關(guān)于實(shí)二次型化零向量的一些思考

關(guān)于實(shí)二次型化零向量的一些思考戴培培1楊忠鵬1林志興1嚴(yán)劍龍2郭文靜3嚴(yán)益水2莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系2.福建師范大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院3.廈門大學(xué)數(shù)科院莆田學(xué)院教改項(xiàng)目(JG200712、JG200820)二次型是高等代數(shù)教學(xué)中一個(gè)很重要的內(nèi)容。在各種教材中已詳細(xì)的介紹了二次型的各種性質(zhì)及結(jié)論，如任意實(shí)數(shù)域上的二次型均可通過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換將其化成規(guī)范形，且規(guī)范形唯一?，F(xiàn)在我們利用這一結(jié)論來討論實(shí)二次型化零向量的問題。1問題的提出在各個(gè)高校使用的高等代數(shù)教材中，一般會(huì)出現(xiàn)這樣一個(gè)問題：問題1[1,2,4]設(shè)是一實(shí)二次型.若有實(shí)維向量,使得,則一定存在實(shí)維向量,使得.問題2[2,4]設(shè)為級實(shí)對稱矩陣,與為兩個(gè)線性無關(guān)的維向量,，則存在兩個(gè)與線性相關(guān)的維向量，而線性無關(guān)，且問題3[1,4]設(shè)二次型的秩為,則在中,存在維數(shù)為的子空間,則對任一向量,有,其中為二次型的符號差.更一般的情形，設(shè)二次型的秩為,則在中,存在維數(shù)為的子空間,則對任一向量,有,其中為二次型的符號差.問題4[3]設(shè)是一實(shí)二次型,存在維向量，一定存在實(shí)維向量,使得說明（1）這是本科高等代數(shù)課程中的基本訓(xùn)練題，基本涵蓋二次型的一些方法，也可以用來測試學(xué)生二次型部分的知識掌握情況。（2）問題1說明了化零向量的存在，問題2說明了至少存在兩個(gè)化零向量,且線性無關(guān)，問題3說明了存在一個(gè)維數(shù)為的化零子空間,這三個(gè)問題一個(gè)比一個(gè)深入。問題4說明了二次型具有介值性。（3）問題1，2中的A是不定矩陣，而問題3,4對一般的不可逆矩陣也成立。并且結(jié)論具有很好的代數(shù)結(jié)構(gòu)。（4）上述問題也可從分析的角度考慮，即多元連續(xù)實(shí)函數(shù)。意義二次型作為高等代數(shù)的有機(jī)組成部分，要求我們教學(xué)時(shí)要挖掘內(nèi)容之間的聯(lián)系，逐漸深入研究，課堂內(nèi)外有機(jī)結(jié)合，有意識有目的地訓(xùn)練學(xué)生探究問題的能力，既幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識又能拓展他們的視野。2問題的解決定義1設(shè)是一實(shí)二次型,若存在有,使得,則稱為二次型的化零向量.定義2設(shè)可逆矩陣,使得，實(shí)二次型化成規(guī)范形如果,若中的非零元素為1或-1,非零元的個(gè)數(shù)不超過2，且有,則稱為的基本化零向量.關(guān)于二次型方程的解我們有如下定義：定義3對給定實(shí)數(shù),滿足的向量稱為的解向量.問題1，2都可利用二次型的基本化零向量來解決。問題3通過選取基本化零向量作為基同樣可得。在該問題證明的教學(xué)過程中又衍生出下列問題：問題5二次型的化零子空間是否唯一？問題6二次型全體化零向量所構(gòu)成的集合是否構(gòu)成線性空間?問題7二次型的化零向量的構(gòu)造是否是唯一的？結(jié)論1題設(shè)與問題3相同,是問題3中的化零空間,則還存在另外一個(gè)化零子空間且.結(jié)論2二次型的秩為,則在中,存在維數(shù)為的化零子空間.結(jié)論1，2的中的化零子空間可以通過選取基本化零向量作為基決定，同樣發(fā)現(xiàn)存在任一維數(shù)小于的化零子空間。且化零子空間的維數(shù)不超過。結(jié)論3設(shè)實(shí)二次型的秩為,分別為的正負(fù)慣性指數(shù),則有個(gè)線性無關(guān)的基本化零向量.結(jié)論4設(shè)實(shí)二次型的秩為,則的全部基本化零向量未必能構(gòu)成線性空間.若A是不定的，則全部化零向量不能構(gòu)成線性空間；若A是半正定或半負(fù)定時(shí)，全體化零向量構(gòu)成的維數(shù)為的子空間.我們知道有這樣的二維勾股數(shù)，也有三維、四維勾股數(shù)（見[5]）,因此化零向量有另一種取法（分量之間的關(guān)系滿足勾股定理）。所以化零向量的構(gòu)造不是唯一的,具有多樣性，需要我們不斷地探索.這部分的內(nèi)容在各個(gè)教材中基本都當(dāng)做習(xí)題來解決，若是教師能在課堂上提出這個(gè)問題，學(xué)生在課后可以自己去補(bǔ)充完成證明，讓他們對二次型有更深刻的理解，亦可拓展他們的思維空間.3問題的延伸在對二次型化零向量的集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)的討論的基礎(chǔ)上，又查閱了劉先平所寫的《關(guān)于二次型的介值性》[3],其中主要證明了介值定理的存在性。命題1是一實(shí)二次型,若有維向量,若為介于與的任意實(shí)數(shù),一定存在實(shí)維向量.定理1設(shè)是一實(shí)二次型,存在維向量則的解向量存在但不唯一,且的全部解向量不構(gòu)成線性空間.例1設(shè)是一實(shí)二次型,而且是不定矩陣，存在實(shí)n維向量使得,其中.例2設(shè)是一實(shí)二次型,而且是正定矩陣，存在實(shí)n維向量使得,其中.例3設(shè)是一實(shí)二次型，而且是負(fù)定矩陣，存在實(shí)n維向量使得，其中.4一些結(jié)論結(jié)論5若A是正定矩陣，B是負(fù)定矩陣，則存在實(shí)數(shù)k，，使得結(jié)論6若A是正定矩陣，B是負(fù)定矩陣，則對于任意，存在實(shí)數(shù)k，，使得參考文獻(xiàn)[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組(第二版).高等代數(shù)[M].高等教育出版社:118-277.[2]李師正,張玉芬等.高等代數(shù)解題方法與技巧(第1版)[M].高等教育出版社,2004:200.[3]劉先平.關(guān)于二次型的介值性[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào),