第三章線性系統(tǒng)時(shí)域分析

3.1時(shí)間響應(yīng)性能指標(biāo)

3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析

3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析

3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析

3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析用解析方法或數(shù)值方法對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能做出準(zhǔn)確的計(jì)算。

3.1

時(shí)間響應(yīng)性能指標(biāo)3.1.1典型輸入信號(hào)單位階躍響應(yīng)、單位斜坡響應(yīng)、單位脈沖響應(yīng)、單位加速度響應(yīng)。典型輸入信號(hào)單位階躍信號(hào)、單位斜坡信號(hào)、單位脈沖信號(hào)、單位加速度信號(hào)、正弦信號(hào)。對(duì)應(yīng)的輸出分別被稱為

A=1時(shí)稱為單位階躍函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為階躍函數(shù)

A=1時(shí)稱為單位斜坡函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為斜坡函數(shù)

A=1/2時(shí)稱為單位拋物線函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為拋物線函數(shù)（加速度）

A=1時(shí)稱為單位脈沖函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為脈沖函數(shù)

正弦函數(shù)

四種典型單位輸入信號(hào)

動(dòng)態(tài)過(guò)程；（瞬態(tài)過(guò)程、過(guò)渡過(guò)程）指系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。穩(wěn)態(tài)過(guò)程：當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。3.1.2控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)時(shí)間響應(yīng)由動(dòng)態(tài)過(guò)程、穩(wěn)態(tài)過(guò)程兩部分組成。性能指標(biāo)：包含動(dòng)態(tài)指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)指標(biāo)穩(wěn)：(基本要求)系統(tǒng)響應(yīng)要收斂；準(zhǔn):(穩(wěn)態(tài)要求）穩(wěn)態(tài)輸出與給定信號(hào)間的誤差(穩(wěn)態(tài)誤差)要小快:(動(dòng)態(tài)要求)過(guò)渡過(guò)程要平穩(wěn)，迅速。說(shuō)明

階躍響應(yīng)性能指標(biāo)

p

tr0.5

y(t)tdtp01tst穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)性能：由穩(wěn)態(tài)誤差ess描述。動(dòng)態(tài)性能延遲時(shí)間td：曲線第一次達(dá)到終值一半所需時(shí)間。上升時(shí)間tr：從終值10%上升到終值90%所需時(shí)間；有振蕩系統(tǒng)定義為從零第一次上升到終值所需時(shí)間。峰值時(shí)間tp：響應(yīng)到達(dá)第一個(gè)峰值所需時(shí)間。調(diào)節(jié)時(shí)間ts：到達(dá)并保持在終值5％誤差帶內(nèi)所需的最短時(shí)間超調(diào)量

%：最大偏離量c(tp)與終值c(∞)之差的百分比，即c(t)t時(shí)間tr上升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義1c(t)t調(diào)節(jié)時(shí)間tsc(t)t時(shí)間tr上升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%調(diào)節(jié)時(shí)間ts+0.05-0.05c(t)t上升時(shí)間tr調(diào)節(jié)時(shí)間ts動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義20.950.05c(t)tAB動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義3trtptsσ%=BA100%0.05

3.2.1一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。RC濾波電路由一階系統(tǒng)，其微分方程為：r(t)c(t)RC

式中，c(t)為輸出電壓，r(t)為輸入電壓。令T=RC，則一階系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：

式中，T為時(shí)間常數(shù)，r(t)、c(t)分別為系統(tǒng)的輸入、輸出信號(hào)。

3.2.1一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型微分方程：R(s)C(s)結(jié)構(gòu)圖(b)j

0P=-1/Ts平面零極點(diǎn)圖：則一階系統(tǒng)的

閉環(huán)傳遞函數(shù)為：具有單位反饋的一階系統(tǒng)R(s)C(s)E(s)-若考慮系統(tǒng)的初始條件為零，則：

3.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(無(wú)零點(diǎn))單位階躍響應(yīng)TT2T3T010.632c(T)=0.632c(∞)c(3T)=0.95c(∞)c(2T)=0.865c(∞)c(4T)=0.982c(∞)輸入輸出輸出響應(yīng)由此特點(diǎn)判別系統(tǒng)是否為一階環(huán)節(jié)輸入信號(hào)r(t)=1時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)為單位階躍響應(yīng)

性能指標(biāo)：

c(t)=50%，td=0.69Tc(t)=10%和c(t)=90%tr=2.20T；c(t)=95%(允許誤差5%)

(t=3T)ts=3T單位階躍響應(yīng)的初始斜率:

c(t)0.6320.8650.950.982初始斜率為1/T

c(t)=1-e-t/T0

tT2T3T4T1一階系統(tǒng)特點(diǎn)

1）可以用時(shí)間常數(shù)去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值；

2）初始斜率為1/T；

3）無(wú)超調(diào)；穩(wěn)態(tài)誤差ess=0。輸出響應(yīng)若系統(tǒng)始終保持初始速度不變，在t=T時(shí)輸出量即可達(dá)到穩(wěn)定值。然而，曲線的響應(yīng)速度是單調(diào)下降的。

