數(shù)學(xué)分析專題選講-課程教學(xué)大綱

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse《數(shù)學(xué)分析專題選講》課程教學(xué)大綱一、課程基本信息

課程中文名稱:數(shù)學(xué)分析專題選講

課程英文名稱:SelectiveLecturesofMathematicAnalysis

課程類別:選修課

使用專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)

、計(jì)算與信息科學(xué)專業(yè)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等開設(shè)學(xué)時(shí)：24學(xué)時(shí)

使用年級(jí):2007級(jí)、2008級(jí)預(yù)修課程:數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)一并修課程:

課程簡(jiǎn)介:數(shù)學(xué)分析專題系統(tǒng)拓展和加深講授極限理論,函數(shù)的連續(xù)性,微分中值定理的及其應(yīng)用,一元函數(shù)積分學(xué),數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分,多元函數(shù)微分學(xué),函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分,多元函數(shù)積分學(xué)這八個(gè)專題的核心內(nèi)容.

建議教材:自編講義

參考書:

[1].毛羽輝編著《數(shù)學(xué)分析選論》,北京:科學(xué)出版社(第二版).

[2].胡小敏李承家編著《數(shù)學(xué)分析考研教案》,西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社(第二版).

[3].王戈平編《數(shù)學(xué)分析選講》,西安:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社.

[4].裘兆泰王承國(guó)章仰文編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)》,北京:科學(xué)出版社.

[5].孫本旺汪浩《數(shù)學(xué)分析中的典型例題和方法》,長(zhǎng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社.

[6].周中群主編《數(shù)學(xué)分析方法選講》,重慶:西南師范大學(xué)出版社.

[7].劉玉璉揚(yáng)奎元呂風(fēng)編《數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》(上),北京:高等教育出版社(第二版).

[8].劉玉璉揚(yáng)奎元呂風(fēng)編《數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》(下),北京:高等教育出版社(第二版).

[9].謝惠民惲自求易法槐錢定邊編《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》(上),北京:高等教育出版社.

[10].謝惠民惲自求易法槐錢定邊編《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》(下),北京:高等教育出版社.

[11].錢吉林編《數(shù)學(xué)分析解題精粹》,武漢:崇文書局.

[12].牟俊霖李青吉《洞穿考研數(shù)學(xué)》,北京:航空工業(yè)出版社.二、課程性質(zhì)、目的及總體要求

課程的基本特性:數(shù)學(xué)分析專題選講是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè),計(jì)算與信息科學(xué)專業(yè)重要的選修課,它是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)分析數(shù)學(xué)的分支和科學(xué)研究必不可少的專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)也可使其他理科專業(yè)學(xué)生進(jìn)一步了解微積分學(xué)知識(shí)，是報(bào)考對(duì)數(shù)學(xué)要求較高的碩士學(xué)位研究生同學(xué)的必修課程.課程的教學(xué)目標(biāo):該課程主要系統(tǒng)拓展和加深學(xué)習(xí)極限理論,函數(shù)的連續(xù)性,微分中值定理的及其應(yīng)用,一元函數(shù)積分學(xué),數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分,多元函數(shù)微分學(xué),函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分,多元函數(shù)積分學(xué)這八個(gè)專題的核心內(nèi)容.

課程的總體要求:通過本課程的學(xué)習(xí),主要要求學(xué)生系統(tǒng)拓展和加深極限理論,函數(shù)的連續(xù)性,微分中值定理的極其應(yīng)用,一元函數(shù)積分學(xué),數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分,多元函數(shù)微分學(xué),

函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分,多元函數(shù)積分學(xué)的基本技能、基本思想和方法,主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和科學(xué)研究的初步能力.三、章節(jié)教學(xué)內(nèi)容與要求（進(jìn)度表）

第一章極限理論的應(yīng)用(6學(xué)時(shí))

總的要求:極限理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)理論,它是學(xué)習(xí)微分理論、積分理論、級(jí)數(shù)理論等的奠基理論,極限理論的基本思想和方法貫穿于數(shù)學(xué)分析始終.在本章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)解決極限問題的若干基本方法.通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力。

重點(diǎn):Stolz定理的應(yīng)用、實(shí)數(shù)連續(xù)公理的應(yīng)用、柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用.

