2024屆吉林省吉林市第五十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2024屆吉林省吉林市第五十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1．如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面面積為（）A.2 B.C. D.2．對(duì)空間中兩條不相交的直線和，必定存在平面，使得（）A. B.C. D.3．設(shè)函數(shù)，若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對(duì)實(shí)數(shù)、，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．若是鈍角，則是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角6．，，且（3）(λ），則λ等于（）A. B.－C.± D.17．設(shè)，且，則的最小值是（）A. B.8C. D.168．已知向量，，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.9．若函數(shù)且在上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則的圖象是A. B.C. D.10．已知，且點(diǎn)在線段的延長線上，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.11．下列說法正確的有（）①兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；②經(jīng)過球面上不同的兩點(diǎn)只能作一個(gè)大圓；③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體；④圓錐的軸截面是等腰三角形.A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)12．已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為______14．函數(shù)的最小值為________.15．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且過點(diǎn)，則___________.16．已知正四棱錐的高為4，側(cè)棱長為3，則該棱錐的側(cè)面積為___________.三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知函數(shù)，（，，），且的圖象相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的距離為，且任意，都有恒成立.（1）求的最小正周期與對(duì)稱中心；（2）若對(duì)任意，均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知集合，，若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．已知函數(shù)，且滿足.（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值；（3）若存在實(shí)數(shù)m，使得關(guān)于x的方程恰有4個(gè)不同的正根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式21．首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開，本屆大會(huì)以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.（1）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位不虧損？22．我們知道，指數(shù)函數(shù)（，且）與對(duì)數(shù)函數(shù)（，且）互為反函數(shù).已知函數(shù)，其反函數(shù)為.（1）求函數(shù)，的最小值；（2）對(duì)于函數(shù)，若定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“L函數(shù)”.已知函數(shù)為其定義域上的“L函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1、D【解析】根據(jù)題意畫出截面，得到截面為菱形，從而可求出截面的面積.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樵搸缀误w為正四棱柱，∴故四邊形為平行四邊形，所以，又，∴，同理，且，所以過，，三點(diǎn)平面截正四棱柱所得的截面為菱形，所以該菱形的面積為.故選：D2、C【解析】討論兩種情況，利用排除法可得結(jié)果.【詳解】和是異面直線時(shí)，選項(xiàng)A、B不成立，排除A、B；和平行時(shí)，選項(xiàng)D不成立，排除D,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面關(guān)系的判斷，考查了空間想象能力以及排除法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，令得或（1）若，即時(shí)，在上無零點(diǎn)，此時(shí)，∴在[1,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；（2）若，即時(shí)，在(?∞,1)上有1個(gè)零點(diǎn)，∴在上只有1個(gè)零點(diǎn)，①若，則，∴，解得，②若，則，∴在上無零點(diǎn)，不符合題意；③若，則，∴在上無零點(diǎn)，不符合題意；綜上a的取值范圍是．選B點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是對(duì)實(shí)數(shù)a進(jìn)行分類討論，根據(jù)a的不同取值先判斷函數(shù)在(?∞,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，在此基礎(chǔ)上再判斷函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，看是否滿足有兩個(gè)零點(diǎn)即可4、C【解析】直接利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞增，若，則，而等價(jià)于，故充分必要；故選：C5、D【解析】由求出，結(jié)合不等式性質(zhì)即可求解.【詳解】，，,在第四象限.故選：D6、A【解析】利用向量垂直的充要條件列出方程，利用向量的運(yùn)算律展開并代值，即可求出λ【詳解】∵，∴=0，∵(3)⊥(λ)，∴（3）?（λ）=0，即3λ2+（2λ﹣3）﹣22=0，∴12λ﹣18=0，解得λ=故選A7、B【解析】轉(zhuǎn)化原式為，結(jié)合均值不等式即得解【詳解】由題意，故則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故選：B8、C【解析】結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出，然后代入模長公式分別求出和，進(jìn)而根據(jù)平面向量的夾角公式即可求出夾角的余弦值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】，，，，從而，且，記與的夾角為，則又，，故選：9、D【解析】根據(jù)題意先得到，，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)且在上是奇函數(shù)，所以所以，，又因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，所以，它的圖象可以看作是由函數(shù)向左平移一個(gè)單位得到，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性以及函數(shù)圖象變換，熟記函數(shù)性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.10、C【解析】設(shè)，根據(jù)題意得出，由建立方程組求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以即故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量共線求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】根據(jù)棱臺(tái)、球、正方體、圓錐的幾何性質(zhì)，分析判斷，即可得答案.