廣東省汕頭市潮陽啟聲高中2023年數學高一上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

廣東省汕頭市潮陽啟聲高中2023年數學高一上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．已知冪函數的圖象過點，則（）A. B.C. D.2．已知函數，則，（）A.4 B.3C. D.3．若，，則（）A. B.C. D.4．已知集合，，則（）A. B.C. D.5．圓與圓的位置關系為（）A.相離 B.相交C.外切 D.內切6．定義在上的奇函數滿足，且當時，，則（）A. B.2C. D.7．若函數的圖像關于點中心對稱，則的最小值為（）A. B.C. D.8．函數的一個零點所在的區(qū)間是（）A. B.C. D.9．使得成立的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.10．已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．有關數據顯示，2015年我國快遞行業(yè)產生的包裝垃圾約為400萬噸.有專家預測，如果不采取措施，快遞行業(yè)產生的包裝垃圾年平均增長率將達到50%.由此可知，如果不采取有效措施，則從___________年(填年份)開始，快遞行業(yè)產生的包裝垃圾超過4000萬噸.(參考數據：，)12．給出下列命題：①函數是偶函數；②方程是函數的圖象的一條對稱軸方程；③在銳角中，；④函數的最小正周期為；⑤函數的對稱中心是，，其中正確命題的序號是________.13．已知函數，那么_________.14．實數，滿足，，則__________15．已知函數．則函數的最大值和最小值之積為______三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為打造成“生態(tài)農業(yè)特色鄉(xiāng)鎮(zhèn)”，決定種植某種水果，該水果單株產量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關系：，單株成本投入（含施肥、人工等）為元.已知這種水果的市場售價為15元/千克，且銷路暢通供不應求，記該水果樹的單株利潤為（單位：元）.（1）求的函數關系式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？17．甲地到乙地的距離大約為240，某汽車公司為測試一種新型號的汽車的耗油量與行駛速度的關系，進行了多次實地測試，收集到了該車型的每小時耗油量Q（單位：）與速度v（單位：）（）的數據如下表：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000為了描述汽車每小時耗油量與速度的關系，現有以下三種模型供選擇：①；②；③.（1）選出你認為最符合實際的函數模型，并說明理由；（2）從甲地到乙地，該型號的汽車應以什么速度行駛才能使總耗油量最少？18．求值或化簡：（1）；（2）.19．已知，，計算：（1）（2）20．已知是函數的零點，.（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；（Ⅲ）若方程有三個不同的實數解，求實數的取值范圍.21．已知函數..（1）判斷函數的奇偶性并證明；（2）若函數在區(qū)間上單調遞減，且值域為，求實數的取值范圍

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、D【解析】先利用待定系數法求出冪函數的解析式，再求的值【詳解】解：設，則，得，所以，所以，故選：D2、D【解析】根據分段函數解析式代入計算可得；【詳解】解：因為，，所以，所以故選：D3、C【解析】由題可得，從而可求出，即得.【詳解】∵所以，又因為，，所以，即，所以，又因為，所以，故選：C4、B【解析】化簡集合A，由交集定義直接計算可得結果.【詳解】化簡可得，又所以.故選：B.5、A【解析】通過圓的標準方程，可得圓心和半徑，通過圓心距與半徑的關系，可得兩圓的關系.【詳解】圓，圓心，半徑為；，圓心，半徑為；兩圓圓心距，所以相離.故選：A.6、D【解析】根據題意，由，分析可得，即可得函數的周期為4，則有，由函數的解析式以及奇偶性可得的值，即可得答案【詳解】解：根據題意，函數滿足，即，則函數的周期為4，所以又由函數為奇函數，則，又由當，時，，則；則有；故選：【點睛】本題考查函數奇偶性、周期性的應用，注意分析得到函數的周期，屬于中檔題7、C【解析】根據函數的圖像關于點中心對稱，由求出的表達式即可.【詳解】因為函數的圖像關于點中心對稱，所以，所以，解得，所以故選：C【點睛】本題主要考查余弦函數的對稱性，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.8、B【解析】根據零點存在性定理，計算出區(qū)間端點的函數值即可判斷；【詳解】解：因為，在上是連續(xù)函數，且，即在上單調遞增，，，，所以在上存在一個零點.故選：.