難點(diǎn):Stolz定理的應(yīng)用、實(shí)數(shù)連續(xù)公理的應(yīng)用、柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用.第一節(jié)

Stolz定理的應(yīng)用(2學(xué)時(shí))

1.深刻理解和掌握Stolz定理.

2.能較熟練應(yīng)用Stolz定理證明和解決極限的基本問題.第二節(jié)

實(shí)數(shù)連續(xù)公理的應(yīng)用(3學(xué)時(shí))

1.深刻理解和掌握實(shí)數(shù)連續(xù)公理.

2.能較熟練應(yīng)用實(shí)數(shù)連續(xù)公理證明和解決極限的基本問題.第三節(jié)

柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用(2學(xué)時(shí))

1.深刻理解和掌握柯西準(zhǔn)則.

2.能較熟練應(yīng)用柯西準(zhǔn)則證明和解決極限的基本問題.

第二章函數(shù)的連續(xù)性(2學(xué)時(shí))

總的要求:連續(xù)函數(shù)是一類最重要、性質(zhì)最好的函數(shù)之一,是數(shù)學(xué)分析的主要研究對(duì)象之一.在本章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等證明和解決問題的基本方法.通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力.

重點(diǎn):閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.

難點(diǎn):閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.第一節(jié)

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用(2學(xué)時(shí))

1.深刻理解和掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

2.能較熟練應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證明和解決基本問題.

第三章微分中值定理極其應(yīng)用(4學(xué)時(shí))

總的要求:微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中最基本的定理之一,它深刻揭示了閉區(qū)間上的函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,它是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的橋梁.在本章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)應(yīng)用微分中值定理和泰勒中值定理證明和解決問題的基本方法.通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力.

重點(diǎn)：微分中值定理的應(yīng)用、泰勒中值定理的應(yīng)用.

難點(diǎn)：微分中值定理的應(yīng)用、泰勒中值定理的應(yīng)用.

第一節(jié)

微分中值定理的應(yīng)用(2學(xué)時(shí))

1.深刻理解和掌握微分中值定理.

2.能較熟練應(yīng)用微分中值定理證明和解決基本問題.

第二節(jié)

泰勒中值定理的應(yīng)用(2學(xué)時(shí))

1.深刻理解和掌握泰勒中值定理.

2.能較熟練應(yīng)用泰勒中值定理證明和解決基本問題.

第四章一元函數(shù)積分學(xué)(4學(xué)時(shí))

總的要求:定積分與極限、積分中值定理(廣義積分中值定理)、積分等式與積分不等式是數(shù)學(xué)分析中一元函數(shù)積分學(xué)的三個(gè)重要的基本知識(shí)點(diǎn).在本章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)應(yīng)用定積分與極限證明和解決問題的基本方法;進(jìn)一步學(xué)習(xí)應(yīng)用積分中值定理(廣義積分中值定理證明)證明和解決問題的基本方法;進(jìn)一步學(xué)習(xí)積分等式與積分不等式的證明和應(yīng)用積分等式與積分不等式證明和解決問題的基本方法.通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力。

重點(diǎn)：定積分與極限、積分中值定理(廣義積分中值定理)、積分等式與積分不等式.

難點(diǎn)：定積分與極限、積分中值定理(廣義積分中值定理)、積分等式與積分不等式.第一節(jié)

定積分與極限(2學(xué)時(shí))

1.深刻理解和掌握定積分與極限的關(guān)系.

2.能較熟練應(yīng)用定積分與極限的關(guān)系證明和解決基本問題.第二節(jié)

積分中值定理(廣義積分中值定理)的應(yīng)用(1學(xué)時(shí))

1.深刻理解和掌握積分中值定理(廣義積分中值定理).

2.能較熟練應(yīng)用積分中值定理(廣義積分中值定理)證明和解決基本問題.第三節(jié)

積分等式與積分不等式(1學(xué)時(shí))

1.能較熟練的證明一些積分等式與積分不等式.

2.能較熟練應(yīng)積分等式與積分不等式證明和解決基本問題.

