福建省福州市鼓樓區(qū)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

福建省福州市鼓樓區(qū)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.2．已知a>0，則當(dāng)取得最小值時，a值為（）A. B.C. D.33．為配制一種藥液，進行了二次稀釋，先在容積為40L的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出用水補滿，攪拌均勻，第二次倒出后用水補滿，若第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的60%，則V的最小值為（）A.5 B.10C.15 D.204．已知，且，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.5．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上存在兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．若，則的值為（）A. B.C. D.7．的值域是（）A. B.C. D.8．設(shè)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域為，則（）A. B.C. D.9．已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，那么原△ABC的面積為（）A. B.C. D.10．已知向量，，則與的夾角為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f（x－1）是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則________12．冪函數(shù)的圖像過點，則___________.13．已知sinα＋cosα＝，α∈(－π，0)，則tanα＝________.14．已知是第四象限角且，則______________.15．對數(shù)函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點，則此函數(shù)的解析式________16．已知扇形的圓心角為，半徑為，則扇形的面積為______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（1）若的定義域為R，求a的取值范圍；（2）若對恒成立，求a的取值范圍18．已知方程（1）若方程表示一條直線，求實數(shù)的取值范圍；（2）若方程表示的直線的斜率不存在，求實數(shù)的值，并求出此時的直線方程；（3）若方程表示的直線在軸上的截距為，求實數(shù)的值；（4）若方程表示的直線的傾斜角是45°，求實數(shù)的值19．已知向量（1）當(dāng)時,求的值；（2）若為銳角,求的范圍.20．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，（Ⅰ）求函數(shù)在R上的解析式；（Ⅱ）若，函數(shù)，是否存在實數(shù)m使得的最小值為，若存在，求m的值；若不存在，請說明理由21．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，且側(cè)面平面，點是的中點（1）求證:（2）若，求證:平面平面

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】由得畫出函數(shù)的圖象如圖所示，且當(dāng)時，函數(shù)的圖象以為漸近線結(jié)合圖象可得當(dāng)?shù)膱D象與直線有三個不同的交點，故若方程有三個不同的實數(shù)根，實數(shù)的取值范圍是．選A點睛：已知函數(shù)零點的個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決，如在本題中，方程根的個數(shù)，即為直線與圖象的公共點的個數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解.2、C【解析】利用基本不等式求最值即可.【詳解】∵a>0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選：C3、B【解析】依據(jù)題意列出不等式即可解得V的最小值.【詳解】由，解得則V的最小值為10.故選：B4、D【解析】對A，C利用特殊值即可判斷；對B，由對數(shù)函數(shù)的定義域即可判斷，對D，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對A，令，，則滿足，但，故A錯誤；對B，若使，則需滿足，但題中，故B錯誤；對C，同樣令，，則滿足，但，故C錯誤；對D，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故D正確.故選：D.5、C【解析】本題首先可根據(jù)方程存在兩個不同的實數(shù)根得出、，然后設(shè)，分為、兩種情況進行討論，最后根據(jù)對稱軸的相關(guān)性質(zhì)以及的大小即可得出結(jié)果.【詳解】因為方程存在兩個不同的實數(shù)根，所以，，解得或，設(shè)，對稱軸為，當(dāng)時，因為兩個不同實數(shù)根在區(qū)間上，所以，即，解得，當(dāng)時，因為兩個不同的實數(shù)根在區(qū)間上，所以，即，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.6、D【解析】，故選D.7、A【解析】先求得的范圍，再由單調(diào)性求值域【詳解】因，所以，又在時單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為，所以值域是，故選：A.8、B【解析】求出兩個函數(shù)的定義域后可求兩者的交集.【詳解】由得，由得，故，故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)的定義域和集合的交，函數(shù)的定義域一般從以下幾個方面考慮：（1）分式的分母不為零；（2）偶次根號（，為偶數(shù)）中，；（3）零的零次方?jīng)]有意義；（4）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不為1.9、C【解析】根據(jù)直觀圖的面積與原圖面積的關(guān)系為，計算得到答案.