2T3.2.3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)理想脈沖函數(shù)無(wú)法得到，以的脈動(dòng)函數(shù)代替。無(wú)零點(diǎn)的一階系統(tǒng)Φ(s)=Ts+11,T時(shí)間常數(shù)輸入輸出c(t)=T1e-Tt輸出響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差

3.2.4一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡響應(yīng)T0T位置誤差隨時(shí)間增大,最后為常值T輸入無(wú)零點(diǎn)的一階系統(tǒng)Φ(s)=Ts+11輸出c(t)=t-T+Te-t/T輸出響應(yīng)輸出速度穩(wěn)態(tài)誤差

3.2.5一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)

跟蹤誤差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)隨時(shí)間推移而增長(zhǎng)，直至無(wú)窮。因此一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度函數(shù)。輸出輸入輸出響應(yīng)無(wú)零點(diǎn)的一階系統(tǒng)Φ(s)=Ts+11

線性定常系統(tǒng)的特性單位脈沖信號(hào)單位階躍信號(hào)單位斜坡信號(hào)單位加速度信號(hào)線性系統(tǒng)輸入信號(hào)微分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)響應(yīng)的微分,系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分，這一特性適用于任何階線性定常連續(xù)系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)及線性時(shí)變系統(tǒng)不具有這種特性。

例3.1

如圖示,（1）求Kh=0.1時(shí)的ts,（2）要求ts=0.1s,求Kh.KhC(s)R(s)E(s)100/s(-)解題關(guān)鍵：化閉環(huán)傳遞函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式。與標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3(s),

解:(1)

(2)要求ts=0.1(s),，即3T=0.1(s),Ts

3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以用二階微分方程描述的系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。已知RLC電路的微分方程：為線性二階微分方程，所以圖示為二階系統(tǒng)。RLCi(t)ur(t)uc(t)3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析求拉氏變換，得二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

——為自然頻率，單位rad/s；——二階系統(tǒng)的阻尼比，無(wú)綱量。

典型二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式R(s)C(s)(-)結(jié)構(gòu)圖開環(huán)傳遞函數(shù)令閉環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式為零，得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程

欠阻尼：0<<1

無(wú)阻尼：=0

臨界阻尼：=1

過(guò)阻尼：>1

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程閉環(huán)特征方程根（閉環(huán)極點(diǎn)）這一節(jié)重點(diǎn)是各種輸入時(shí)，不同特征根的狀況，即

輸入為單位階躍信號(hào)輸出整理令：拉氏反變換，輸出階躍響應(yīng)為1.欠阻尼

(0<<1)3.3.２二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

衰減系數(shù)：

n

為阻尼自然頻率,由阻尼比ζ和自然頻率

n決定；滯后角響應(yīng)曲線如圖階躍響應(yīng)(t0)結(jié)論由穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)兩部分組成，穩(wěn)態(tài)部分等于1，表明不存在穩(wěn)態(tài)誤差，瞬態(tài)部分是阻尼振蕩，阻尼的大小由

n(即特征根實(shí)部

n

=σ）決定；無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。

2.無(wú)阻尼

(ζ=0)

(t0)輸出階躍響應(yīng)響應(yīng)曲線：無(wú)阻尼的等幅振蕩自然頻率傳遞函數(shù)一對(duì)共軛的純虛根j

s1s20

響應(yīng)曲線：?jiǎn)握{(diào)上升，無(wú)振蕩、無(wú)超調(diào)、無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。3.臨界阻尼

(ζ=1)

系統(tǒng)傳遞函數(shù)輸出階躍響應(yīng)(t0)一對(duì)相等的負(fù)實(shí)根：j

S1,20

響應(yīng)曲線：?jiǎn)握{(diào)上升，無(wú)振蕩，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。4過(guò)阻尼(ζ>

1)

傳遞函數(shù)階躍響應(yīng)一對(duì)不相等的負(fù)實(shí)根j

0S2S1

式中（T1＞T2）

5.負(fù)阻尼(ζ<0)

傳遞函數(shù)極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。一對(duì)共軛復(fù)根j

0S2S1S1S2響應(yīng)曲線：振蕩發(fā)散響應(yīng)曲線：?jiǎn)握{(diào)發(fā)散√ξ2-1S1,2=-ξωn±ωnS1,2=-ξωn-ωn=S1,2=±jωn0＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j0二階系統(tǒng)單位

階躍響應(yīng)定性分析2Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2-±j√1-ξ2ωnS1,2=ωnξc(t)=1T2tT1T21e+T1tT2T11e+c(t)=1-(1+ωnt)e-ω

tnc(t)=1-cosωntj0j0j0j0T11T21ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0c(t)=√1-ξ2sin(ωdt+β)e-ξωt11n過(guò)阻尼臨界阻尼零阻尼欠阻尼（動(dòng)畫）

