小學數(shù)學五年級思維奧數(shù)寒假講義-第5講 排列問題（教師版）

第5講排列問題【知識梳理】排列問題在實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構成一列，計算有多少種排法，就是排列問題．在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關，而且與各事物所在的先后順序有關．一般地，從個不同的元素中取出()個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同．如果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．排列的基本問題是計算排列的總個數(shù)．從個不同的元素中取出()個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同的元素的排列中取出個元素的排列數(shù)，我們把它記做．根據(jù)排列的定義，做一個元素的排列由個步驟完成：步驟：從個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有種方法；步驟：從剩下的()個元素中任取一個元素排在第二位，有()種方法；……步驟：從剩下的個元素中任取一個元素排在第個位置，有(種)方法；由乘法原理，從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)是，即，這里，，且等號右邊從開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小，共有個因數(shù)相乘。排列數(shù)一般地，對于的情況，排列數(shù)公式變?yōu)椋硎緩膫€不同元素中取個元素排成一列所構成排列的排列數(shù)．這種個排列全部取出的排列，叫做個不同元素的全排列．式子右邊是從開始，后面每一個因數(shù)比前一個因數(shù)小，一直乘到的乘積，記為，讀做的階乘，則還可以寫為：，其中．【典例精講】計算：⑴；⑵．【答案】⑴⑵【解析】由排列數(shù)公式知：⑴⑵,，所以計算：⑴；⑵．【答案】⑴⑵【解析】⑴⑵．有4個同學一起去郊游，照相時，必須有一名同學給其他3人拍照，共可能有多少種拍照情況？(照相時3人站成一排)【答案】【解析】由于人中必須有一個人拍照，所以，每張照片只能有人，可以看成有個位置由這人來站．由于要選一人拍照，也就是要從四個人中選人照相，所以，問題就轉化成從四個人中選人，排在個位置中的排列問題．要計算的是有多少種排法．由排列數(shù)公式，共可能有：(種)不同的拍照情況．也可以把照相的人看成一個位置，那么共可能有：(種)不同的拍照情況．4名同學到照相館照相．他們要排成一排，問：共有多少種不同的排法？【答案】24【解析】個人到照相館照相，那么個人要分坐在四個不同的位置上．所以這是一個從個元素中選個，排成一列的問題．這時，．由排列數(shù)公式知，共有(種)不同的排法．6名小朋友站成一排，若兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法？若兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？【答案】A、B相鄰共240種；A、B不相鄰共480種【解析】排列之捆綁法：若A、B兩人必須站在一起，那么可以用“捆綁”的思想考慮，甲和乙兩個人占據(jù)一個位置，但在這個位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法總數(shù)為QUOTEA22×A55A、B兩個人不能相鄰與A、B兩個人必須相鄰是互補的事件，因為不加任何條件的站法總數(shù)為QUOTEA66=720（種），所以A、B兩個人不能相鄰的站法總數(shù)為720-240=480（種）．將A、B、C、D、E、F、G七位同學在操場排成一列，其中學生B與C必須相鄰．請問共有多少種不同的排列方法？【答案】1440種【解析】（法）七人排成一列，其中要與相鄰，分兩種情況進行考慮．若站在兩端，有兩種選擇，只有一種選擇，另五人的排列共有種，所以這種情況有種不同的站法．若站在中間，有五種選擇，無論在中間何處，都有兩種選擇．另五人的排列共有種，所以這種情況共有種不同的站法．所以共有種不同的站法．（法）由于與必須相鄰，可以把與當作一個整體來考慮，這樣相當于個元素的全排列，另外注意、內部有種不同的站法，所以共有種不同的站法.在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號．如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號？【答案】6【解析】方法一：這里三面不同顏色的旗子就是三個不同的元素，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號，也就是從三個元素中選三個的全排列的問題．由排列數(shù)公式，共可以組成(種)不同的信號．