第五章

數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分(4學(xué)時(shí))

總的要求:數(shù)值級(jí)數(shù)斂散性的判定是級(jí)數(shù)的最基本的問題之一,無窮積分?jǐn)可⑿缘呐卸ㄊ菬o窮積分的最基本的問題之一,數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分有密切的聯(lián)系.在本章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)值級(jí)數(shù)斂散性的判定及數(shù)值級(jí)數(shù)中證明問題的基本方法;進(jìn)一步學(xué)習(xí)無窮積分?jǐn)可⑿缘呐卸ǖ幕痉椒?進(jìn)一步將無窮數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分作對(duì)比學(xué)習(xí)研究.通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力.

重點(diǎn)：數(shù)值級(jí)數(shù)的斂散性、無窮積分的斂散性、數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分的關(guān)系.

難點(diǎn)：數(shù)值級(jí)數(shù)的斂散性、無窮積分的斂散性、數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分的關(guān)系.

第一節(jié)

數(shù)值級(jí)數(shù)的斂散性的判定及證明問題(2學(xué)時(shí))

1.能熟練應(yīng)用數(shù)值級(jí)數(shù)的基本判別法等證明和解決基本問題.

2.深刻理解和掌握數(shù)值級(jí)數(shù)的狄利克雷(Dirichelet)判別法、阿貝爾(Abel)判別法、拉貝(Raabe)判別法.

3.能較熟練應(yīng)用數(shù)值級(jí)數(shù)的狄利克雷(Dirichelet)判別法、阿貝爾(Abel)判別法、拉貝(Raabe)判別法等證明和解決一些基本問題.

第二節(jié)

無窮積分的的斂散性的判定(1學(xué)時(shí))

1.能熟練應(yīng)用無窮積分的基本判別法等證明和解決基本問題。

2.深刻理解和掌握無窮積分的狄利克雷(Dirichelet)判別法、阿貝爾(Abel)判別法

3.能較熟練應(yīng)用無窮積分的狄利克雷(Dirichelet)判別法、阿貝爾(Abel)判別法等證明和解決一些基本問題。第三節(jié)

無窮數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分比較學(xué)習(xí)研究(1學(xué)時(shí))

1.能深刻理解和掌握無窮數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分的內(nèi)在聯(lián)系和內(nèi)涵,使兩者相通.

第六章多元函數(shù)微分學(xué)(4學(xué)時(shí))

總的要求:多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別,.在此章中,主要進(jìn)一步將多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)作一個(gè)對(duì)比學(xué)習(xí)研究,主要討論研究多元函數(shù)與一元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)存在(可導(dǎo))、可微等基本關(guān)系,進(jìn)一步學(xué)習(xí)應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)的基本知識(shí)證明和解決問題的基本方法.同時(shí),將進(jìn)一步學(xué)習(xí)應(yīng)用隱函數(shù)的基本理論研究多元函數(shù)取條件極值的充分條件.通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力。

重點(diǎn)：多元函數(shù)與一元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)存在(可導(dǎo))、可微、多元函數(shù)取條件極值的充分條件.

難點(diǎn)：多元函數(shù)與一元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)存在(可導(dǎo))、可微、多元函數(shù)取條件極值的充分條件.第一節(jié)

多元函數(shù)與一元函數(shù)的連續(xù)(1學(xué)時(shí))

1.深刻理解和掌握多元函數(shù)與一元函數(shù)的連續(xù)的概念、區(qū)別與聯(lián)系.

2.能較熟練討論多元函數(shù)與一元函數(shù)連續(xù)的基本問題.第二節(jié)

多元函數(shù)與一元函數(shù)的偏導(dǎo)存在(可導(dǎo))與可微(1學(xué)時(shí))

1.深刻理解和掌握多元函數(shù)與一元函數(shù)的偏導(dǎo)存在(可導(dǎo))與可微的概念、區(qū)別與聯(lián)系.

2.能較熟練討論多元函數(shù)與一元函數(shù)的偏導(dǎo)存在(可導(dǎo))與可微的一些基本問題.第三節(jié)

多元函數(shù)取條件極值的充分條件1.深刻理解和掌握多元函數(shù)取條件極值的充分條件.

2.能較熟練討論多元函數(shù)取條件極值的一些基本問題.