除不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)，通常采用欠阻尼狀態(tài)，阻尼比選擇在0.4~0.8之間，保證系統(tǒng)有好的運(yùn)動(dòng)動(dòng)態(tài)。阻尼比決定了系統(tǒng)的振蕩特性：<0時(shí)，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；

=0時(shí)，等幅振蕩；

0<<1時(shí)，有振蕩，愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快，≥1時(shí)，無(wú)振蕩、無(wú)超調(diào)。

一定時(shí)，ωn越大，瞬態(tài)分量衰減越快，系統(tǒng)能更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，系統(tǒng)的快速性越好。結(jié)論

3.3.3欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程分析

阻尼比希望值為（0.4～0.8）欠阻尼二階系統(tǒng)的特征參量

=cos

0

s1

ωn-

ns2

j

j

d

（1）上升時(shí)間tr動(dòng)態(tài)指標(biāo)：tr、

tp

、、ts因?yàn)椋屑匆蓝x，令c(t)=1，ξ一定時(shí)，ωn越大，tr越小ωn一定時(shí)，ξ越大，tr越大取k=1,得

（2）峰值時(shí)間tpξ一定時(shí)，ωn越大，tp越?。沪豱一定時(shí)，ξ越大，tp越大。依定義，令上求導(dǎo)式為零。得即所以因?yàn)橛衪p是阻尼振蕩周期的一半得

=cos

0s1ωn-

ns2

j

j

d

依定義將代入上式得最大超調(diào)量百分比為

僅與阻尼比ξ有關(guān)。ξ越大，越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好.ξ=0.4~0.8

=25.4%~1.5%。（3）超調(diào)量

（3）調(diào)整時(shí)間ts單位階躍響應(yīng)進(jìn)入±

誤差帶的最小時(shí)間。

依定義

有

因?yàn)?/p>

所以

即

c(t)t01包絡(luò)線通常用包絡(luò)線代替實(shí)際曲線估算ts，如右圖一對(duì)包絡(luò)線包絡(luò)線(=5%)取

=0.707得

1、二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能由ωn和

決定。3、

一定，ωn越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，tr、tp、ts越小。小結(jié)2、增加

降低振蕩，減小超調(diào)量，

系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加；4、僅與

有關(guān)，而tr、tp、ts與

、ωn有關(guān)，通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來(lái)確定

。

一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調(diào)整ωn以獲得合適的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間。

R(s)(-)C(s)解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為有

2

n=1/Tm=5,

n2=K/Tm=25得

n=5,ζ=0.5

例3.4

圖中Tm=0.2，K=5，求單位階躍響應(yīng)指標(biāo)?；癁闃?biāo)準(zhǔn)形式

解：(1)與典型二階系統(tǒng)比較，得特征參數(shù)與實(shí)際參數(shù)的關(guān)系為（2）K=16，T=0.25，得將、代入動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)公式得例3.5

如圖示，（1）求特征參數(shù)與實(shí)際參數(shù)的關(guān)系；（2）K=16，T=0.25，計(jì)算動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。C(s)R(s)-

3.3.4過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

不允許出現(xiàn)超調(diào)量時(shí)，可采用過(guò)阻尼,當(dāng)又希望響應(yīng)速度較快時(shí)，可采用臨界阻尼系統(tǒng)。過(guò)阻尼系統(tǒng)響應(yīng)無(wú)峰值時(shí)間tp和,僅上升時(shí)間tr和調(diào)節(jié)時(shí)間ts有研究意義。

上式是一個(gè)超越方程,可利用數(shù)值解法求不同阻尼比下的無(wú)因次時(shí)間，制成曲線備用。過(guò)阻尼系統(tǒng)響應(yīng)j0

（1）上升時(shí)間tr圖中曲線用下式近似描述：的關(guān)系曲線如圖示，

根據(jù)上升時(shí)間tr的定義，過(guò)阻尼無(wú)因次時(shí)間,（2）調(diào)節(jié)時(shí)間ts已知T1/T2取不同值，解出ts/T1與ts/T2關(guān)系值,繪曲線如圖，得和T1/T2的關(guān)系由于知道T1、T2，查圖可求出t值。T1＞4T2時(shí)，系統(tǒng)等效為一階系統(tǒng)，ts=3T，T1/T2=1時(shí)，由圖得

C(s)R(s)-例3.8

如圖示,T=0.2(s),要求單位階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)，ts≤2(s)，求K、tr值。得，所以T1=T2，得T1=T2=0.4(s)。因?yàn)棣豱2=1/(T1T2)，故K=1.25，得將T=0.2(s)代入，且閉環(huán)傳函解：取代入式將得

