6.1-6.3線段射線直線與角（重難點(diǎn)突破）

突破~線段、射線、直線與角【知識點(diǎn)一、直線】1．概念：直線是最簡單、最基本的幾何圖形之一，是一個(gè)不作定義的原始概念，直線常用“一根拉得緊的細(xì)線”、“一張紙的折痕”等實(shí)際事物進(jìn)行形象描述．2.表示方法：（1）可以用直線上的表示兩個(gè)點(diǎn)的大寫英文字母表示，如圖1所示，可表示為直線AB(或直線BA)．圖1 圖2（2）也可以用一個(gè)小寫英文字母表示，如圖2所示，可以表示為直線．3.基本性質(zhì)：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線．簡單說成：兩點(diǎn)確定一條直線．特別說明：直線的特征：（1）直線沒有長短，向兩方無限延伸．（2）直線沒有粗細(xì)．（3）兩點(diǎn)確定一條直線．（4）兩條直線相交有唯一一個(gè)交點(diǎn)．4.點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在直線上，如圖3所示，點(diǎn)A在直線m上，也可以說：直線m經(jīng)過點(diǎn)A．（2）點(diǎn)在直線外，如圖4，點(diǎn)B在直線n外，也可以說：直線n不經(jīng)過點(diǎn)B．圖3 圖4【知識點(diǎn)二、線段】1.概念：直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段．2.表示方法：（1）線段可用表示它兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)大寫英文字母來表示，如圖所示，記作：線段AB或線段BA．（2）線段也可用一個(gè)小寫英文字母來表示，如圖5所示，記作：線段a．圖53.“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個(gè)長度的線段．4.基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點(diǎn)之間，線段最短．如圖6所示，在A，B兩點(diǎn)所連的線中，線段AB的長度是最短的．圖6圖65.線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如圖7所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則，或AB＝2AC＝2BC．圖圖7特別說明：若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C一定在線段AB上．【知識點(diǎn)三、射線】1.概念：直線上一點(diǎn)和它一側(cè)的部分叫射線，這個(gè)點(diǎn)叫射線的端點(diǎn)．如圖8所示，直線l上點(diǎn)O和它一旁的部分是一條射線，點(diǎn)O是端點(diǎn)．圖8圖82.特征：是直的，有一個(gè)端點(diǎn)，不可以度量，不可以比較長短，無限長．3.表示方法：（1）可以用兩個(gè)大寫英文字母表示，其中一個(gè)是射線的端點(diǎn)，另一個(gè)是射線上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，端點(diǎn)寫在前面，如圖8所示，可記為射線OA．（2）也可以用一個(gè)小寫英文字母表示，如圖8所示，射線OA可記為射線l．特別說明：(1)端點(diǎn)相同，而延伸方向不同，表示不同的射線．如圖9中射線OA，射線OB是不同的射線．圖9圖9(2)端點(diǎn)相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線．如圖10中射線OA、射線OB、射線OC都表示同一條射線．圖10圖10【知識點(diǎn)四、直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系】1.直線、射線、線段之間的聯(lián)系（1）射線和線段都是直線上的一部分，即整體與部分的關(guān)系．在直線上任取一點(diǎn)，則可將直線分成兩條射線；在直線上取兩點(diǎn)，則可將直線分為一條線段和四條射線．（2）將射線反向延伸就可得到直線；將線段一方延伸就得到射線；將線段向兩方延伸就得到直線．2．三者的區(qū)別如下表類型名稱直線射線線段圖形表示方法①兩個(gè)大寫字母；②一個(gè)小寫字母①兩個(gè)大寫字母（表示端點(diǎn)的字母在前）②一個(gè)小寫字母①表示兩端點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母②一個(gè)小寫字母端點(diǎn)個(gè)數(shù)無1個(gè)2個(gè)延伸性向兩方無限延伸向一方無限延伸不可延伸性質(zhì)兩點(diǎn)確定一條直線兩點(diǎn)之間，線段最短度量不可以不可以可以作圖敘述過A、B作直線AB以A為端點(diǎn)作射線AB連接AB特別說明：（1）聯(lián)系與區(qū)別可表示如下：向兩方延伸向一方延伸直線（直線的性質(zhì)公理）線段線段長短的比較，線段的中點(diǎn)射線向兩方延伸向一方延伸直線（直線的性質(zhì)公理）線段線段長短的比較，線段的中點(diǎn)射線反向延伸反向延伸（2）在表示直線、射線與線段時(shí)，勿忘在字母的前面寫上“直線”“射線”“線段”字樣．【知識點(diǎn)五、角的概念的理解】角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．特別說明：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：特別說明：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角．【知識點(diǎn)六、余角與補(bǔ)角】1.定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°，就說這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．類似地，如果兩個(gè)角的和等于180°，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．2．性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等．特別說明：(1)互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°－α)，一個(gè)角α的補(bǔ)角可以表示為(180°－α)．顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°．【知識點(diǎn)七、鄰補(bǔ)角與對頂角】1．鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．特別說明：(1)鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指的是兩個(gè)角的和為180°．(2)鄰補(bǔ)角是成對出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角．(3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角．(4)鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有公共頂點(diǎn)；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.2.對頂角及性質(zhì)：（1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒有公共邊(相對)的兩個(gè)角，互為對頂角．（2）性質(zhì)：對頂角相等．特別說明：(1)由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對頂角．(2)對頂角滿足的條件：①相等的兩個(gè)角；②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.(一)直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系例1．如圖，下列說法不正確的是（

