專題09 分式方程的增根（專項培優(yōu)訓練）（教師版）

專題09分式方程的增根（專項培優(yōu)訓練）試卷滿分：100分考試時間：120分鐘難度系數(shù)：0.58一．填空題（共12小題，滿分24分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）解關(guān)于x的方程有增根，則m的值為﹣．解：方程兩邊都乘（x﹣2），得x﹣3＝2m，∵方程有增根，∴增根使最簡公分母x﹣2＝0，即增根是x＝2，把x＝2代入整式方程，得m＝﹣．故答案為：﹣．2．（2分）（2023春?青羊區(qū)校級期中）若關(guān)于x的方程有增根，則n的值為2．解：，n﹣2＝x﹣1，解得：x＝n﹣1，∵方程有增根，∴x＝1，把x＝1代入x＝n﹣1中得：1＝n﹣1，解得：n＝2，故答案為：2．3．（2分）（2023春?達川區(qū)校級期末）若關(guān)于x的方程有增根，則k的值為﹣或3．解：方程兩邊都乘（x+3）（x﹣3），得x+3+k（x﹣3）＝3+k∵原方程有增根，∴最簡公分母（x+3）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣3或3，當x＝﹣3時，k＝﹣，當x＝3時，k＝3，故a的值可能是﹣，3．故答案為﹣或3．4．（2分）（2023?巴中一模）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m＝﹣3．解：方程兩邊都乘（x﹣3），得x＝2（x﹣3）﹣m，∴x＝6+m，∵原方程的增根為x＝3，∴6+m＝3，解得m＝﹣3，故答案為：﹣3．5．（2分）（2023春?東至縣期末）若關(guān)于x的方程有增根，則k的值為1．解：方程兩邊都乘（x﹣3），得k+2（x﹣3）＝4﹣x，∵原方程有增根，∴最簡公分母（x﹣3）＝0，解得x＝3，把x＝3代入k+2（x﹣3）＝4﹣x，得k＝1．故答案為1．6．（2分）（2023春?開江縣期末）若去分母解分式方程會產(chǎn)生增根，則m的值為1．解：，x﹣2+2（x﹣3）＝m，解得：x＝，∵分式方程會產(chǎn)生增根，∴x﹣3＝0，∴x＝3，把x＝3代入x＝中得：3＝，解得：m＝1，故答案為：1．7．（2分）（2023春?柯橋區(qū)期末）用去分母的方法解關(guān)于x的分式方程時會產(chǎn)生增根，則a的值是1．解：把分式方程去分母得：2﹣x＝﹣a﹣2（x﹣3），解得：x＝4﹣a，∵分式方程有增根，∴x＝3，把x＝3代入x＝4﹣a中得：3＝4﹣a，解得：a＝1，故答案為：1．8．（2分）（2023春?錫山區(qū)期末）若關(guān)于x的方程有增根，則這個增根為x＝2，m的值是5．解：方程兩邊乘（x﹣2）得：1﹣（3x﹣m）＝x﹣2，∴x＝，∵方程有增根，增根為x＝2，∴x﹣2＝0，∴＝2，∴m＝5．故答案為：2，5．9．（2分）（2023春?東臺市期中）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m＝﹣2．解：方程兩邊都乘（x﹣3），得m＝﹣2+x﹣3，∵原方程有增根，∴最簡公分母（x﹣3）＝0，解得x＝3，當x＝3時，m＝﹣2，故答案為﹣2．10．（2分）（2023春?高郵市期末）關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是2．解：方程兩側(cè)同乘（x﹣1）得：m﹣2＝3（x﹣1），將x＝1代入整式方程得：m＝2．11．（2分）（2023春?梁溪區(qū)校級期末）當m＝10時，關(guān)于x的方程會產(chǎn)生增根．解：方程兩邊同乘以（x﹣2）得：5x+（x﹣2）＝m，解得：x＝（m+2），將x＝2代入上式，得m＝10，∴當m＝10時，方程產(chǎn)生增根．故答案為：10．12．（2分）（2023春?壽寧縣期中）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是3．解：方程兩邊都乘（x﹣1），得m﹣3＝x﹣1，∵原方程增根為x＝1，∴把x＝1代入整式方程，得m＝3．故答案為：3．二．選擇題（共6小題，滿分12分，每小題2分）13．（2分）（2023春?滕州市期末）已知關(guān)于x的分式方程有增根，則k的值為（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3解：去分母得：k+3＝x﹣2，∵分式方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，把x＝2代入k+3＝x﹣2得：k+3＝2﹣2，解得：k＝﹣3，故選：C．14．（2分）（2023春?乾縣期末）若關(guān)于x的方程有增根，則m的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3解：方程兩邊都乘（x﹣3），得x﹣1＝m，∵原方程有增根，∴最簡公分母x﹣3＝0，即增根是x＝3，把x＝3代入整式方程，得m＝2．