3.3.5二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)輸入r(t)=δ(t)，R(s)=1，R(s)C(s)(-)輸出圖示是不同ζ值的一簇單位脈沖響應(yīng)曲線，橫坐標(biāo)是無(wú)因次變量，曲線是ζ的函數(shù)。由圖，臨界阻尼和過(guò)阻尼時(shí)，c(t)為正值或等于零，（t≥0）無(wú)阻尼：

=0過(guò)阻尼

欠阻尼無(wú)阻尼臨界阻尼

為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的第一峰值時(shí)間；

為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)第一峰值的幅值；從0到的積分(陰影部分）恰好是單位階躍響應(yīng)的最大值；而脈沖響應(yīng)首次過(guò)零時(shí)間等于階躍響應(yīng)的峰值時(shí)間。C(t)0t欠阻尼脈沖響應(yīng)性能指標(biāo)定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式首次過(guò)零時(shí)間為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)第一次衰減到零的時(shí)間；單峰誤差積分為系統(tǒng)脈沖首響應(yīng)第一峰值的積分面積。

3.3.6二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

輸入R(s)=1/s2，輸出過(guò)阻尼：

>1（t≥0）臨界阻尼：

=1（t≥0）無(wú)阻尼：

=0（t≥0）欠阻尼：0<<1（t≥0）

誤差的最大偏差為誤差響應(yīng)的峰值誤差響應(yīng)求導(dǎo)并令為零，得誤差峰值時(shí)間穩(wěn)態(tài)誤差，ess表示。即（t≥0）

欠阻尼誤差響應(yīng)欠阻尼穩(wěn)態(tài)輸出欠阻尼瞬態(tài)輸出單位斜坡時(shí)欠阻尼分析圖是不同值的無(wú)因次誤差響應(yīng)曲線。顯然，減小值，減小穩(wěn)態(tài)誤差及峰值時(shí)間，但誤差的最大偏離量增大，動(dòng)態(tài)性能惡化。00.41.02.0tptp

（t≥0）

穩(wěn)態(tài)誤差和誤差響應(yīng)分別為臨界阻尼單位斜坡響應(yīng)（t≥0）

（=1）單位斜坡時(shí)臨界阻尼分析情況這里不再討論。

過(guò)阻尼

由終值定理求得穩(wěn)態(tài)誤差，因此例3.9

如圖，討論K和F改變對(duì)單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差的影響。畫小K值，中等K值和大K值時(shí)典型單位斜坡響應(yīng)曲線。C(s)R(s)-E(s)解：閉環(huán)傳函結(jié)論2)3）K增大一倍，減小到原的一半，而ζ值減小到原來(lái)數(shù)值的0.707倍，這是因?yàn)棣婆cK值的平方根成反比；若F值減小到原來(lái)數(shù)值的一半，和ζ分別減小到原來(lái)數(shù)值的一半。因此增大K值比減小F值較為合適。,增大K或減小F會(huì)使ζ減小，導(dǎo)致最大誤差偏離量增大，動(dòng)態(tài)性能變壞。1)增大K或減小F值，可以減小

4）單位斜坡響應(yīng)在瞬態(tài)響應(yīng)結(jié)束而達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出速度與輸入速度相同，但是輸出量與輸入量之間存在一個(gè)固定的位置誤差。5）三種不同K值的典型單位斜坡響應(yīng)曲線如圖所示。R(t)c(t)t0R(t)c(t)大k中等k小k

如圖，Td為微分時(shí)間常數(shù)，比例因子是1，E(s)為誤差信號(hào)。（1）比例—微分控制C(s)R(s)(-)Tds+1Go(s)E(s)U(s)開環(huán)增益開環(huán)傳函閉環(huán)傳函阻尼比增大！增加一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)3.3.7二階系統(tǒng)的性能改善

比例—微分控制和測(cè)速反饋控制是兩種常用的改善系統(tǒng)性能的方法。

(1)

引入比例-微分控制，阻尼比增加，從而抑制振蕩，使超調(diào)減弱，改善系統(tǒng)平穩(wěn)性；

(2)

閉環(huán)零點(diǎn)的出現(xiàn)，即加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，使上升時(shí)間縮短，峰值提前，又削弱了“阻尼”作用。適當(dāng)選擇微分時(shí)間常數(shù)Ｔd，使系統(tǒng)即有較好的平穩(wěn)性，又在出現(xiàn)較小超調(diào)情況下，提高快速性。

(3)不影響系統(tǒng)誤差，自然頻率不變。

特點(diǎn)

輸出量拉氏變換：閉環(huán)傳函：其中輸出響應(yīng)為：式中單位階躍信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)C(s)R(s)(-)Tds+1Go(s)E(s)U(s)

超調(diào)量調(diào)節(jié)時(shí)間ts:

令為實(shí)際響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)輸出之間的差，則下式成立部分性能指標(biāo)：式中峰值時(shí)間tp:

對(duì)上式求導(dǎo)，令其為零。得輸出響應(yīng)取誤差帶=0.05,由上式解得

比例微分校正

閉環(huán)傳函數(shù)開環(huán)增益K(2)測(cè)速反饋控制

圖中輸出量的速度信號(hào)反饋到輸入端，與誤差信號(hào)E(s)比較后，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。Ｅ(s)R(s)(-)C(s)KtS(-)開環(huán)傳函式中為阻尼比

例3.10分析：1）該系統(tǒng)能否正常工作？

2）要求

=0.707，系統(tǒng)如何改進(jìn)？等幅不衰減振蕩，工作不正常２）增加測(cè)速反饋，閉環(huán)傳函=0無(wú)阻尼解1）

兩種控制系統(tǒng)比較如下:

(1)開環(huán)增益K，比例—微分控制不改變開環(huán)增益K。而測(cè)速反饋控制降低了K,導(dǎo)致斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差增大（2）不變，阻尼比增大。分別為取Kt=Td，。（3）比例—微分控制提供一個(gè)實(shí)零點(diǎn)，在相同的阻尼比時(shí)，超調(diào)量大于速度反饋控制。（4）比例—微分控制對(duì)輸入噪聲有放大作用，輸入端高頻噪音嚴(yán)重時(shí)，不宜選用此方法。測(cè)速反饋控制無(wú)需設(shè)置放大器，適合任何輸出可測(cè)的控制系統(tǒng)。

3.3.8初始條件不為零的二階系統(tǒng)響應(yīng)

二階系統(tǒng)的微分方程初始值不為零令則拉氏反變換求上式的拉氏變換，考慮初始條件零輸入響應(yīng)取式中若ζ=0

有相同的衰減振蕩特性零狀態(tài)響應(yīng)

3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析三階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(難點(diǎn))閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)重點(diǎn)

三階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)極點(diǎn)阻尼比輸入一階因子引起的非周期指數(shù)衰減二階因子引起的阻尼振蕩輸出響應(yīng)s1s2s3其中：響應(yīng)曲線分析1）當(dāng)

=，為二階系統(tǒng)；2）附加一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)（0<<），原二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：超調(diào)量上升時(shí)間峰值時(shí)間;３）>1,呈二階系統(tǒng)特性；s3距虛遠(yuǎn),s1、s2距虛軸近,特性主要取決于s1、s2。

４）<1,呈一階系統(tǒng)特性；s3距虛軸近,s1、s2距虛軸遠(yuǎn),特性主要取決于s3。

高階系統(tǒng)(s2+2s+5)(s+6)30Φ1(s)=(s2+2s+5)5Φ2(s)=主導(dǎo)極點(diǎn)σ%=19.1%ts=3.89sσ%=20.8%ts=3.74s增加極點(diǎn)對(duì)ζ有何影響？

3.4.1高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)表示為(m≤n)

分解成因式閉環(huán)傳函R(s)C(s)E(s)-G(s）H(s）為閉環(huán)零點(diǎn)為閉環(huán)極點(diǎn)是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，輸出為q個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)r對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)q+2r=n無(wú)重極點(diǎn)，按部分分式展開、是復(fù)數(shù)極點(diǎn)處有關(guān)的常系數(shù)

極點(diǎn)距虛軸的距離越遠(yuǎn)，曲線衰減越快；s3S1,s2s4,s5s3s1s2s4s5單位階躍響應(yīng)為(t≥0)衰減系數(shù)衰減系數(shù)衰減系數(shù)若閉環(huán)極點(diǎn)都位于S平面左側(cè)，t→∞時(shí)，指數(shù)項(xiàng)和阻尼正弦、余弦項(xiàng)為零，穩(wěn)態(tài)輸出為。

3.4.2閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)主導(dǎo)系統(tǒng)響應(yīng)的變化過(guò)程；距虛軸較近，周圍沒(méi)有其它極點(diǎn)和零點(diǎn)；其實(shí)部值與其它極點(diǎn)的實(shí)部相比小五倍以上。設(shè)高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)輸入輸出近似為拉氏反變換，得該式具有二階系統(tǒng)的響應(yīng)規(guī)律與前述欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)不完全相同基于一對(duì)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)近似表達(dá)式考慮了閉環(huán)零點(diǎn)和非主導(dǎo)極點(diǎn)的影響

3.4.3高階系統(tǒng)性能指標(biāo)估算(1)峰值時(shí)間tp:對(duì)輸出式求導(dǎo)，并令其為零，得式中利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，近似求系統(tǒng)的性能指標(biāo)。已知因?yàn)樯鲜降?/p>

閉環(huán)零點(diǎn)使系統(tǒng)響應(yīng)加快，閉環(huán)零點(diǎn)越接近虛軸，這種作用越顯著；閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)使系統(tǒng)響應(yīng)變緩；閉環(huán)零、極點(diǎn)彼此接近，對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響相互抵消；若不存在閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)和閉環(huán)零點(diǎn)，tp與典型二階系統(tǒng)的峰值時(shí)間相同.

