專題01 全等三角形的判定與性質重難點題型專訓（原卷版）

專題01全等三角形的判定與性質重難點題型專訓【題型目錄】題型一用“SSS”證明三角形全等問題題型二全等的性質與“SSS”綜合問題題型三用“SAS”證明三角形全等問題題型四全等的性質與“SAS”綜合問題題型五用“ASA(AAS)”證明三角形全等問題題型六全等的性質與“ASA(AAS)”綜合問題題型七用“HL”證明三角形全等問題題型八全等的性質與“HL”綜合問題題型九靈活選用判定方法證全等題型十結合尺規(guī)作圖的全等問題題型十一與角平分線相關的全等證明問題題型十二全等三角形的綜合問題【知識梳理】知識點、全等三角形的判定一、全等三角形判定1——“邊邊邊”定理1：三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點詮釋：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.二、全等三角形判定2——“邊角邊”定理2：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點詮釋：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：1.這里的角，指的是兩組對應邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.三、全等三角形判定3——“角邊角”定理3：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.要點詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.四、全等三角形判定4——“角角邊”定理4：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點詮釋：由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.知識點、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應相等SASAASASA兩角對應相等ASAAAS兩邊對應相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構造全等三角形.3.三角形證全等思路知識點、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理5：在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“HL”）.要點詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.【經(jīng)典例題一用“SSS”證明三角形全等問題】【例1】（2022秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）畫的平分線的方法步驟是：①以O為圓心，適當長為半徑作弧，交于M點，交于N點；②分別以M、N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點C；③過點C作射線．射線就是的角平分線．請你說明這樣作角平分線的根據(jù)是（）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022春·四川雅安·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，則下列結論中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正確的個數(shù)為(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022秋·八年級課時練習）如圖，AB=AC，BE=CD，要使，依據(jù)SSS，則還需添加條件_______________．（填一個即可）3．（2023·全國·九年級專題練習）小明制作了一個平分角的儀器，如圖所示，其中，．現(xiàn)要利用該儀器平分、可將儀器上的點與的頂點重合，調整和，使它們落在的兩邊上，沿畫一條射線，則就是的平分線．請說明其道理．【經(jīng)典例題二全等的性質與“SSS”綜合問題】【例2】（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，按如下步驟操作：①以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于D，E兩點；②以點C為圓心，長為半徑作弧，交的延長線于點F；③以點F為圓心，長為半徑作弧，交②中所畫的弧于點G；④作射線，若，則為（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級期末）如圖，在和中，，，，，，與相交于點P，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，，，直線與，分別交于點，，且，，則的度數(shù)為___________．3．（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學考試）如圖，在中，點，點分別在邊，邊上，連接，．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【經(jīng)典例題三用“SAS”證明三角形全等問題】【例3】（2022秋·云南昭通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，E，F(xiàn)分別是和延長線上的點，且，連接，下列說法：①；②和面積相等；③；④；⑤．其中正確的有（

）A．1個 B．5個 C．3個 D．4個【變式訓練】1．（2022·浙江杭州·?？寄M預測）如圖，正五邊形中，，則的度數(shù)是（

）A．50° B．54° C．60° D．72°2．（2022秋·山東聊城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，．若，則的度數(shù)為__________．3．（2023春·七年級課時練習）如圖，點E在上，，且，連接并延長，交的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【經(jīng)典例題四全等的性質與“SAS”綜合問題】【例4】（2023春·全國·七年級專題練習）如圖所示，，，點、、在一條直線上，，，，則（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023秋·八年級單元測試）在中，是邊的中點，若，，則的中線長的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東佛山·七年級?？茧A段練習）如圖，，，，點P在線段上以的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段上由點B向點D運動．它們運動的時間為．設點Q的運動速度為，若使得與全等，x的值為_________．

3．（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）如圖1，，，三點在同一條直線上，點在線段上，點在線段上，且，，連接，．

(1)求證：；(2)寫出，和三者間的數(shù)量關系，并說明理由；(3)如圖2，，兩根長度相等的木棍固定在點處，．點在木棍上，點在木棍上，與是兩根皮筋，皮筋的端點，固定，改變皮筋端點，的位置，始終保持，且皮筋處于繃直狀態(tài)，若增加了，則_______（填“增加”或“減少”）_________度．【經(jīng)典例題五用“ASA(AAS)”證明三角形全等問題】【例5】（2022春·河南鄭州·七年級鄭州外國語中學?？计谀┬∶髟趯W習了全等三角形的相關知識后，發(fā)現(xiàn)了一種測量距離的方法，如圖，小明直立在河岸邊的O處，他壓低帽子帽沿，使視線通過帽沿，恰好落在河對岸的A處，然后轉過身，保持和刷才完全一樣的姿勢，這時視線落在水平地面的B處（A，O，B三點在同一水平直線上），小明通過測量O，B之間的距離，即得到O，A之間的距離．小明這種方法的原理是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022秋·湖北宜昌·八年級?？计谥校┤鐖D，有一塊邊長為4的正方形塑料模板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在點，兩條直角邊分別與交于點F，與延長線交于點E．則四邊形的面積是（）