）A．直線與直線是同一條直線 B．線段與線段是同一條線段C．射線與射線是同一條射線 D．射線與射線是同一條射線【答案】D【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】A、直線與直線是同一條直線，此選項(xiàng)說法正確，不符合題意；B、線段與線段是同一條線段，此選項(xiàng)說法正確，不符合題意；C、射線與射線有同樣的起點(diǎn)和方向，是同一條射線，此選項(xiàng)說法正確，不符合題意；D、射線與射線的起點(diǎn)不同，不是同一條射線，此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1－1】下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的有（

）①直線a、b相交于點(diǎn)A；②射線與線段沒有公共點(diǎn)；③延長線段；④直線經(jīng)過點(diǎn)A.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】利用線段、直線和射線的語言描述逐一判斷即可解題．【詳解】①直線a、b相交于點(diǎn)A，描述正確；②射線與線段有公共點(diǎn)，描述錯(cuò)誤；③延長線段，描述正確；④直線不經(jīng)過點(diǎn)A，描述錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查線段、射線和直線的語言描述，熟練把圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1－2】如圖，點(diǎn)A，B，C在直線l上，下列說法中正確的有（）①只有一條直線；②能用字母表示的射線共有3條；③一共有三條線段；④延長直線；⑤延長線段和延長線段的含義是相同的；⑥點(diǎn)B在線段上．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義與表示：直線是從客觀事物中抽象出來的，直線沒有盡頭，是向兩方無限延伸的，用直線上任意兩點(diǎn)的大寫字母表示，可用一個(gè)小寫字母表示；直線上的一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線，用兩個(gè)大寫字母表示，一條射線可用它的端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來表示，也可用一個(gè)小寫字母表示；直線上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段，可用表示端點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母表示，也可用一個(gè)小寫字母表示．觀察圖形，逐項(xiàng)判斷，選擇答案即可．【詳解】①直線沒有盡頭，是向兩方無限延伸的，即圖中只有一條直線，故原說法正確；②能用字母表示的射線有射線、射線、射線、射線，共4條，故原說法錯(cuò)誤；③線段有線段、線段、線段，一共有三條，故原說法正確；④直線是向兩方無限延伸的，沒有長度，不能再延長，故原說法錯(cuò)誤；⑤延長線段和延長線段的延長方向不同，含義不同，故原說法錯(cuò)誤；⑥觀察圖形，點(diǎn)B在線段上，該說法正確．綜上，說法中正確的有①、③、⑥這3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段的定義與表示，理解直線、射線、線段的定義與表示是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1－3】如圖所示，共有多少條直線、射線、線段？請依次指出．【答案】見解析【分析】根據(jù)直線、射線和線段的定義進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】題圖中共有2條直線，即直線，；13條射線，即射線，射線，射線，射線，射線，射線，射線，還有6條不可以表示的；6條線段，即線段，線段，線段，線段，線段，線段．【點(diǎn)睛】本題考查直線、線段和射線的定義，直線：能夠向兩端無限延伸的線；射線：直線上的一點(diǎn)和這點(diǎn)一旁的部分叫射線，這個(gè)點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn)；線段：直線上兩點(diǎn)和中間的部分叫做線段，這兩個(gè)點(diǎn)叫線段的端點(diǎn)．(二)直線、射線、線段的數(shù)量和交點(diǎn)問題例2．如圖所示，由濟(jì)南始發(fā)終點(diǎn)至青島的某一次列車，運(yùn)行途中?？康能囌疽来问牵簼?jì)南——淄博——濰坊——青島，那么要為這次列車制作的單程火車票（

）種．A．4 B．6 C．10 D．12【答案】B【分析】單程兩個(gè)站點(diǎn)有一種票，相當(dāng)于兩兩組合，根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：（種），∴要為這次列車制作的單程火車票6種．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線、射線、線段，掌握同兩個(gè)站之間的車票有起點(diǎn)站和終點(diǎn)站的區(qū)分是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2－1】兩條直線相交，產(chǎn)生一個(gè)交點(diǎn)，已知9條直線相交最多產(chǎn)生36個(gè)交點(diǎn)，那么10條直線相交最多產(chǎn)生交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．45 B．46 C．50 D．60【答案】A【分析】根據(jù)三條直線交點(diǎn)最多為個(gè)，四條直線交點(diǎn)最多為個(gè)，五條直線交點(diǎn)最多為個(gè)，六條直線交點(diǎn)最多為個(gè)，然后得出規(guī)律，列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：兩條直線相交，只有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線交點(diǎn)最多為個(gè)，四條直線交點(diǎn)最多為個(gè)，五條直線交點(diǎn)最多為個(gè)，六條直線交點(diǎn)最多為個(gè)；10條直線交點(diǎn)最多為．故選A【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段，觀察得出最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2－2】如圖，觀察圖形，有下列說法：①直線和直線是同一條直線；②；③射線與射線是同一條射線；④三條直線兩兩相交時(shí)，一定有三個(gè)交點(diǎn)．