(2)超調(diào)量

依定義得令中M(0)/D(0)=1（對(duì)應(yīng)穩(wěn)態(tài)時(shí)）所以展開因?yàn)榈?/p>

故得s1、s2為共軛極點(diǎn)，有由于

式中P是閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)修正系數(shù)，Q是閉環(huán)零點(diǎn)修正系數(shù)。從上式知，閉環(huán)零點(diǎn)靠近虛軸，使,Q值加大，阻尼減小，超調(diào)量增加；閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)距虛較近，，使P值減小，阻尼增大，超調(diào)量減小；若，系統(tǒng)為過(guò)阻尼，該成為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)；若P=Q=1，與典型二階系統(tǒng)中的超調(diào)量相同。

(3)調(diào)節(jié)時(shí)間取，Δ=0.05依定義有整理后得式中結(jié)論：閉環(huán)零點(diǎn)距虛軸較近，Q大，ts加長(zhǎng)，速度變緩；非主導(dǎo)極點(diǎn)距虛軸近，使F減小，ts縮短，速度加快。總是希望系統(tǒng)有一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣可近似求系統(tǒng)性能指標(biāo)。已知包絡(luò)線概念

35.1穩(wěn)定性概念及定義系統(tǒng)受到擾動(dòng)偏離了平衡狀態(tài)，擾動(dòng)消失后，又恢復(fù)到平衡狀態(tài)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與初始條件及外作用無(wú)關(guān)。穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多大，擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)是大范圍穩(wěn)定。大范圍穩(wěn)定線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定，必然大范圍穩(wěn)定。小范圍穩(wěn)定小擾動(dòng)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，大擾動(dòng)不能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，系統(tǒng)為小范圍穩(wěn)定。擾動(dòng)消失后，輸出與原平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定視為不穩(wěn)定。

圖示用曲線表示穩(wěn)定性的概念和定義注意：僅適用于線性定常系統(tǒng)r(t)C(t)(c)不穩(wěn)定C(t)(a)外加擾動(dòng)r(t)(b)穩(wěn)定C(t)

3.5.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

穩(wěn)定的條件若若非零常數(shù)

系統(tǒng)初始條件為零時(shí)，受到δ(t)的作用，輸出為單位脈沖響應(yīng)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下，輸出信號(hào)偏離平衡點(diǎn)的問(wèn)題，當(dāng)t→∞時(shí)，若（漸近）穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定

設(shè)n階系統(tǒng)表達(dá)式為理想脈沖函數(shù)作用下R(s)=1,輸出量的拉氏變換為(m≤n)其中拉氏反變換為

(t≥0)若全部特征根有負(fù)實(shí)部，則（漸近）穩(wěn)定有一個(gè)或一個(gè)以上正實(shí)根或?qū)嵅繛檎墓曹棌?fù)根，其余的根具有負(fù)實(shí)部,則系統(tǒng)不穩(wěn)定有一個(gè)或一個(gè)以上零實(shí)部根，其余的具有負(fù)實(shí)部臨界穩(wěn)定

穩(wěn)定性與零點(diǎn)無(wú)關(guān)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部，即閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部在s平面左半部。s平面穩(wěn)定的必要條件各項(xiàng)系數(shù)有相同的符號(hào)，無(wú)零系數(shù)特征方程

代數(shù)判據(jù)可以省略高階系統(tǒng)求征特根帶來(lái)的麻煩。常用的代數(shù)判據(jù)有勞斯判據(jù)、赫爾維茨判據(jù)等。3.5.3線性系統(tǒng)的代數(shù)判據(jù)勞斯(Routh)判據(jù)勞斯陣列勞斯(Routh)判據(jù)的特殊情況重點(diǎn)勞斯(Routh)判據(jù)的應(yīng)用

設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=22710(6-14)/1=-8-84121、勞斯穩(wěn)定判據(jù)（勞斯表介紹）勞斯表特點(diǎn)4

每?jī)尚袀€(gè)數(shù)相等1

右移一位降兩階2

行列式第一列不動(dòng)第二列右移3

次對(duì)角線減主對(duì)角線5

分母總是上一行第一個(gè)元素6第一列出現(xiàn)零元素時(shí)，用正無(wú)窮小量ε代替。7

一行可同乘以或同除以某正數(shù)ε2+8ε7ε-8(2+8)-ε7ε27ε127

-8ε1246357

設(shè)系統(tǒng)的特征方程為勞斯陣列第一列中各數(shù)符號(hào)不同

系統(tǒng)不穩(wěn)定符號(hào)相同

系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定的充要條件是勞思陣列第一列元素不改變符號(hào)第一列符號(hào)改變的次數(shù)等于特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)

1234500例3.12

特征方程為s4+2s3+3s2+4s+5=0;用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：勞斯表符號(hào)改變一次符號(hào)改變一次符號(hào)改變兩次，s平面右側(cè)有兩個(gè)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定性。