故選：C．15．（2分）（2022春?鄞州區(qū)校級期末）若關(guān)于x的分式方程＝4﹣去分母時產(chǎn)生增根，則a的值為（）A．6 B．3 C．2 D．1解：把分式方程去分母得：3x﹣a＝4（x﹣2）+a，∵分式方程有增根，∴x＝2，把x＝2代入得：6﹣a＝a，解得：a＝3，故選：B．16．（2分）（2021秋?冷水灘區(qū)期中）若關(guān)于x的分式方程有增根，則k的值是（）A． B．﹣1 C．1 D．解：∵分式方程有增根，∴x﹣5＝0，解得x＝5，原方程化為：+1＝，x﹣6+x﹣5＝﹣2k，2x﹣11＝﹣2k，把x＝5代入2x﹣11＝﹣2k得，10﹣11＝﹣2k，解得k＝．故選：D．17．（2分）（2023春?新城區(qū)校級期末）關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（）A．2 B．1 C．﹣3 D．3解：方程兩邊都乘（x﹣2），得m+3＝x﹣2，∵原方程增根為x＝2，∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣3．故選：C．18．（2分）（2022春?遼陽期末）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（）A．0 B． C．1 D．4解：，去分母，得7x+3（x﹣1）＝2m﹣1．去括號，得7x+3x﹣3＝2m﹣1．移項，得10x＝2m﹣1+3．合并同類項，得10x＝2m+2．x的系數(shù)化為1，得x＝．∵關(guān)于x的分式方程有增根，∴＝1．∴m＝4．故選：D．三．簡答題（共6小題，滿分22分）19．（4分）（2023春?達川區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的方程．（1）當m取何值時，此方程的解為x＝3？（2）當m取何值時，此方程會產(chǎn)生增根？解：（1）將x＝3代入分式方程得：6+m＝3，解得m＝﹣3；（2）去分母得：2x+m＝3（x﹣2），將x＝2代入整式方程得：4+m＝0，即m＝﹣4．∴當m＝﹣4時，此方程會產(chǎn)生增根．20．（6分）（2023春?和平區(qū)校級期中）關(guān)于x的分式方程．（1）若方程的增根為x＝2，求m的值；（2）若方程有增根，求m的值；（3）若方程無解，求m的值．解：去分母，得：2（x+1）+mx＝3（x﹣2），（1﹣m）x＝8，（1）當方程的增根為x＝2時，（1﹣m）×2＝8，所以m＝﹣3；（2）若原分式方程有增根，則（x+1）（x﹣2）＝0，∴x＝2或x＝﹣1，當x＝2時，（1﹣m）×2＝8，所以m＝﹣3；當x＝﹣1時，（1﹣m）×（﹣1）＝8，所以m＝9，所以m的值為﹣3或9時，方程有增根；（3）當方程無解時，即當1﹣m＝0時，（1﹣m）x＝8無解，所以m＝1；當方程有增根時，原方程也無解，即m＝﹣3或m＝9時，方程無解所以，當m＝﹣3或m＝9或m＝1時方程無解．21．（4分）（2022春?雁塔區(qū)校級期末）若關(guān)于x的方程有增根，求實數(shù)m的值．解：∵該方程的最簡公分母是x（x+1），∴該方程的增根為x＝0或x＝﹣1，方程兩邊同乘以x（x+1）得，2mx﹣（m+1）＝x+1，整理，得（2m﹣1）x＝m+2，∴2m﹣1≠0，解得m≠，當x＝0時，（2m﹣1）×0＝m+2，解得m＝﹣2；當x＝﹣1時，（2m﹣1）×（﹣1）＝m+2，m＝﹣，∴實數(shù)m的值為﹣2或﹣．22．（4分）（2022春?靜安區(qū)期中）若分式方程有增根x＝﹣1，求k的值．解：兩邊都乘以x（x﹣1）（x+1），得：（k﹣1）x﹣（x+1）＝（x+1）（k﹣5），∵方程有增根x＝﹣1，∴代入整式方程，得：﹣（k﹣1）＝0，解得：k＝1．23．（4分）（2021春?吉安縣期末）若關(guān)于x的方程有增根，則增根是多少？并求方程產(chǎn)生增根時m的值．解：去分母，得：m+2（x﹣3）＝x+3，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0或x+3＝0，即x＝±3，把x＝3代入整式方程，可得：m＝6，把x＝﹣3代入整式方程，可得：m＝12，綜上，可得：方程的增根是x＝±3，方程產(chǎn)生增根時m＝6或12．24．（4分）（2021秋?寧遠縣校級月考）若關(guān)于方程有增根，求m的值．解：去分母得：3（x+3）+m＝2（x﹣3），∵分式方程有增根，∴（x+3）（x﹣3）＝0，即x＝3或x＝﹣3，把x＝3代入整式方程得：18+m＝0，即m＝﹣18；把x＝﹣3代入整式方程得：m＝﹣12．四．解答題（共6小題，滿分38分）25．（6分）（2023春?南陽期末）小丁和小迪分別解方程過程如下：小?。