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)線段，直線，兩點(diǎn)之間線段最短，直線的交點(diǎn)問題，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】①直線和直線是同一條直線，正確；②，正確；③射線與射線是同一條射線，正確；④三條直線兩兩相交時(shí)，不一定有三個(gè)交點(diǎn)，故④錯(cuò)誤．其中正確的個(gè)數(shù)是個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線段，直線，兩點(diǎn)之間線段最短，直線的交點(diǎn)問題，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2－3】平面內(nèi)有兩兩相交的條直線，如果最多有個(gè)交點(diǎn)，最少有個(gè)交點(diǎn)，那么．【答案】【分析】根據(jù)題意，畫圖分類討論，分別解出的值，代入即可求解．【詳解】解：如圖所示：條直線兩兩相交，有種情況：①條直線經(jīng)過同一點(diǎn)，有一個(gè)交點(diǎn)；②條直線經(jīng)過同一點(diǎn)，被第條直線所截，有個(gè)交點(diǎn)；③條直線不經(jīng)過同一點(diǎn)，有個(gè)交點(diǎn)．∴平面內(nèi)兩兩相交的條直線，最多有個(gè)交點(diǎn)，最少有個(gè)交點(diǎn)；∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的位置關(guān)系與有理數(shù)的運(yùn)算的綜合，掌握同一平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系，畫圖分析，分類討論，有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．(三)線段有關(guān)計(jì)算問題【例3】如圖，點(diǎn)C，D是線段上的兩點(diǎn)，若，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，則．【答案】6【分析】先求出，再利用中點(diǎn)的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，又∵點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差，中點(diǎn)的定義，掌握這些基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3－1】已知點(diǎn)M是線段上一點(diǎn)，若，點(diǎn)N是直線上的一動點(diǎn)，且，則．【答案】1或【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段上，當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長線上，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段上，如圖：，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長線上，如圖：，，，，綜上所述：的值為1或，故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，分兩種情況進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3－2】如圖，B、C網(wǎng)點(diǎn)把線段分為三部分，．(1)求的長(2)若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，求的長．(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)N為線段中點(diǎn)，求線段的長度．【答案】(1)18(2)1(3)2【分析】（1）設(shè)為，為，為，根據(jù)求出x的值，得出答案即可；（2）根據(jù)M為的中點(diǎn)，得出，求出的值即可；（3）根據(jù)，根據(jù)中點(diǎn)得出，求出即可．【詳解】（1）解：設(shè)為，為，為，，，，，（2）解：，M為的中點(diǎn)，，；（3）解：，為的中點(diǎn)，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，求出相關(guān)的線段長度．【變式訓(xùn)練3－3】七（1）班的數(shù)學(xué)興趣小組在活動中，對“線段中點(diǎn)”問題進(jìn)行以下探究．已知線段，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)C在線段上，且（寫出解題過程），的長度；(2)如圖2，若點(diǎn)C是線段上任意一點(diǎn)，則的長度為；(3)若點(diǎn)C在線段的延長線上，其余條件不變，借助圖3探究的長度（不寫探究過程）．【答案】(1)的長度為(2)5(3)【分析】（1）根據(jù)，得，根據(jù)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)得，，即可得；（2）根據(jù)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)得，，根據(jù)，即可得；（3）根據(jù)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)得，，根據(jù)，即可得．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴，∴EF的長度為；（2）解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，故答案為：5；（3）解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，∴，，∵，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間線段的長度，解題的關(guān)鍵是對線段中點(diǎn)知識的熟練掌握．(四)線段的動點(diǎn)最值問題【例4】已知長方形中，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動；同時(shí)，點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒．（1）當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在邊；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時(shí)，用表示的式子為；（3）點(diǎn)、相遇時(shí)，秒．【答案】【分析】（1）由題意知，點(diǎn)從，運(yùn)動時(shí)間為秒，點(diǎn)從，運(yùn)動時(shí)間為秒，由，可知當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動路程為，由，可判斷點(diǎn)的位置；（2）由題意知，；（3）由題意知，，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，點(diǎn)從，運(yùn)動時(shí)間為秒，點(diǎn)從，運(yùn)動時(shí)間為秒，∵，∴當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動路程為，∵，∴點(diǎn)在邊上，故答案為：；（2）解：由題意知，，故答案為：；（3）解：由題意知，，解得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式訓(xùn)練4－1】已知點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．(1)若，，線段在線段上移動．①如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長；②若點(diǎn)在線段上，且，，求的長；(2)若，線段在直線上移動，且滿足關(guān)系式，求的值．【答案】(1)①；②或(2)或【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，，①由線段中點(diǎn)的定義得到，求得，由線段的和差得到；②點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，可以根據(jù)進(jìn)行求解，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，，，求出的長度，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；（2）當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，設(shè)，，則，，，求得，當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，設(shè)，，則，，，求得，分別代入關(guān)系式即可得出答案．【詳解】（1）解：①，，，，，如圖，為中點(diǎn)，，，；②如圖，，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，如圖，，，，，綜上所述，的長為或；（2），，滿足關(guān)系式，如圖，當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)：設(shè)，，則，，，，，，，，，解得，，

；如圖，當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)：設(shè)，，則，，，，，，，，，解得，，

．故答案為是或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，熟悉各線段間的和、差及倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意分情況討論是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4－2】在數(shù)軸上，表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．如果數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)、分別對應(yīng)數(shù)、，那么、兩點(diǎn)間的距離為：，這是絕對值的幾何意義．已知如圖，點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為－3，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為2．（1）求線段的長．（2）若點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，且是方程的解，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；若不存在說明理由．（3）若點(diǎn)是數(shù)軸上在點(diǎn)左側(cè)的一點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)且靠近于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)的數(shù)軸上運(yùn)動時(shí)，請直接判斷的值是否變化，如果不變請直接寫出其值，如果變化請說明理由．【答案】（1）5；（2）或6；（3）隨著點(diǎn)的移動，的值不變．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算便可．（2）根據(jù)已知線段的關(guān)系式，列出絕對值方程進(jìn)行解答即可．（3）用點(diǎn)表示的數(shù)，列出關(guān)于的代數(shù)式進(jìn)行討論解答即可．【詳解】解：（1）點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為2，．（2）存在．設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，解方程，得，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，，，即，，①當(dāng)時(shí)，有，解得；②當(dāng)時(shí)，有，此方程無解；③當(dāng)時(shí)，有，解得；綜上，點(diǎn)的對應(yīng)數(shù)為或6．（3）設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，則，，若點(diǎn)是數(shù)軸上在點(diǎn)左側(cè)的一點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)且靠近于點(diǎn)，，則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為；，則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為；，則．隨著點(diǎn)的移動，的值不變．【點(diǎn)睛】本題是數(shù)軸的一個(gè)綜合題，涉及一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)距離公式，利用絕對值的性質(zhì)化簡絕對值代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4－3】（1）如圖1，點(diǎn)C在線段上，M，N分別是，的中點(diǎn)．若，，求的長；（2）設(shè)，C是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），①如圖2，M，N分別是，的三等分點(diǎn)，即，，求的長；②若M，N分別是，的n等分點(diǎn)，即，，直接寫出的值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）由中點(diǎn)的定義可得，然后根據(jù)求解即可；（2）由，可得，然后根據(jù)求解即可；（3）仿照（2）的過程求解即可．【詳解】解：（1）∵M(jìn)，N分別是，的中點(diǎn)∴∵∴（2）①∵∴∵∴；②．【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．【變式訓(xùn)練4－4】如圖，P是線段上一點(diǎn)，，C，D兩動點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線向左運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A處即停止運(yùn)動．(1)若點(diǎn)C，D的速度分別是，．