多元函數(shù)條件極值的求解方法

多元函數(shù)條件極值求解方法摘要:本文研究的是代入法、拉格朗日乘數(shù)法、標(biāo)準(zhǔn)量代換法、不等式法等九種方法在解多元函數(shù)條件極值問題中的運(yùn)用，較為全面的總結(jié)了多元函數(shù)條件極值的求解方法，旨在解決相應(yīng)的問題時(shí)能得以借鑒，找到適宜的解決方法。關(guān)鍵詞：多元函數(shù)；條件極值；拉格朗日乘數(shù)法；柯西不等式Abstract:Thispaperstudiesthesubstitutionmethod,theLagrangemultipliermethod,standardsubstitutionmethod,inequalityofninekindsofmethodinsolvingmultivariatefunctionextremumproblems,theapplicationconditionsaresummedupthediversefunctionsofconditionalextremevaluemethod,tosolvethecorrespondingproblemisabletoguide,tofindtherightsolution.Keywords:multiplefunctions;Conditionalextremevalue;Lagrangemultipliermethod;Cauchyinequality時(shí)比擬困難，解題過程中選擇一種合理的方法可以到達(dá)事半功倍的效果，大大減少解題時(shí)間，拓展解題的思路。下面針對(duì)多元函數(shù)條件極值問題總結(jié)了幾種方法供大家借鑒。1.消元法對(duì)于約束條件較為簡單的條件極值求解問題，可利用題目中的約束條件將其中一個(gè)量用其他量表示，到達(dá)消元的效果，從而將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值問題。例1求函數(shù)在條件x－y+z=2下的極值.解：由x－y+z=2解得將上式代入函數(shù)，得解方程組得駐點(diǎn)，，在點(diǎn)處，，所以不是極值點(diǎn)從而函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處無極值；在點(diǎn)處，，又，所以為極小值點(diǎn)因而，函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處有極小值極小值為.2.拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值的一種常用方法，特別是在約束條件比擬多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)組限制下的極值，假設(shè)及有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Jacobi矩陣的秩為，那么可以用拉格朗日乘數(shù)法求極值.首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)然后，解方程組從此方程組中解出駐點(diǎn)的坐標(biāo)，所得駐點(diǎn)是函數(shù)極值的可疑點(diǎn)，需進(jìn)一步判斷得出函數(shù)的極值.定理1.2.1〔充分條件〕設(shè)點(diǎn)及個(gè)常數(shù)滿足方程組，那么當(dāng)方陣為正定〔負(fù)定〕矩陣時(shí)，滿足約束條件的條件極小〔大〕值點(diǎn)，因此為滿足約束條件的條件極小〔大〕值.例2.求橢球在第一卦限內(nèi)的切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的最小體積.解：此橢球在點(diǎn)處的切平面為化簡,得此平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為：那么此切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積由題意可知，體積存在最小值，要使最小，那么需最大；即求目標(biāo)函數(shù)在條件下的最大值，其中，拉格朗日函數(shù)為由解得;3.標(biāo)準(zhǔn)量代換法求含有多個(gè)變量的條件極值時(shí),可以選取某個(gè)與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量,其余各量為比擬量,然后將比擬量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來,即可將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系.如果給定條件是幾個(gè)變量之和的形式,一般設(shè)這幾個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.例3.設(shè),求的最小值.解：取為標(biāo)準(zhǔn)量,令,那么(為任意實(shí)數(shù)),從而有等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)成立，所以的最小值為.4.不等式法4.1利用均值不等式將目標(biāo)函數(shù)配湊成均值不等式左邊或右邊的形式，再根據(jù)均值不等式中等號(hào)成立的充要條件：，求解多元函數(shù)條件極值。例4.1，，求的極小值.