A．4 B．6 C．10 D．162．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，，，，若添加一個條件（不再添加新的字母）后，能判定與全等，則添加的條件可以是______（寫出一個條件即可）．3．（2023·湖北黃石·黃石十四中校聯(lián)考模擬預測）如圖，，垂足分別為D，E．

(1)求證：；(2)若，求的長．【經(jīng)典例題六全等的性質與“ASA(AAS)”綜合問題】【例6】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）已知如圖：，且，于D，于D．，．連接，．則圖中陰影部分的面積為（

）．

A．5 B．6 C．9 D．10【變式訓練】1．（2023春·重慶大渡口·七年級重慶市第三十七中學校校考期中）如圖，在中，，和的平分線、相交于點O，交于點D，交于點E，若已知周長為20，，，則長為（

）A． B．3 C． D．42．（2023·山東淄博·?？级＃┤鐖D，點在內部，平分，且，連接．若的面積為，則的面積為______．

3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在中，，，過點C作直線，于點M，于點N．(1)若在外（如圖1），求證：；(2)若與線段相交（如圖2），且，，則．【經(jīng)典例題七用“HL”證明三角形全等問題】【例7】（2022春·七年級單元測試）下列說法中，不正確的個數(shù)有（

）①有一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個直角三角形全等；②有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等；③有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等；④斜邊和斜邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等．A．個 B．個 C．個 D．個【變式訓練】1．（2022·遼寧葫蘆島·八年級?？计谥校┤鐖D，CA⊥AB，垂足為點A，AB＝12米，AC＝6米，射線BM⊥AB，垂足為點B，動點E從A點出發(fā)以2米/秒沿射線AN運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED＝CB，當點E經(jīng)過t秒時，由點D、E、B組成的三角形與△BCA全等．請問t有幾種情況？（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種2．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，P、Q兩點分別在和過點A且垂直于的射線上運動，要使和全等，則______．3．（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，中，，，點為延長線上一點，點在上，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【經(jīng)典例題八全等的性質與“HL”綜合問題】【例8】（2022秋·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，于，于E，與交于點．有下列結論：①；②；③點在的平分線上；④點在的中垂線上．以上結論正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓練】1．（2021秋·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，，過A作，垂足為F，過A作，垂足為H，交的延長線于點G，連接．四邊形的面積為12，，則的長是(

)A．2 B．2.5 C．3 D．2．（2023春·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，有下列結論：①；②；③連接DE，則．其中正確的結論有______．

3．（2023春·山東棗莊·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，是過點的直線，于點，于點．(1)若，在直線的同側（如圖①所示），且，求證：①；②．(2)若，在直線的兩側（如圖②所示），且，其他條件不變，與垂直嗎？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．【經(jīng)典例題九靈活選用判定方法證全等】【例9】（2022秋·廣東東莞·八年級?？计谥校┫铝袟l件中，可以確定和全等的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式訓練】1．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）如圖，已知，則圖中全等的三角形有（

）對．A．3對 B．4對 C．5對 D．6對2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在和中，點B，E，C，F(xiàn)在同條一直線上，下列4個條件：，請你從中選3個條件作為題設，余下的1個條件作為結論，寫出一個真命題，則你選擇作為題設的條件序號為：______，作為結論的條件序號為：______．3．（2022秋·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）如圖，．(1)寫出與全等的理由；(2)判斷線段與的數(shù)量關系，并說明理由．【經(jīng)典例題十結合尺規(guī)作圖的全等問題】【例10】（2023春·全國·七年級專題練習）已知，按圖示痕跡作，得到．則在作圖時，這兩個三角形滿足的條件是（

）A． B．C． D．【變式訓練】1．（2022秋·八年級課時練習）已知銳角，如圖，（1）在射線上取點，，分別以點為圓心，，長為半徑作弧，交射線于點，；（2）連接，交于點．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結論錯誤的是（