【詳解】①中若兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保證側(cè)棱延長線會(huì)交于一點(diǎn)，所以①不正確；②中若球面上不同的兩點(diǎn)恰為球的某條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則過此兩點(diǎn)的大圓有無數(shù)個(gè)，所以②不正確；③中底面不一定是正方形，所以③不正確；④中圓錐的母線長相等，所以軸截面是等腰三角形，所以④是正確的.故選：A12、D【解析】先利用偶函數(shù)的對(duì)稱性判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)定義得，再判斷，和的大小關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，即得結(jié)果.【詳解】偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，由在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增可知，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.，故，而，，即，故，由單調(diào)性知，即.故選：D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、##【解析】設(shè)出冪函數(shù)，代入點(diǎn)即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，代入點(diǎn)得，解得，則.故答案為：.14、【解析】原函數(shù)化為，令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由原函數(shù)可化為，因?yàn)?，令，則，，又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值.故答案為：15、【解析】由題意，設(shè)代入點(diǎn)坐標(biāo)可得，計(jì)算即得解【詳解】由題意，設(shè)，過點(diǎn)故，解得故則故答案為：16、【解析】由高和側(cè)棱求側(cè)棱在底面射影長，得底面邊長，從而可求得斜高，可得側(cè)面積【詳解】如圖，正四棱錐，是高，是中點(diǎn)，則是斜高，由已知，，則，是正方形，∴，，，側(cè)面積側(cè)故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求正棱錐的側(cè)面積．在正棱錐計(jì)算中，解題關(guān)鍵是掌握四個(gè)直角三角形：如解析中圖中，正棱錐的幾乎所有量在這四個(gè)直角三角形中都有反應(yīng)三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）；，；（2）.【解析】（1）由題意可知，再由求出，由恒成立，可得，即，求出，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱中心，，即可求解.（2）由題意可知，討論的正、負(fù)，求出函數(shù)的值域，只需即可求解.【詳解】（1）的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，，，任意，恒成立，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，令，，，，最正周期為，對(duì)稱中心為，.（2）由（1）可知，，.當(dāng)，則，，當(dāng)時(shí)，，恒成立，，則，當(dāng)時(shí)，，恒成立，，則，綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、三角不等式恒成立、振幅對(duì)三角函數(shù)最值的影響，解題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出、，考查了分類討論的思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算.18、【解析】根據(jù)給定條件可得AB，再借助集合的包含關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】因“”是“”的充分不必要條件，于是得AB，而集合，，因此，或，解得或，即有，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.19、(1)見解析(2)時(shí)，.(3)【解析】（1）根據(jù)確定a.再任取兩數(shù)，作差，通分并根據(jù)分子分母符號(hào)確定差的符號(hào)，最后根據(jù)定義確定函數(shù)單調(diào)性（2）先根據(jù)絕對(duì)值定義將函數(shù)化為分段函數(shù)，都可化為二次函數(shù)，再根據(jù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定最值，最后取兩個(gè)最大值中較大值（3）先對(duì)方程變形得，設(shè),轉(zhuǎn)化為方程方程在有兩個(gè)不等的根，根據(jù)二次函數(shù)圖像，得實(shí)根分布條件，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍.試題解析：(1)由，得或0.因?yàn)椋?，所?當(dāng)時(shí)，，任取，且，則，因?yàn)?，則，，所以在上為增函數(shù)；（2），當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)，所以，所以當(dāng)時(shí)，；綜上，當(dāng)即時(shí)，.（3）由（1）可知，在上為增函數(shù),當(dāng)時(shí)，.同理可得在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.方程可化為，即.設(shè),方程可化為.要使原方程有4個(gè)不同的正根，則方程在有兩個(gè)不等的根，則有，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.20、（1）（2）答案不唯一，具體見解析【解析】（1）利用參變量分離法可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）分、、、四種情況討論，結(jié)合二次不等式的解法可求得原不等式的解集.【小問1詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即當(dāng)時(shí)，在上恒成立，不等式可變?yōu)?，令，，則，故，解得【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，解不等式，即當(dāng)時(shí)，解不等式，不等式可變?yōu)椋魰r(shí)，不等式可變?yōu)?，可得；若時(shí)，不等式可變?yōu)?，?dāng)時(shí)，，可得或；當(dāng)時(shí)，，即，可得且；當(dāng)時(shí)，，可得或綜上：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是21、（1）400噸；（2）不獲利，需要國家每個(gè)月至少補(bǔ)貼40000元才能不虧損.【解析】（1）由題設(shè)平均每噸二氧化碳的處理成本為，應(yīng)用基本不等式求其最小值，注意等號(hào)成立條件.（2）根據(jù)獲利，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷是否獲利，由其值域確定最少的補(bǔ)貼額度.【小問1詳解】由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故該當(dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.【小問2詳解】不獲利，設(shè)該單位每個(gè)月獲利為S元，則，因?yàn)?，則，故該當(dāng)單位每月不獲利，需要國家每個(gè)月至少補(bǔ)貼40000元才能不虧損.22、（1）答案見解析（2）【解析】（1）利用換元法令，可得所求為關(guān)于p的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分析討論，即可得答案.（2）根據(jù)題意，分別討論在、和上存在實(shí)數(shù)，滿足題意，根據(jù)所給方程，代入計(jì)算，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，分析即可得答案.【小問1詳解】由題意得所以，，令，設(shè)