【點睛】本題考查函數的零點的范圍，注意運用零點存在定理，考查運算能力，屬于基礎題9、C【解析】由不等式、正弦函數、指數函數、對數函數的性質，結合充分、必要性的定義判斷選項條件與已知條件的關系.【詳解】A：不一定有不成立，而有成立，故為必要不充分條件；B：不一定成立，而也不一定有，故為既不充分也不必要條件；C：必有成立，當不一定有成立，故為充分不必要條件；D：必有成立，同時必有，故為充要條件.故選：C.10、B【解析】抽象函數的定義域求解，要注意兩點，一是定義域是x的取值范圍；二是同一對應法則下，取值范圍一致.【詳解】的定義域為，，即，，解得：且，的定義域為.故選：.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、2021【解析】根據條件列指數函數，再解指數不等式得結果.【詳解】設快遞行業(yè)產生的包裝垃圾為萬噸，表示從2015年開始增加的年份數，由題意可得，，得，兩邊取對數可得，∴，得，解得，∴從2015+6=2021年開始，快遞行業(yè)產生的包裝垃圾超過4000萬噸.故答案為：202112、①②③【解析】由誘導公式化簡得函數，判斷①正確；求出函數的圖象的對稱軸（），當時，，判斷②正確；在銳角中，由化簡得到，判斷③正確；直接求出函數的最小正周期為，判斷④錯誤；直接求出函數的對稱中心是，判斷⑤錯誤.【詳解】①因為函數，所以函數是偶函數，故①正確；②因為函數，所以函數圖象的對稱軸（），即（），當時，，故②正確；③在銳角中，，即，所以，故③正確；④函數的最小正周期為，故④錯誤；⑤令，解得，所以函數的對稱中心是，故⑤錯誤.故答案為：①②③【點睛】本題考查三角函數的圖象與性質、誘導公式與三角恒等變換，是中檔題.13、3【解析】首先根據分段函數求的值，再求的值.【詳解】，所以.故答案為：314、8【解析】因為，，所以，，因此由，即兩交點關于(4,4)對稱,所以8點睛：利用函數圖象可以解決很多與函數有關的問題，如利用函數的圖象解決函數性質問題，函數的零點、方程根的問題，有關不等式的問題等.解決上述問題的關鍵是根據題意畫出相應函數的圖象，利用數形結合的思想求解.15、80【解析】根據二次函數的性質直接計算可得.【詳解】因為，所以當時，，當時，，所以最大值和最小值之積為.故答案為：80三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）；（2）4千克，505元.【解析】（1）用銷售額減去成本投入得出利潤的解析式；（2）判斷的單調性，及利用基本不等式求出的最大值即可【詳解】解：（1）由題意得：，（2）由（1）中得（i）當時，；（ii）當時，當且僅當時，即時等號成立.因為，所以當時，，所以當施用肥料為4千克時，種植該果樹獲得的最大利潤是505元.【點睛】方法點睛：該題考查的是有關函數的應用問題，解題方法如下：（1）根據題意，結合利潤等于收入減去支出，得到函數解析式；（2）利用分段函數的最大值等于每段上的最大值中的較大者，結合求最值的方法得到結果.17、（1）最符合實際的模型為①，理由見解析（2）從甲地到乙地，該型號的汽車以80的速度行駛時能使總耗油量最少【解析】（1）根據定義域和單調性來判斷；（2）根據行駛時間與單位時間的耗油量得到總耗油量的函數表達式，再求最小值的條件即可.【小問1詳解】依題意，所選的函數必須滿足兩個條件：定義域為，且在區(qū)間上單調遞增.由于模型③定義域不可能是.而模型②在區(qū)間上是減函數.因此，最符合實際的模型為①.【小問2詳解】設從甲地到乙地行駛總耗油量為y，行駛時間為t，依題意有.∵，，∴，它是一個關于v的開口向上的二次函數，其對稱軸為，且，∴當時，y有最小值.由題設表格知，當時，，，.∴從甲地到乙地，該型號的汽車以80km/h的速度行駛時能使總耗油量最少.18、(1)18;(2).【解析】(1)利用對數的運算性質即可得出;(2)利用指數冪和對數的運算法則即可得出.試題解析：(1)（2）＝＝＝＝19、（1）；（2）.【解析】（1）先把化為，然后代入可求；（2）先把化為，然后代入可求.【詳解】（1）；（2）.【點睛】本題主要考查齊次式的求值問題，齊次式一般轉化為含有正切的式子，結合正切值可求.20、(Ⅰ)1；(Ⅱ)；(Ⅲ)【解析】Ⅰ利用是函數的零點，代入解析式即可求實數的值；Ⅱ由不等式在上恒成立，利用參數分類法，轉化為二次函數求最值問題，即可求實數的取值范圍；Ⅲ原方程等價于，利用換元法，轉化為一元二次方程根的個數進行求解即可【詳解】Ⅰ是函數的零點，，得；Ⅱ，，則不等式在上恒成立，等價為，，同時除以，得，令，則，，，故的最小值為0，則，即實數k的取值范圍；Ⅲ原方程等價為，，兩邊同乘以得，此方程有三個不同的實數解，令，則，則，得或，當時，，得，當，要使方程有三個不同的實數解，則必須有有兩個解，則，得【點睛】本題主要考查函數與方程根的問題，利用換元法結合一元二次方程根的個數，以及不等式恒成立問題，屬于難題.不等式恒成立問題常見方法：①分離參數恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數形結合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數，排除不合題意的參數范圍，篩選出符合題意的參數范圍.21、（1）