系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:有正有負(fù)一定不穩(wěn)定!缺項(xiàng)一定不穩(wěn)定!系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件:勞斯表第一列元素不變號(hào)!若變號(hào)系統(tǒng)不穩(wěn)定!變號(hào)的次數(shù)為特征根在s右半平面的個(gè)數(shù)!特征方程各項(xiàng)系數(shù)全>0或全<0-s2-5s-6=0穩(wěn)定嗎？有兩個(gè)正實(shí)部根該系統(tǒng)不穩(wěn)定勞斯(routh)判據(jù)小結(jié)

s4

111s3

33s2

01s∞D(zhuǎn)(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0特殊情況1：第一列某行出現(xiàn)0某行的第一列項(xiàng)為0，其余各項(xiàng)不為0或不全為0。（１）用（s+a）因子乘原特征方程（a為任意正數(shù)），（２）或用很小的正數(shù)代替零元素。勞斯表第一列為零

方法１：(s+3)乘原式，得D(s)=s5+6s4+10s3+6s2+10s+3=0

s5

11010s4

663s3

99.5s2

-0.333s1

91.40s0

3s4

111s3

33s2

1s1

s01代替了０(3

-3)/

方法２

勞斯表出現(xiàn)零行設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞斯表s0s1s2s3s4517566601勞斯表何時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行?2出現(xiàn)零行怎么辦?3如何求對(duì)稱的根?②由零行的上一行構(gòu)成輔助方程:①

有大小相等符號(hào)相反的特征根時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行s2+1=0對(duì)其求導(dǎo)得零行系數(shù):2s1繼續(xù)計(jì)算勞斯表1第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯(cuò)啦!!!勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定這是零行2由綜合除法或比較系數(shù)法可得另兩個(gè)根s3,4=-2,-3解輔助方程得對(duì)稱根:

s1,2=±j注意：純虛根為重根時(shí)，系統(tǒng)不再等幅振蕩，而是振蕩發(fā)散。特殊情況2：

勞斯陣列出現(xiàn)全零行:系統(tǒng)在s平面有對(duì)稱分布的根大小相等符號(hào)相反的實(shí)根對(duì)稱于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根共軛虛根例系統(tǒng)特征方程如下，試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性出現(xiàn)全零行解：列勞斯表由s2系數(shù)構(gòu)造輔助方程為對(duì)輔助方程F(s)的變量求導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)方程新勞斯表第一列不變號(hào)，故系統(tǒng)無(wú)正實(shí)部根，但因出現(xiàn)全零行，解輔助方程F(s)得一對(duì)共軛復(fù)根：系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定勞斯判據(jù)可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性不能表明系統(tǒng)特征根在s平面上相對(duì)虛軸的距離當(dāng)需要知道系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性時(shí)，可以移動(dòng)S平面的坐標(biāo)軸，然后在使用勞斯判據(jù)具體方法為：將s=z-a(a=常數(shù))代入系統(tǒng)的特征方程，寫出z變量的新多項(xiàng)式，再對(duì)新多項(xiàng)式應(yīng)用勞斯判決即可在新的勞斯表中，第一列符號(hào)變號(hào)的次數(shù)，就等于位于垂線s=-a

右邊根的數(shù)目，該法可以檢驗(yàn)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性勞斯判據(jù)的應(yīng)用

例3.14

負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)（1）求系統(tǒng)穩(wěn)定K1的取值范圍；（2）要求閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s=-1垂線之左，求K1的取值范圍。

解：（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程D(s)=s3+30s2sK1=0勞斯表6500K1

s0

s1

6500K30s2

65001s3

K1取值范圍是０<K1<３０（2）將s=z-1代入原式，新特征方程

D(z)=z3+27z2z+(6500K1-6471)=0

勞斯表6500K1-6471z0

z16500K1-647127z2

64431z3

K1取值范圍是

3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)而言，穩(wěn)態(tài)誤差是反映其控制精度的一種度量，通常又稱為穩(wěn)態(tài)性能?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、輸入信號(hào)的形式有很大關(guān)系?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)的任務(wù)之一就是要保證系統(tǒng)在穩(wěn)定的前提下，盡量地減小仍至消除穩(wěn)態(tài)誤差。88

一、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差定義⑴誤差的兩種定義：

a.從輸出端定義：等于系統(tǒng)輸出量的實(shí)際值與希望值之差。這種方法在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但在實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)無(wú)法測(cè)量。因此，一般只具有數(shù)學(xué)意義。

b.從輸入端定義：等于系統(tǒng)的輸入信號(hào)與主反饋信號(hào)之差?；蛟O(shè)

4.2.1誤差的基本概念

2023/12/1110:4089若

式中——系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。得到

這種方法定義的誤差，在實(shí)際系統(tǒng)中是可測(cè)量的，故具有一定的物理意義。以后我們均采用從系統(tǒng)輸入端定義的誤差來(lái)進(jìn)行計(jì)算和分析。誤差本身是時(shí)間的函數(shù)，其時(shí)域表達(dá)式為：式中：——?jiǎng)討B(tài)分量，此分量隨時(shí)間增長(zhǎng)而消失