）A． B．C．若，則 D．點在的平分線上2．（2022春·廣東揭陽·八年級?？茧A段練習）在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：畫一個，使，它的兩條邊分別等于兩條已知線段．小劉和小趙同學先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．那么小劉和小趙同學作圖確定三角形的依據(jù)分別是______；_______3．（2023春·七年級課時練習）如圖，已知同一平面內四個點A，B，C，D，請按要求完成下列問題：(1)畫直線AB，射線BD，連接AC；(2)在線段AC上求作點P，使得；（保留作圖痕跡）(3)過點P作直線l，使得；（保留作圖痕跡）(4)請在直線l上確定一點Q，使點Q到點C與點D的距離之和最短，并寫出畫圖的依據(jù)．【經(jīng)典例題十一與角平分線相關的全等證明問題】【例11】（2022秋·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知的面積為12，平分，且于點，連結，則的面積是（）A．10 B．8 C．6 D．4【變式訓練】1．（2021秋·全國·八年級階段練習）如圖，D為BAC的外角平分線上一點并且滿足BD＝CD，過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長線于F，則下列結論：①CDE≌BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠ABD＝∠BDE．其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022秋·廣東廣州·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，和的平分線、相交于點，交于點，交于點，過點作于點，則下列三個結論：①；②當時，；③若，，則．其中正確的是______．3．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，在正方形中，點、分別為邊、上兩點，．(1)若是的角平分線，求證：是的角平分線；(2)若，求證：．【經(jīng)典例題十二全等三角形的綜合問題】【例12】（2023春·廣東深圳·七年級深圳市海灣中學?？计谥校┤鐖D，交于M，交于D，交于N，，，，給出下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式訓練】1．（2023秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，梯形中，，E是的中點，平分，以下說法：①；②；③；④，其中正確的是（

）．A．①②④ B．③④ C．①②③ D．②④2．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點C在直線l上．點P從點A出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點B運動；點Q從B點出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點A運動．點P和Q分別以1單位/秒和2單位/秒的速度同時開始運動，在運動過程中，若有一點先到達終點時，該點停止運動，另一個點要繼續(xù)運動，直到兩點都到達相應的終點時整個運動才能停止．在某時刻，分別過P和Q作于點E，于點F，則點P的運動時間等于__________秒時，與全等．3．（2023春·廣東茂名·七年級?？茧A段練習）如圖（1），，，，垂足分別為A，B，．點P在線段上以的速度由點A向點B運動．同時，點Q在射線上運動．它們運動的時間為t（s）（當點P運動結束時，點Q運動隨之結束）．(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當時，①試說明．②此時，線段和線段有怎樣的關系，請說明理由．(2)如圖（2），若“，”改為“”，點Q的運動速度為，其他條件不變，當點P，Q運動到某處時，有和全等，求出此時的x，t的值．【重難點訓練】1．（2023秋·廣東梅州·八年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，對角線平分，下列結論中正確的是（）

A．B．C．D．與的大小關系不確定2．（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形ABCD中，F(xiàn)是對角線AC的中點，連接DF并延長交BC于點E，若，，，則四邊形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·廣東惠州·九年級校考開學考試）如圖所示，小語同學為了測量一幢樓高，在旗桿與樓之間選定一點P，測得與地面夾角，測得與地面夾角，量得點P到樓底的距離與旗桿的高度都是，量得旗桿與樓之間的距離，則樓高（）

A． B． C． D．4．（2023春·廣東深圳·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在和中，．在以下條件：①；②；③；④；⑤中，再選一個條件，就能使，共有（）選擇．A．2種 B．3種 C．4種 D．5種5．（2022秋·七年級單元測試）中，厘米，，厘米，點為的中點．如果點在線段上以厘米/秒的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．若點的運動速度為厘米/秒，則當與全等時，的值為（

）

A． B． C．或 D．或6．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，正方形的頂點在直線上，將直線向上平移線段的長得到直線，直線分別交，于點，．若求的周長，則只需知道(

)A．的長 B．的長 C．的長 D．DF的長7．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，中，，、是邊的中線，有；垂足為點E交于點D．且平分交于N．交于H．連接．則下列結論：①；②；③；④；錯誤的有（）個．A．0 B．1 C．3 D．48．（2022秋·福建龍巖·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，點是線段的中點，將一塊銳角為的直角三角板按如圖放置，使直角三角板斜邊的兩個端點分別與、重合，連接、，與交于點下列判斷正確的有（）①≌；②；③；④A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④9．（2023·湖北孝感·?？寄M預測）如圖，已知，垂足分別為、，、交于點，且，則圖中的全等三角形共有__對．10．（2019春·廣東揭陽·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，已知，過E作于F，且的三條角平分線交于點G，連接，則___________度．

11．（2022春·七年級單元測試）的角平分線交于點，過點作，交邊于點，，交邊所在的直線于點，若，則的長為_____