航猓喝シ帜?，得x﹣（x﹣3）＝x﹣2去括號，得x﹣x+3＝x﹣2合并同類項，得3＝x﹣2解得x＝5∴原方程的解是x＝5小迪：解：去分母，得x+（x﹣3）＝1去括號得x+x﹣3＝1合并同類項得2x﹣3＝1解得x＝2經(jīng)檢驗，x＝2是方程的增根，原方程無解你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤，請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．解：小丁和小迪的解法錯誤；﹣＝1，去分母，得x+（x﹣3）＝x﹣2，去括號，得2x﹣3＝x﹣2，解得，x＝1，經(jīng)檢驗：x＝1是方程的解．所以小丁和小迪的解法錯誤．26．（6分）（2023春?義烏市月考）（1）已知關(guān)于x的分式方程．①當a＝5時，求方程的解．②若該方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．（2）關(guān)于x的方程有整數(shù)解，求此時整數(shù)m的值．解：（1）①當a＝5時，分式方程為：+＝1，5﹣3＝x﹣1，解得：x＝3，檢驗：當x＝3時，x﹣1≠0，∴x＝3是原方程的根；②，a﹣3＝x﹣1，解得：x＝a﹣2，由題意得：x﹣1＝0，解得：x＝1，∴a﹣2＝1，解得：a＝3，∴a的值為3；（2），mx﹣1﹣1＝2（x﹣2），解得：x＝，∵方程有整數(shù)解，∴2﹣m＝±1或2﹣m＝±2且≠2，解得：m＝1或3或0或4且m≠1，∴m＝3或0或4，∴此時整數(shù)m的值為3或0或4．27．（6分）（2022春?蘭溪市期末）（1）教材閱讀：“解分式方程一定要驗根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程兩邊所乘的公分母，看分母的值是否為零，使分母為零的根我們說它是增根．”（2）知識應用：①小明說，方程無解，試通過解方程說明理由．②m為何值時，方程有增根．解：①）去分母，得2（x+2）﹣4x＝0，解得x＝2，經(jīng)檢驗：x＝2是方程的增根，所以原方程無解；②去分母，得2﹣x＝﹣m﹣2（x﹣3），化簡，得x＝4﹣m，因為方程有增根，所以3＝4﹣m，解得，m＝1，所以m＝1時，方程有增根．28．（6分）（2021秋?寬城縣期末）王涵想復習分式方程，由于印刷問題，有一個數(shù)“？”看不清楚：＝2﹣．（1）她把這個數(shù)“？”猜成﹣2，請你幫王涵解這個分式方程；（2）王涵的媽媽說：“我看到標準答案是：x＝3是方程的增根，原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“？”代表的數(shù)是多少？解：（1）由題意，得，去分母，得x＝2（x﹣3）+2，去括號，得x＝2x﹣6+2，移項、合并同類項，得x＝4，經(jīng)檢驗，當x＝4時x﹣3≠0，∴x＝4是原分式方程的解；（2）設原分式方程中“？”代表的數(shù)為m，方程兩邊同時乘（x﹣3）得x＝2（x﹣3）﹣m，由于x＝3是原分式方程的增根，把x＝3代入上面的等式解得m＝﹣3，∴原分式程中“？”代表的數(shù)是﹣3．29．（6分）（2020春?靈石縣月考）閱讀下面同學們作業(yè)中的一些片段．解方程：+＝1解法一：﹣＝1①3﹣x﹣1＝1②﹣x＝﹣1③x＝1④檢驗：當x＝1時，x﹣4≠0⑤所以x＝1是原分式方程的解．解法二：＝1﹣①②x﹣4＝4﹣x③x＝4④檢驗：當x＝4時，x﹣4＝0⑤所以x＝4是原分式方程的增根，原分式方程無解．（1）分析一下上面的解法是否有錯誤？如有錯誤，請指出出錯的地方，并說明錯誤原因．（2）請你寫出正確的解題過程．（3）為預防出現(xiàn)類似錯誤，你有什么好的建議？解：（1）解法一有錯誤，錯在第②步，錯誤原因是：等號右邊的1沒有乘（x﹣4）；解法二有錯誤，錯在第③步，錯誤原因是：方程兩邊同時約去x﹣3時，必須保證x﹣3≠0，但這里x﹣3恰好能夠等于0，所以這種變形是錯誤的；（2）正確的解法：3﹣x﹣1＝x﹣4，﹣2x＝﹣6，x＝3，檢驗：當x＝3時，x﹣4≠0，所以：x＝3是原分式方程的根；（3）在去分母時，常數(shù)項不要漏乘最簡公分母．30．（8分）（2019秋?忻州期末）閱讀理解，并解決問題．分式方程的增根解分式方程時可能會產(chǎn)生增根，原因是什么呢？事實上，解分式方程時產(chǎn)生增根，主要是在去分母這一步造成的．根據(jù)等式的基本性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．但是，當?shù)仁絻蛇呁?時，就會出現(xiàn)0＝0的特殊情況．因此，解方程時，方程左右兩邊不能同乘0．而去分母時會在方程左右兩邊同乘公分母，此時無法知道所乘的公分母的值是否為0，于是，未知數(shù)的取值范圍可能就擴大了．如果去分母后得到的整式方程的根