，由AAS易證△CEF≌△CEB，則EF=EB；附：以上兩種證明思路，均屬于“截長思路”，截取的線段可以等于兩條“短邊”中的任意一條，證明過程只有先后順序之別，實(shí)質(zhì)是相同的，都需要證兩次三角形全等；（2）“補(bǔ)短思路”①“補(bǔ)短邊AD”，如圖2.為了能利用到CE⊥AB這個(gè)已知條件，故“補(bǔ)短”的方法是：作CF⊥AD，這樣，由∠1=∠2、∠F=∠AEC=90°、AC=AC可證△AFC≌△AEC，可得CF=CE，AE=AF=AD+DF，只需證DF=BE即可。按①或②的思路可得∠3=∠B，再加上CF=CE、∠F=∠CEB=90°，AAS便可證△CFD≌△CEB，可得DF=BE；②“補(bǔ)短邊BE”，如圖3.為了能利用到CE⊥AB這個(gè)已知條件，故“補(bǔ)短”的方法是：延長AE到F，使AE=EF，這樣，由AE=EF、∠CEA=∠CEF=90°、CE=CE可證△AEC≌△FEC，可得AC=CF，∠2=∠F.現(xiàn)在只需證AD=B