①當(dāng)動點(diǎn)C，D運(yùn)動了2s，且點(diǎn)D仍在線段上時(shí)，_________cm；②若點(diǎn)C到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，則_________；(2)若動點(diǎn)C，D的速度分別是，，點(diǎn)C，D在運(yùn)動時(shí)，總有，求的長【答案】(1)①12；②(2)【分析】（1）①先分別求出，再根據(jù)即可得；②設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，則，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，由此即可得；（2）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，則，從而可得，再根據(jù)可得，從而可得，由此即可得．【詳解】（1）解：①依題意得：，，點(diǎn)仍在線段上，∴，故答案為：；②設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，則，∵當(dāng)點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：．（2）解：設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了與線段有關(guān)的動點(diǎn)問題、線段的和與差、線段的中點(diǎn)，熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4－5】數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)。我們知道，它在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)（即表示的點(diǎn)）之間的距離，又如式子，它在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離．也就是說，在數(shù)軸上，如果點(diǎn)表示的數(shù)記為，點(diǎn)表示的數(shù)記為，則，兩點(diǎn)間的距離就可記作．回答下列問題：（1）在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離的式子是____．（2）反過來，式子在數(shù)軸上的意義是．（3）試用數(shù)軸探究：當(dāng)時(shí)的值為．（4）進(jìn)一步探究：的最小值為，此時(shí)的取值范圍為．（5）最后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值為【答案】（1）|2－(－3)|；（2）表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)－5的點(diǎn)之間的距離；（3）－1或5；（4）10，－1≤m≤9；（5）9．【分析】（1）根據(jù)距離公式表示即可；（2）根據(jù)定義去描述即可；（3）分點(diǎn)在2表示的數(shù)的點(diǎn)的左邊和右邊兩種情形求解；（4）利用數(shù)形結(jié)合思想，畫數(shù)軸求解即可；（5）利用數(shù)形結(jié)合思想，畫數(shù)軸求解即可．【詳解】（1）在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離的式子是|2－(－3)|，故答案為：|2－(－3)|；（2）∵=|a－(－5)|，∴在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)－5的點(diǎn)之間的距離，故答案為：表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)－5的點(diǎn)之間的距離；（3）∵表示數(shù)m到2的距離，畫數(shù)軸如下：當(dāng)數(shù)在2的右邊時(shí)，右數(shù)3個(gè)單個(gè)單位長，得到對應(yīng)數(shù)是5，符合題意；當(dāng)數(shù)在2的左邊時(shí)，左數(shù)3個(gè)單個(gè)單位長，得到對應(yīng)數(shù)是－1，符合題意；故答案為：－1或5；（4）∵表示數(shù)m與－1，9的距離之和，畫數(shù)軸如下：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，－1表示點(diǎn)與9表示點(diǎn)的最短距離為9－（－1）=10，此時(shí)動點(diǎn)m在－1表示點(diǎn)與9表示點(diǎn)構(gòu)成的線段上，∴－1≤m≤9；故答案為：10，－1≤m≤9；（5）根據(jù)題意，畫圖如下，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，－1表示點(diǎn)與16表示點(diǎn)的最短距離為16－（－1）=17，此時(shí)動點(diǎn)m在－1表示點(diǎn)與16表示點(diǎn)構(gòu)成的線段上，且到9表示的點(diǎn)的距離為0，∴m=9；故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離計(jì)算公式，線段最短原理，數(shù)軸的意義，數(shù)形結(jié)合思想，分類思想，結(jié)合數(shù)軸，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題是解題的關(guān)鍵．(五)角的概念【例5】下列說法中，正確的是（

）A．一個(gè)周角就是一條射線 B．平角是一條直線C．角的兩邊越長，角就越大 D．也可以表示為【答案】D【分析】根據(jù)平角，周角的概念，角的大小及表示分別判斷即可．【詳解】解：A、周角的兩邊在同一射線上，不是一條射線，故錯(cuò)誤，不合題意；B、平角的兩邊在同一直線上，平角有頂點(diǎn)，而直線沒有，故錯(cuò)誤，不合題意；C、角的大小和兩邊的長度沒有關(guān)系，故錯(cuò)誤，不合題意；D、也可以表示為，故正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，屬于幾何基礎(chǔ)知識，要熟練掌握，比較簡單．【變式訓(xùn)練5－1】如圖，下列說法正確的是（

）A． B．圖中只有兩個(gè)角，即和C．與表示同一個(gè)角 D．與表示同一個(gè)角【答案】D【分析】根據(jù)角的概念和表示方法可知，當(dāng)角的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)這個(gè)角可以用頂點(diǎn)字母來表示，由此可得結(jié)論．【詳解】解∶A．與不一定相等，該選項(xiàng)原說法錯(cuò)誤，故符合題意；B．圖中有三個(gè)角，分別為、和，該選項(xiàng)原說法錯(cuò)誤，故不符合題意；C．與表示同一個(gè)角，該選項(xiàng)原說法錯(cuò)誤，故不符合題意；D．與表示同一個(gè)角，該選項(xiàng)正確，符合題意．故選∶D．【點(diǎn)睛】此題考查了角的表示方法，根據(jù)圖形特點(diǎn)將每個(gè)角用合適的方法表示出來是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5－2】計(jì)算：；°；當(dāng)時(shí)鐘指向時(shí)間為時(shí)，鐘表上的時(shí)針與分針的夾角為度．