——穩(wěn)態(tài)分量。

2023/12/1110:4090

⑵穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)而言，隨著時(shí)間趨于無(wú)窮，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程結(jié)束，將趨于零。根據(jù)拉氏變換終值定理，穩(wěn)定的非單位反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為由上式可知，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)的形式和開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。當(dāng)輸入信號(hào)形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差就取決于以開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

該公式使用條件:滿足sE(s)在s右半平面及虛軸上解析的條件，即sE(s)的極點(diǎn)均位于s左半平面。當(dāng)sE(s)在坐標(biāo)原點(diǎn)有極點(diǎn)時(shí)，雖不滿足虛軸上解析的條件，但使用結(jié)果與實(shí)際結(jié)果一致，這時(shí)也可用此公式。計(jì)算誤差公式

例3.15單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=1/Ts,輸入分別為1)r(t)=t，2)r(t)=t2/2，3)r(t)=sinωt，求穩(wěn)態(tài)誤差。

解：誤差閉環(huán)傳遞函數(shù)2）,符合終值定理應(yīng)用條件。使用終值定理要注意條件。3）,不符合應(yīng)用條件。用終值定理將得出錯(cuò)誤結(jié)論。1）,符合終值定理應(yīng)用條件E(s)C(s)R(s)-

G0H0注意：s→0時(shí)，G0H0一定→1sν表示開環(huán)有ν個(gè)極點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)ν=0稱為0型系統(tǒng)

稱為Ⅰ型系統(tǒng)稱為Ⅱ型系統(tǒng)稱為Ⅲ型系統(tǒng)ν=1ν=2ν=3注意！1233.6.2系統(tǒng)型別τ設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)=∏(is+1)i=1

m∏(Tjs+1)

j=1n-νksν此時(shí)的k為開環(huán)增益

由上式可見,與系統(tǒng)的型號(hào)v﹑開環(huán)增益K及輸入信號(hào)的形式及大小有關(guān).由于工程實(shí)際上的輸入信號(hào)多為:階躍信號(hào)﹑斜坡信號(hào)(等速度信號(hào))﹑拋物線信號(hào)(等加速度信號(hào))、或者為這三種信號(hào)的組合,所以下面只討論這三種信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差問(wèn)題.

1.階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)位置誤差系數(shù)設(shè)則則因?yàn)樗造o態(tài)位置誤差系數(shù)

時(shí)有差系統(tǒng)階躍輸入要使穩(wěn)態(tài)誤差為零,必須使用Ⅰ型或Ⅰ型以上系統(tǒng),圖示0型系統(tǒng)有誤差。1.階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)位置誤差系數(shù)

2.斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系數(shù)設(shè)則

0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入，Ⅰ型系存在有限誤差，要使穩(wěn)態(tài)誤差為零,必須使用Ⅱ型或Ⅱ型以上系統(tǒng),圖示Ⅰ型有差系統(tǒng)。一階有差系統(tǒng)

=12.斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)速度誤差系數(shù)

3.加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)加速度誤差系數(shù)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)設(shè)則

0，Ⅰ型系統(tǒng)不能跟蹤加速度輸入，Ⅱ型系存在有限誤差，要使穩(wěn)態(tài)誤差為零,必須使用Ⅲ型或Ⅲ型以上系統(tǒng),圖示Ⅱ型有差系統(tǒng)。二階有差系統(tǒng)

=23.加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)加速度誤差系數(shù)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

典型輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)誤差系數(shù)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)E(s)=R(s)

1+G(s)H(s)

1若系統(tǒng)穩(wěn)定,則可用終值定理求essess=lims1+ksνG0H0R(s)→0sR(s)=R/sr(t)=R·1(t)ess=

1+ksνRlim→0sr(t)=R·tR(s)=R/s2ess=

s·Rlim→0sksνr(t)=Rt2/2R(s)=R/s3ess=

s2·Rlim→0sksνkpkvka

取不同的νr(t)=R·1(t)ess=1+ksνRlim→0sr(t)=R·tess=s·Rlim→0sksνr(t)=Rt2/2ess=s2·Rlim→0sksνⅠ型0型Ⅱ型R·1(t)

R1+kRkR·t000∞R

k∞∞Rt2/2R·1(t)R·tRt2/2kkk000∞∞∞靜態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)：123Kp=?Kv=?Ka=?非單位反饋怎么辦？啥時(shí)能用表格？表中誤差為無(wú)窮時(shí)系統(tǒng)還穩(wěn)定嗎?多種典型輸入的組合，根據(jù)線性迭加原理求穩(wěn)態(tài)誤差。

例3.16

系統(tǒng)輸入r(t)=(+t+t2/2)1(t)，求0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：利用疊加原理，得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差動(dòng)