解=4(x+y+z)×=4(x+y+z)×當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.4.2利用柯西不等式將目標(biāo)函數(shù)配湊成柯西不等式左邊或者右邊的形式，再根據(jù)柯西不等式中等號(hào)成立的充要條件：與對(duì)應(yīng)成比例，來求解多元函數(shù)條件極值.例4.2，求的最值.解：首先將變形為；再設(shè)，于是，根據(jù)柯西不等式及條件，有即：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，，.5梯度法用梯度法求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)時(shí)組限制下的極值，方程組的解,就是所求極值問題的可能極值點(diǎn).其中表示目標(biāo)函數(shù)的梯度向量，表示條件函數(shù)的梯度向量例5.從斜邊之長為的一切直角三角形中,求最大周長的直角三角形.解:設(shè)兩條直角邊為,此題的實(shí)質(zhì)是求在條件下的極值問題.根據(jù)梯度法,列出方程組進(jìn)一步求解得容易解出根據(jù)題意是唯一的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn).所以，當(dāng)兩條直角邊都為時(shí),直角三角形的周長最大.6.數(shù)形結(jié)合法根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如直線的截距，點(diǎn)到直線的距離，圓的半徑等幾何性質(zhì)來決定目標(biāo)函數(shù)的條件極值。例6設(shè)，求的最值解：設(shè)那么，即表示坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的距離的平方的2倍顯然最大值為長軸的長38，最小值為7.三角代換法利用三角函數(shù)〔或三角函數(shù)式〕去代替所給函數(shù)式中的變數(shù)，借助于三角函數(shù)運(yùn)算求出極值。代換時(shí)，首先要從函數(shù)式中變數(shù)的允許值去考慮，選取哪些三角函數(shù)〔或三角函數(shù)式〕，再從解題的需要選擇適當(dāng)?shù)拇鷵Q。例7.假設(shè)，試求函數(shù)的極值。解：令〔為參數(shù)，〕那么合于條件，故，此處當(dāng)時(shí)，，此時(shí)〔n為正整數(shù)〕，因此當(dāng),時(shí)函數(shù)到達(dá)極大值，類似的可得，最小值－.9.二次方程判別式符號(hào)法對(duì)于約束條件含某一變量平方項(xiàng)的條件極值問題，可將目標(biāo)函數(shù)的一端整理成僅含該變量的形式，然后將其代入約束條件，再根據(jù)二次函數(shù)方程有實(shí)解判別式大于等于零，來求解多元函數(shù)條件極值例9假設(shè),試求的極值.解因?yàn)?代入得即(1)這個(gè)關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解,必須即解關(guān)于的二次不等式,得:顯然,求函數(shù)的極值,相當(dāng)于求(2)或(3)的極值.由(2)得(4)這個(gè)關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解,必須,即解此關(guān)于的二次不等式,得.所以,.把代入(4),得再把,代入(1),得,最后把,,代入,得.所以,當(dāng),,時(shí),函數(shù)到達(dá)極大值3.同理可得,當(dāng),,時(shí),函數(shù)到達(dá)極小值-3.也可以從(3)作類似討論得出的極大值3和極小值-3.本文通過對(duì)多元函數(shù)極值問題的各種解法的介紹，我們知道對(duì)于不同的多元函數(shù)其極值有不同的解法，除了拉格朗日乘數(shù)法和梯度法外，其余條件極值解法均為初等數(shù)學(xué)的方法，掌握好初等數(shù)學(xué)的方法求解多元函數(shù)條件極值會(huì)使問題變得簡單，但其使用的過程中具有一定的技巧性，也有一定的局限性,需要根據(jù)具體情況具體分析，只有訓(xùn)練掌握各種解法，才能在解極值問題時(shí)選擇最正確方法快速解題。參考文獻(xiàn)[1]唐軍強(qiáng).用方向?qū)?shù)法求解多元函數(shù)極值[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2023，〔15〕：246-247[2]汪元倫.兩類多元函數(shù)條件極值的簡捷求法[J].綿陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2023，27〔2〕：14-15.[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.高等教育出版社.[4]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法-北京：高等教育出版社，1993.5[5]王延源.條件極值的初等解法[J],臨沂師專學(xué)報(bào),1999(12):21-24.[6]肖翔，許伯生.運(yùn)用梯度法求條件極值[J]，上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究，2006(1):35-37時(shí)光匆匆如流水，轉(zhuǎn)眼便是大學(xué)畢業(yè)時(shí)節(jié)，春夢(mèng)秋云。離校日期已日趨臨近，畢業(yè)論文的的完成也隨之進(jìn)入了尾聲。從選題到論文順利完成，一直都離不開老師、同學(xué)給我熱情的幫助，在這里請(qǐng)接受我誠