【答案】【分析】①利用角度的四則運(yùn)算即可得到答案；②根據(jù)、進(jìn)行換算，即可得到答案；③根據(jù)時(shí)針一小時(shí)轉(zhuǎn)，一分鐘轉(zhuǎn)，分針一分鐘轉(zhuǎn)，分別計(jì)算時(shí)針、分針與0點(diǎn)的夾角，計(jì)算角度差即可得到答案．【詳解】解：①，故答案為：；②，，，，故答案為：；③當(dāng)時(shí)鐘指向時(shí)間為時(shí)，時(shí)針走過小時(shí)，分鐘走過分鐘，時(shí)針與0點(diǎn)的夾角為，分針與0點(diǎn)的夾角為，鐘表上的時(shí)針與分針的夾角為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的四則運(yùn)算，角的單位換算，鐘面角，解題關(guān)鍵是掌握角度的加法法則：進(jìn)行角度的加法運(yùn)算時(shí)，同單位相加，即度與度相加、分與分相加、秒與秒相加，秒夠60進(jìn)1分，分夠60進(jìn)1度；同時(shí)也要掌握時(shí)針一小時(shí)轉(zhuǎn)，一分鐘轉(zhuǎn)，分針一分鐘轉(zhuǎn)．【變式訓(xùn)練5－3】如圖：(1)以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的角有幾個(gè)？分別表示出來．(2)請分別指出以射線為邊的角．(3)以D為頂點(diǎn)，為一邊的角有幾個(gè)？分別寫出來．【答案】(1)，，，共3個(gè)(2)，(3)，，共2個(gè)【分析】（1）根據(jù)角的表示方法寫出答案；（2）根據(jù)角的定義和角的表示方法寫出答案；（3）角的表示方法寫出答案．【詳解】（1）解：以點(diǎn)為頂點(diǎn)的角：，，，共3個(gè)；（2）以射線為邊的角：，；（3）以為頂點(diǎn)，為一邊的角有：，，共2個(gè)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的概念，關(guān)鍵是掌握角的表示方法．【變式訓(xùn)練5－4】如圖，在鐘面上，點(diǎn)為鐘面的圓心，以點(diǎn)為頂點(diǎn)按要求畫出符合下列要求的角（角的兩邊不經(jīng)過鐘面上的數(shù)字）：（1）在圖1中畫一個(gè)銳角，使銳角的內(nèi)部含有2個(gè)數(shù)字，且數(shù)字之差的絕對值最大；（2）在圖2中畫一個(gè)直角，使直角的內(nèi)部含有3個(gè)數(shù)字，且數(shù)字之積等于數(shù)字之和；（3）在圖3中畫一個(gè)鈍角，使鈍角的內(nèi)部含有4個(gè)數(shù)字，且數(shù)字之和最?。唬?）在圖4中畫一個(gè)平角，使平角的內(nèi)部與外部的數(shù)字之和相等；（5）在圖5中畫兩個(gè)直角，使這兩個(gè)直角的內(nèi)部含有的3個(gè)數(shù)字之和相等.【答案】見解析【分析】（1）根據(jù)銳角的內(nèi)部含有2個(gè)數(shù)字，且數(shù)字之差的絕對值最大，可知這2個(gè)數(shù)字分別是1和12，據(jù)此畫出圖形；（2）根據(jù)直角的內(nèi)部含有3個(gè)數(shù)字，且數(shù)字之積等于數(shù)字之和可知，這3個(gè)數(shù)字分別是1，2，3，據(jù)此畫出圖形；（3）根據(jù)鈍角的內(nèi)部含有4個(gè)數(shù)字，且數(shù)字之和最小可知，這4個(gè)數(shù)字分別是1，2，3，4，據(jù)此畫出圖形；（4）根據(jù)平角的內(nèi)部與外部的數(shù)字之和相等，又10+11+12+1+2+3=4+5+6+7+8+9，據(jù)此可畫出平角；（5）根據(jù)這兩個(gè)直角的內(nèi)部含有的3個(gè)數(shù)字之和相等，又12+1+2=4+5+6，據(jù)此可畫出圖形．【詳解】解：根據(jù)題意，（1）~（5）中符合要求的角如圖所示：【點(diǎn)睛】此題考查了鐘面角以及有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出相對應(yīng)的鐘面數(shù)字．(六)方位角及其計(jì)算【例6】如圖，某海域中有A，B兩個(gè)小島，其中B在A的北偏東40°方向，那么小島A相對于小島B的方向是（

）A．南偏東40° B．北偏東50° C．南偏西40° D．北偏西50°【答案】C【分析】根據(jù)B在A的北偏東方向，即可得出直線AB與B點(diǎn)正南方向的夾角為，再根據(jù)A的位置即可得到答案．【詳解】解：B在A的北偏東40°方向，∴小島A相對于小島B的方向是南偏西，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查位置和方向，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位置和方向的判斷方法．【變式訓(xùn)練6－1】如圖，甲從處出發(fā)沿北偏西方向行走至處，又沿南偏西方向行走至處，此時(shí)再沿與出發(fā)時(shí)一致的方向行走至處，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用方向角的定義得出，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：如圖所示：

，根據(jù)題意可得：，沿南偏西方向行走至處，此時(shí)再沿與出發(fā)時(shí)一致的方向行走至處，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方向角的定義，根據(jù)題意得出是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6－2】如圖，我國山東號航空母艦行駛在B處同時(shí)測得黃巖島A、中國海軍南昌號驅(qū)逐艦C的方向分別為北偏西和西南方向，則的度數(shù)是．【答案】/105度【分析】根據(jù)方向角的定義即可作出判斷．【詳解】解：如圖，由題意，得，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方向角的定義，用方向角描述方向時(shí)，通常以正北或正南方向?yàn)榻堑氖歼?，以對象所處的射線為終邊．【變式訓(xùn)練6－3】小麗、小影、小華三人每天相約在如圖所示的早餐店碰面，小麗家在早餐店南偏西方向上，小影家在點(diǎn)處，小華家在早餐店東南方向上，，且早餐店到小華家與小麗家的距離相等．(1)在圖中畫出小華家的位置；(2)求的度數(shù)；(3)若，請說出小影家相對于早餐店的位置．【答案】(1)見解析圖；(2)；(3)小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．【分析】（）根據(jù)要求畫出圖形即可；（）得與正東方向的夾角，從而求得的度數(shù)；（）求出與正北方向的夾角，根據(jù)方向角的定義判斷即可．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)即為所求；（2）∵，∴與正東方向的夾角為，；（3）由（）得與正東方向的夾角為，∵，∴與正東方向的夾角為：，∵正東和正北的夾角為，∴與正北方向的夾角為：，∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．【點(diǎn)睛】此題考查了作圖－應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，方向角等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．(七)角的單位及簡單計(jì)算【例7】已知，下面結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將轉(zhuǎn)化為，即可得出答案．【詳解】由，又因?yàn)?，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了角的大小的比較，掌握角的度、分、秒之間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7－1】如圖甲所示，將一副三角尺的直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處．(1)①探究與的關(guān)系：因?yàn)?，所以，即______．②探究與的關(guān)系：因?yàn)椋?，所以______．(2)若將這副三角尺繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖乙的位置：①直接寫出與的關(guān)系：______；②探究與的關(guān)系，并仿照（1）①中的探究寫出推過程．【答案】(1)①＝；②(2)①；②見解析【分析】（1）①證明，從而可得答案；②利用周角的含義及角的和差運(yùn)算可得答案；（2）①由，可得．②證明，可得．【詳解】（1）解：①∵，∴，即．②∵，，∴．（2）①∵，∴，即．②；理由如下：∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和差運(yùn)算，熟練的理解幾何圖形中角的和差關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7－2】如圖1，將兩塊直角三角板與的直角頂點(diǎn)O重合在一起，其中直角邊在內(nèi)部．(1)如圖2，若，求和的度數(shù)．(2)若①和有什么關(guān)系？請說明理由．②當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)①與互補(bǔ)，見解析；②【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合，求出和的度數(shù)即可；（2）①用表示出和，即可得出答案；②根據(jù)與互補(bǔ)列出關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：，．（2）解：①與互補(bǔ)；理由如下：∵，，∴．∴與互補(bǔ)；②由①可得，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，用一元一次方程解決問題．【變式訓(xùn)練7－3】把兩個(gè)三角尺按如圖所示那樣拼在一起，試確定圖中的度數(shù)及其大小關(guān)系．【答案】．【分析】首先要知道一副三角板的各角度數(shù)，然后求出∠AEB，最后比較大小．【詳解】解：∠B=30°，∠E=60°，∠BAD==90°+45°=135°，∠DCE=90°∴∠B＜∠E＜∠DCE＜∠BAD．【點(diǎn)睛】本題考查了角的比較與運(yùn)算，要知道一副三角板各角的度數(shù)，比較簡單．(八)角的平分線及旋轉(zhuǎn)問題【例8】已知：．(1)如圖1，若．①寫出圖中一組相等的角（除直角外）__________，理由是________________．

②那么_________．(2)如圖2，與重合，若，將繞點(diǎn)O以5度/秒的速度作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動時(shí)間為t（）秒．①當(dāng)t=______秒時(shí)，平分；②試說明：當(dāng)t為何值時(shí)，？【答案】(1)①，同角的余角相等；②180(2)①6；②或20【分析】（1）①根據(jù)同角的余角相等解答；②利用角的和差關(guān)系即可求解；（2）①由平分知，旋轉(zhuǎn)角等于的一半，即可列方程求解；②分在的內(nèi)部和外部討論即可．【詳解】（1）解：①∵，∴，，∴（同角的余角相等）．故答案為：，同角的余角相等；②∵，∴．故答案為：180；（2）解：①根據(jù)題意，得，即，解得．故答案為：6；②當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，∵，∴，解得；當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，∵，∴，解得，綜上，t為或20時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，余角的性質(zhì)，角的計(jì)算等知識的綜合運(yùn)用，列方程求解角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8－1】已知，平分，平分．(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，求度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，為內(nèi)部的一條射線，，若為平面內(nèi)一條射線，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，，根據(jù)，求出，最后求出結(jié)果即可；（3）根據(jù)，結(jié)合解析（2）中的相關(guān)條件求出；再分兩種情況進(jìn)行討論，分別畫出圖形求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵平分，平分，，，∴，，∴；（2）解：∵平分，平分，，，∴，，∵，∴，∴．（3）解：∵又∵，∴，∴；當(dāng)在上方時(shí)，如圖所示：∴；當(dāng)在下方時(shí)，如圖所示：∴；綜上分析可知，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線定義，數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．【變式訓(xùn)練8－2】已知，，平分，平分．(1)如圖1，當(dāng)，重合時(shí)，求的值；(2)如圖2，當(dāng)從圖1所示的位置開始繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否會因的變化而變化？若不變化，請求出該定值；若變化，請說明理由；(3)在（2）的條件下，求當(dāng)旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，．【答案】(1)(2)不變，(3)【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得和的度數(shù)，然后根據(jù)求解；（2）首先由題意得，再根據(jù)角平分線的定義得，，然后由角平分線的定義解答即可；（3）根據(jù)題意得，故，解方程即可求出的值．【詳解】（1）解：因?yàn)槠椒郑椒?，所以，．所以；?）解：的值是定值．根據(jù)題意，得：，則，．因?yàn)槠椒郑椒?，所以，，所以；?）解：根據(jù)題意，得，所以，解得，所以當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和與差、角平分線定義，對角的和與差及角平分線定義的理解是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8－3】閱讀理解，回答問題：定義回顧：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，將這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．角的平分線也可以通過折紙完成，如圖（1），將含有的紙片經(jīng)過頂點(diǎn)P對折疊，折痕所在的射線就是的平分線．利用角的平分線的定義，可以進(jìn)行角的度數(shù)的計(jì)算．問題解決：(1)如圖（2），點(diǎn)P，Q分別是長方形紙片的對邊，上的點(diǎn)，連結(jié)，將和分別對折，使點(diǎn)A，B都分別落在上的和處，點(diǎn)C落在處，分別得折痕，，則的度數(shù)是______；(2)如圖（3），將長方形紙片分別沿直線，折疊，使點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)，處，和不在同一條直線上，且被折疊的兩部分沒有重疊部分．①若，，求的度數(shù)；②若，求的度數(shù)（用含的式子表示）；拓廣探索：(3)將長方形紙片分別沿直線，折疊，使點(diǎn)A，B，C分別落在點(diǎn)，，處，和不在同一條直線上，且被折疊的兩部分有重疊部分，如圖（4）．若，請直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)①；②(3)【分析】（1）根據(jù)角的平分線的定義和平角定義求得即可；（2）①根據(jù)角的平分線的定義和平角定義求得即可；②根據(jù)角的平分線的定義和平角定義求得即可；（3）根據(jù)角的平分線的定義和平角定義求得即可．【詳解】（1）解：由題意得：，，∴，即，∴，故答案為：；（2）解：①由題意得：，，∴，∵，∴，即；②同理，，，∴，∵，則，即；（3）解：同理，由題意得：，，則，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查角的平分線的定義、平角定義，熟練掌握角的平分線的定義，利用圖形找到角之間的數(shù)量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．(九)求一個(gè)角的余角或補(bǔ)角【例9】一個(gè)銳角的余角比它的補(bǔ)角（

）A．相等 B．小 C．大 D．不能確定大小【答案】B【分析】設(shè)這個(gè)角是，則它的余角是，它的補(bǔ)角時(shí)，得出式子，求出即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)銳角為，根據(jù)題意可得：，則它的余角比它的補(bǔ)角小，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了余角和補(bǔ)角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握余角和補(bǔ)角的定義．【變式訓(xùn)練9－1】下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．互余且相等的兩個(gè)角各是B．一個(gè)角的余角一定小于這個(gè)角的補(bǔ)角C．如果，那么的余角與的余角的和等于的余角D．如果，那么的余角與的余角的和等于的補(bǔ)角【答案】C【分析】根據(jù)如果兩個(gè)角的和為，稱這兩個(gè)角互為余角；如果兩個(gè)角的和為，稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，以此計(jì)算即可．【詳解】A.互余且相等的兩個(gè)角各是，正確，不符合題意；B.設(shè)這個(gè)為，則它的余角為，它的補(bǔ)角為，故，正確，不符合題意；C.的余角為，的余角為，的余角為，的余角與的余角的和等于，錯(cuò)誤，符合題意；D.的余角為，的余角為，的余角為，的余角與的余角的和等于，正確，不符合題意；故選Ｃ．【點(diǎn)睛】本題考查了余角，補(bǔ)角的計(jì)算，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練9－2】如圖，直線、相交于點(diǎn)O，，圖中與互補(bǔ)的角有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)同角的余角相等，得到，根據(jù)平角的定義，得到，，進(jìn)而得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴圖中與互補(bǔ)的角有，共3個(gè)；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)角的判斷．正確的識圖，理清角的和差關(guān)系，熟練掌握同角的余角相等，互補(bǔ)的兩角之和為，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練9－3】如圖，平面內(nèi)，平分，則以下結(jié)論：①；②；③；④平分．其中正確的是．（填序號）【答案】①③④【分析】由根據(jù)同角的余角相等得到，即可判斷①；由，即可判斷②由，即可判斷③由平分，得出，再結(jié)合①，即可判斷④【詳解】解：∵，∴，∴，所以①正確；∵不一定等于，所以②不正確；∵，所以③正確；∵平分，∴，由①知，∴，∴，所以④正確．∴平分故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分線的定義，熟練掌握補(bǔ)余角的性質(zhì)和角平分線的定義是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練9－4】已知為，為，若，稱為的“二倍補(bǔ)角”．(1)求為，為的“二倍補(bǔ)角”，求的度數(shù)；(2)若一個(gè)角與它的“二倍補(bǔ)角”度數(shù)相等，求這個(gè)角的度數(shù)．(3)與互余，為的“二倍補(bǔ)角”，與互補(bǔ)，是否是的“二倍補(bǔ)角”？請說明理由．【答案】(1)(2)這個(gè)角的度數(shù)為(3)是的“二倍補(bǔ)角”，理由見解析【分析】（1）根據(jù)“二倍補(bǔ)角”的定義，進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)一個(gè)角為，根據(jù)“二倍補(bǔ)角”的定義，得到另一個(gè)角為，根據(jù)兩個(gè)角相等，列出方程求解即可；（3）根據(jù)互余的兩角和為，互補(bǔ)兩角之和為，以及“二倍補(bǔ)角”的定義，進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）為的“二倍補(bǔ)角”；（2）設(shè)一個(gè)角為，則它的“二倍補(bǔ)角”度數(shù)為，由題意得，解得這個(gè)角的度數(shù)為；（3）是的“二倍補(bǔ)角”理由：由題意得，整理得，與互補(bǔ)是的“二倍補(bǔ)角”．【點(diǎn)睛】本題考查與余角和補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算．解題的關(guān)鍵是理解并掌握“二倍補(bǔ)角”的定義．【變式訓(xùn)練9－5】如圖，將一副三角板的兩個(gè)直角頂點(diǎn)O重合在一起，放置成如圖所示的位置．(1)如圖1，若，猜想______；(2)小明推測：三角板繞重合的點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（三角板保持不動），不論轉(zhuǎn)動到哪個(gè)位置，“與始終互補(bǔ)”，你同意他的結(jié)論嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)同意，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角板中角的度數(shù)和已知條件求解即可；（2）根據(jù)題意分3種情況討