方法二：首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個，有種方法；其次，確定中間位置的旗子，當最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有種方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根據(jù)乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數(shù)是：(種)．【補充說明】這個問題也可以用乘法原理來做，一般，乘法原理中與順序有關的問題常?？梢杂门帕袛?shù)公式做，用排列數(shù)公式解決問題時，可避免一步步地分析考慮，使問題簡化．有紅、黃、藍三種信號旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號，問共可以組成多少種不同的信號？【答案】6【解析】．【能力提升】用2、3、5、7、9可以組成多少個沒重復數(shù)字且百位不為3的三位數(shù)？【答案】48個【解析】（法1）本題中要注意的是3不能放在百位，因此，百位上的數(shù)字只能從2、5、7、9這四個數(shù)字中選擇一個，有4種方法；十位和個位上的數(shù)字可以從余下的個數(shù)字中任選兩個進行排列，有種方法．由乘法原理得，此種三位數(shù)的個數(shù)是：(個)．（法2）：從2、3、5、7、9中任選三個數(shù)字進行排列，再減去其中不合要求的，即百位是的．從2、3、5、7、9這五個數(shù)字中任選三個數(shù)字的排列數(shù)為，其中百位是3的三位數(shù)有個．三位數(shù)的個數(shù)是：(個)．本題不是簡單的全排列，有一些其它的限制，這樣要么先全排列再剔除不合題意的情況，要么直接在排列的時候考慮這些限制因素．【課后鞏固】計算：；【答案】【解析】2.計算：【答案】【解析】．3.有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？【答案】60【解析】這里五面不同顏色的小旗就是五個不同的元素，三面小旗表示一種信號，就是有三個位置．我們的問題就是要從五個不同的元素中取三個，排在三個位置的問題．由于信號不僅與旗子的顏色有關，而且與不同旗子所在的位置有關，所以是排列問題，且其中，．由排列數(shù)公式知，共可組成(種)不同的信號．4.由數(shù)字0，1，3，9可以組成多少個無重復數(shù)字的三位自然數(shù)？【答案】18【解析】（法）本題中要注意的是不能為首位數(shù)字，因此，百位上的數(shù)字只能從1,3,9這三個數(shù)字中選擇一個，有3種方法；十位和個位上的數(shù)字可以從余下的3個數(shù)字中任選兩個進行排列，有種方法．（法）：從、、、9中任選三個數(shù)字進行排列，再減去其中不合要求的，即首位是的．從、、、9這五個數(shù)字中任選三個數(shù)字的排列數(shù)為，其中首位是的三位數(shù)有個．三位數(shù)的個數(shù)是：(個)．本題不是簡單的全排列，有一些其它的限制，這樣要么先全排列再剔除不合題意的情況，要么直接在排列的時候考慮這些限制因素．5.班集體中選出了5名班委，他們要分別擔任班長，學習委員、生活委員、宣傳委員和體育委員．問：有多少種不同的分工方式？【答案】120種【解析】(種)．6.由，，，，，組成無重復數(shù)字的數(shù)，四位數(shù)有多少個？【答案】300【解析】方法一：先考慮從六個數(shù)字中任取四個數(shù)字的排列數(shù)為，由于不能在千位上，而以為千位數(shù)的四位數(shù)有，它們的差就是由，，，，，組成無重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)，即為：個．方法二：完成這件事——組成一個四位數(shù)，可分為個步驟進行，第一步：確定千位數(shù)；第二步：確定百位數(shù)；第三步：確定十位數(shù)；第四步：確定個位數(shù)；這四個步驟依次完成了，“組成一個四位數(shù)”這件事也就完成了，從而這個四位數(shù)也完全確定了，思維過程如下：根據(jù)乘法原理，所求的四位數(shù)的個數(shù)是：(個)．7.一列往返于北京和上海方向的列車全程?？總€車站(包括北京和上海)，這條鐵路線共需要多少種不同的車票．【答案】182種【解析】(種)．8.4個男生2個女生6人站成一排合影留念，有多少種排法？【答案】【解析】4男2女6人站成一排相當于6個人站成一排的方法，可以分為六步來進行，第一步，確定第一個位置的人，有6種選擇；第二步，確定第二個位置的人，有5種選擇；第三步，排列第三個位置的人，有4種選擇，依此類推，第六步，最后一個位置只有一種選擇．根據(jù)乘法原理，一共有種排法．9.4男2女6個人站成一排合影留念，要求2個女的緊挨著有多少種不同的排法？【答案】240種【解析】排列之捆綁法：分為三步：第一步：4個男得先排，一共有種不同的排法；第二步：2個女的排次序一共有2種方法；第三步：將排完次序的兩名女生插到排完次序的男生中間，一共有5個位置可插．根據(jù)乘法原理，一共有種排法．10.停車站劃出一排個停車位置，今有輛不同的車需要停放，若要求剩余的個空車位連在一起，一共有多少種不同的停車方案?【答案】362880【解析】把個空車位看成一個整體，與輛車一塊進行排列，這樣相當于個元素的全排列，所以共有．【小測驗】幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