第七章

函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分(4學(xué)時(shí))

總的要求:函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂與和函數(shù)的分析性質(zhì)是函數(shù)級(jí)數(shù)的最基本的問題,含參變量的無窮積分的一致收斂與積分函數(shù)的分析性質(zhì)是含參變量的無窮積分最基本的問題,函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分有密切的聯(lián)系.在此章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂的判定及應(yīng)用函數(shù)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)證明問題的基本方法;進(jìn)一步學(xué)習(xí)含參變量的無窮積分的一致收斂的判定及應(yīng)用含參變量的無窮積分的積分函數(shù)的分析性質(zhì)證明問題的基本方法;進(jìn)一步將函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分作對(duì)比學(xué)習(xí)研究.通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力.

重點(diǎn)：函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂和和函數(shù)的分析性質(zhì)、含參變量的無窮積分的一致收斂和積分函數(shù)的分析性質(zhì)、函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分的關(guān)系.

難點(diǎn)：函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂和和函數(shù)的分析性質(zhì)、含參變量的無窮積分的一致收斂和積分函數(shù)的分析性質(zhì)、函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分的關(guān)系.第一節(jié)

函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂與和函數(shù)的分析性質(zhì)

1.能熟練應(yīng)用函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的基本判別法等證明和解決基本問題。

2.深刻理解和掌握函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的狄利克雷(Dirichelet)判別法、阿貝爾(Abel)判別法、狄尼(Dini)判別法

3.能較熟練應(yīng)用函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的狄利克雷(Dirichelet)判別法、阿貝爾(Abel)判別法、狄尼(Dini)判別法等證明和解決一些基本問題。

4.能較熟練應(yīng)用無窮函數(shù)級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)證明和解決基本問題第二節(jié)

含參變量無窮積分一致收斂與積分函數(shù)的分析性質(zhì)1.能熟練應(yīng)用含參變量無窮積分一致收斂的基本判別法等證明和解決基本問題。

2.深刻理解和掌握含參變量無窮積分的一致收斂的狄利克雷(Dirichelet)判別法、阿貝爾(Abel)判別法

3.能較熟練應(yīng)用含參變量無窮積分的一致收斂的狄利克雷(Dirichelet)判別法、阿貝爾(Abel)判別法等證明和解決一些基本問題。

4.能較熟練應(yīng)用含參變量無窮積分的分析性質(zhì)證明和解決基本問題第三節(jié)

無窮函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量無窮積分的比較學(xué)習(xí)研究1.能深刻理解和掌握函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂與含參變量的無窮積分的一致收斂的內(nèi)在聯(lián)系和內(nèi)涵,使兩者相通.

2.能深刻理解和掌握函數(shù)級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性與含參變量無窮積分積分函數(shù)的分析性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系和內(nèi)涵,使兩者相通.

第八章

多元函數(shù)積分學(xué)(4學(xué)時(shí))

總的要求:多元函數(shù)積分學(xué)主要包括二重積分與三重積分、第一型曲線積分(平面和空間)與第二型曲線積分(平面和空間)、第一型曲面積分與第二型曲面積分.在此章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)計(jì)算二重積分與三重積分、第一型曲線積分(平面和空間)與第二型曲線積分(平面和空間)、第一型曲面積分與第二型曲面積分基本技能;.通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生綜合計(jì)算能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力.

重點(diǎn)：二重積分與三重積分、第一型曲線積分(平面和空間)與第二型曲線積分(平面和空間)、第一型曲面積分與第二型曲面積分.

難點(diǎn)：二重積分與三重積分、第一型曲線積分(平面和空間)與第二型曲線積分(平面和空間)、第一型曲面積分與第二型曲面積分.第一節(jié)

二重積分與三重積分1.深刻理解和掌握二重積分與三重積分的代換(一般代換、廣義極坐標(biāo)代換、廣義柱面坐標(biāo)代換、廣義球坐標(biāo)代換).

2.能熟練應(yīng)用二重積分與三重積分的代換(一般代換、廣義極坐標(biāo)代換、廣義柱面坐標(biāo)代換、廣義球面坐標(biāo)代換)計(jì)算、證明和解決基本問題.

3.能熟練地根據(jù)的被積函數(shù)和積分區(qū)域的特征計(jì)算二重積分與三重積分.第二節(jié)

曲線積分與格林公式和斯托克斯公式1.能熟練地根據(jù)被積函數(shù)和積分曲線的特征應(yīng)用格林公式和撕托克斯公式計(jì)算曲線積分.

2.能熟練