【詳解】直觀圖的面積，設(shè)原圖面積，則由，得.故選：C.【點睛】本題考查了平面圖形的直觀圖的面積與原面積的關(guān)系，三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】利用夾角公式進行計算【詳解】由條件可知，，，所以，故與的夾角為故選【點睛】本題考查了運用平面向量數(shù)量積運算求解向量夾角問題，熟記公式準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】由函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)及f（x－1）是奇函數(shù)得到函數(shù)的周期，進而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則有f（－x）＝f(x)，又f（x－1）是奇函數(shù)，則f（－x－1）＝－f（x－1），所以f（x＋2）＝f[－（x＋2）]＝f[－（x＋1）－1]＝－f[（x＋1）－1]＝－f(x)，即f（x＋2）＝－f(x)，則有f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則，，故故答案為：1.12、【解析】先設(shè)，再由已知條件求出，即，然后求即可.【詳解】解：由為冪函數(shù)，則可設(shè)，又函數(shù)的圖像過點，則，則，即，則，故答案為：.【點睛】本題考查了冪函數(shù)的解析式的求法，重點考查了冪函數(shù)求值問題，屬基礎(chǔ)題.13、.【解析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，求得和的值，可得的值.【詳解】因為sinα＋cosα＝，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝.因為α∈(－π，0)，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα－cosα＝，與sinα＋cosα＝聯(lián)立解得sinα＝－，cosα＝，所以tanα＝.故答案為：.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)恒等變換化簡求值問題，涉及到的知識點有同角三角函數(shù)關(guān)系式，在解題的過程中，注意這三個式子是知一求二，屬于簡單題目.14、【解析】直接由平方關(guān)系求解即可.【詳解】由是第四象限角，可得.故答案為：.15、【解析】將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出的值，由此可得出所求函數(shù)的解析式.【詳解】由已知條件可得，可得，因為且，所以，.因此，所求函數(shù)解析式為.故答案為：.16、【解析】∵扇形的圓心角為，半徑為，∴扇形的面積故答案為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）轉(zhuǎn)化為，可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為時，利用基本不等式對求最值可得答案【小問1詳解】由題意得恒成立，得，解得，故a的取值范圍為【小問2詳解】由，得，即，因為，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立故，a的取值范圍為18、（1）；（2）；；（3）；（4）.【解析】（1）先令，的系數(shù)同時為零時得到，即得時方程表示一條直線；（2）由（1）知時的系數(shù)為零，方程表示的直線的斜率不存在，即得結(jié)果；（3）由（1）知的系數(shù)同為零時，直線在軸上的截距存在，解得截距構(gòu)建關(guān)系，即解得參數(shù)m；（4）由（1）知，的系數(shù)為零時，直線的斜率存在，解得斜率構(gòu)建關(guān)系式，解得參數(shù)m.【詳解】解：（1）當(dāng)，的系數(shù)不同時為零時，方程表示一條直線令，解得或；令，解得或所以，的系數(shù)同時為零時，故若方程表示一條直線，則，即實數(shù)的取值范圍為；（2）由（1）知當(dāng)時，，方程表示的直線的斜率不存在，此時直線方程為；（3）易知且時，直線在軸上的截距存在.依題意，令，得直線在軸上的截距，解得所以實數(shù)的值為；（4）易知且時，直線的斜率存在，方程即，故斜率為.因為直線的傾斜角是45°，所以斜率為1，所以，解得所以實數(shù)的值為19、（1）x或x＝﹣2；（2）x＞﹣2且x【解析】（1）利用向量的數(shù)量積為零列出方程求解即可．（2）根據(jù)題意得?0且，不同向，列出不等式，即可求出結(jié)果【詳解】（1）2（1+2x，4），2（2﹣x，3），（2）⊥（2），可得（2x+1）（2﹣x）+3×4＝0即﹣2x2+3x+14＝0.解得：x或x＝﹣2（2）若，為銳角，則?0且，不同向?x+2＞0，∴x＞﹣2，當(dāng)x時，，同向∴x＞﹣2且x【點睛】本題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，考查向量夾角為銳角的充要條件，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在實數(shù)使得的最小值為【解析】Ⅰ根據(jù)奇函數(shù)的對稱性進行轉(zhuǎn)化求解即可Ⅱ求出的表達式，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，通過討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，判斷最小值是否滿足條件即可【詳解】Ⅰ若，則，∵當(dāng)時，且是奇函數(shù)，∴當(dāng)時，，即當(dāng)時，，則Ⅱ若，，設(shè)，∵，∴，則等價為，對稱軸為，若，即時，在上為增函數(shù)，此時當(dāng)時，最小，即，即成立，若，即時，在上為減函數(shù)，此時當(dāng)時，最小，即，此時不成立，若，即時，在上不單調(diào)，此時當(dāng)時，最小，即，此時在時是減函數(shù)，當(dāng)時取得最小值為，即此時不滿足條件綜上只有當(dāng)才滿足條件即存在存在實數(shù)使得最小值為【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，結(jié)合一元二次函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度21、（1）見解析；（2）見解析【解析】分析：（1）可根據(jù)為等腰三角形