江西省宜春市宜豐縣宜豐中學2023-2024學年高二上學期12月月考數學試題

江?省宜豐中學

20232024

（上）創(chuàng)新部??

12?考試數學試卷?單選（本題共8?題，每?題5分，共0分．在每?題給出的四個選項中，只有?項是符合題?要求的），1.橢圓 ： 的左右焦點分別是 ， P，

在橢圓

上，且 ，則 （ ）A.7 B.6 C.5 D.42. 直線 平分圓

：C，則 （ ）：B.1 C.33. 1 2

3 4 5

兩位數中任取?個，則這個兩位數?于40的個數是（ ）從由，

，，，

組成的沒有重復數字的A.6 B.8 C.10 D.124.已知雙曲線

C： ，且C，則C的?程為（ ）A B. C. D.數5.在四?體 中，點E滿?F為BE的中點，且 則實 λ=數（ ）A B. C. D.如圖所示

，， D

E ，相鄰部分不能?同?種顏?，但同五部分五部分著??種顏?可以反復使?，也可不使?，則復合這些要求的不同著?的?法共有（ ）AABCDEA.500種

B.520種

C.540種

D.560種7.已知圓

與雙曲線 ，若在雙曲線 上存在?點 ，使得過點 所作的圓 的兩條切線，切點為 、，且 ，則雙曲線 的離?率的取值范圍是（ ）B.D.8.3中，）A.當時，B.當時，點到平?的距離為1C.直線與 所成的?可能是若??? 的平??的正弦值為

，則 或(? 多選題本題共

4?題，每?題5分，共20分.

每?題給出的四個選項中，有多項符合在題?要求，全部選對得5分，部分選對得2分，錯選0分)在9. C 下列四個結論中正確的是（ ）已知?程 表示的曲線為，則A.當時，曲線C是橢圓B.當或時，曲線C是雙曲線C若曲線C若曲線

x是焦點在y是焦點在

軸上的橢圓，則軸上的雙曲線，則10.A.B.

給出下列命題，其中正確的是（ ）若空間向量，，且 ，則實數若 ，則存在唯?的實數 ，使得C.若空間向量

， ，則向量在向量上的投影向量是D.

點關于平?對稱的點的坐標是，越來越多的學校紛紛引進各類急救設備.

5個不同顏?清融城中個不同顏?校園師?安全重于泰?的?動體外除顫器（簡稱AED

福，則下?正確的是（ ）A.從B.從C.把D.把12.

）5個AED中隨機取出3個，共有10種不同的取法5個AED中選3個分別給3位教師志愿者培訓使?，每?1個，共有60種選法5個AED安放在宿舍、教學樓、體育館三個不同的地?，共有129種?法5個AED安放在宿舍、教學樓、體育館三個不同 地?，每個地??少放?個，共有150種?法?明同學在完成教材橢圓和雙曲線的相關內容學習后常數的點的軌跡是什么呢？?具備哪些性質呢？?師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上法國“ 天?學家卡?尼在研究?星及其衛(wèi)星的運?規(guī)律時發(fā)現的，這類曲線被稱為卡?尼卵形線下，?明決定先從特殊情況開始研究，假設是平?直?坐標系xOy內的兩個定點，滿?的動點

P的軌跡為曲線

C，從?得到以下4個結論，其中正確結論的為（ ）C曲線P動點

既是軸對稱圖形，?是中?對稱圖形的橫坐標的取值范圍是的取值范圍是的?積的最?值為三填空題（本題共4?題，每?題5分，共0分） .13.已知點 在圓 的外部，則k的取值范圍是14. 4 的展開式的第 項為 ．15.設常數

．如圖在矩形 中， 平? ．若線段 上存在點 ，使得 ，則的取值范圍是 ．16.在空間直?坐標系中，若?條直線經過點 ，且以向量 為?向向量，. l則這條直線可以??程 來表示已知直線

的?程為 ，則l到直線

.的距離為四 解答題

（本題共6?題，其中17題10分，18~22每題12分，共70分）17.1

已知直線

.的?程；（）若直線過點（）若直線.18.如圖，在直三棱柱中， ， ， ， 分別為， 的中點．1 ： 平?；（）求證2 與平? 所成?的余弦值．（19.

）求直線

，拋物線上?點 橫坐標為3

且點 到焦點 的距離為4.已知拋物線 的焦點為 ，1 ；（）求拋物線 的?程（）過點作直線交拋物線于點.1 4 2

6個?排成?排照相，其中兩個??相鄰排法種數為多少？2 8個體育?名額，分配給5個班級，每班?少1個名額，有多少種分法？（）3 ?份有4個不同的朗誦節(jié)?和3個不同的說唱節(jié)?的節(jié)?單，如果說唱節(jié)?不排在開頭，并且任（）要排意兩個說唱節(jié)?不排在?起，則不同的排法種數為多少？4 7 ，其中3名?醫(yī)?，有外科醫(yī)?5名，其中只有1名?醫(yī)?．現選派6名去甲、（）某醫(yī)院有內科醫(yī)? 名?兩地參加賑災醫(yī)療隊，要求每隊必須2名男醫(yī)?1名?醫(yī)?，且每隊由2名外科醫(yī)?1名內科醫(yī)?組成，有多少種派法？（最后結果都?數字作答）21. 在直?梯形 中， ， ， 沿翻折，使得平? 平? （如圖②．1 ：；（）求證2 上是否存在點與平? 所成的?為（）在線段存在，請說明理由．22.1

已知橢圓

（ ）的離?率為 ，?個焦點為 .；（）求橢圓 的?程2 （ x軸交于點 ， 為線（為原點段 的中點，點關于軸的對稱點為. 是等腰直?三? .明 明 形江?省宜豐中學

20232024

（上）創(chuàng)新部??

12?考試數學試卷?單選（本題共8?題，每?題5分，共0分．在每?題給出的四個選項中，只有?項是符合題?要求的），1.橢圓 ： 的左右焦點分別是 ， P，

在橢圓

上，且 ，則 （ ）A.7 B.6 C.5 D.4D【答案】【解析】.【分析】求出橢圓的?軸?，根據橢圓的定義，即可求得答案【詳解】由題意知橢圓 ： 的?軸?為 ，P? 在橢圓D

上，，故，故選：2. 直線 平分圓

：C，則 （ ）：B.1 C.3D【答案】【解析】.【分析】求出圓?，結合圓?在直線上，代?求值即可【詳解】變形為，故圓?為，由題意得圓?在上，故 ，解得 .D故選：3. 1 2

3 4 5

兩位數中任取?個，則這個兩位數?于40的個數是（ ）從由，

，，，

組成的沒有重復數字的A.6 B.8 C.10 D.12B【答案】【解析】【分析】數字排列問題，根據符合題意的要求選取?位數為4或5

個位數不重復則在剩余的4個數字?選，果擇1個，即可計算結 .果【詳解】這個兩位數?于40的個數為．B故選：．4.已知雙曲線

C： ，且C，則C的?程為（ ）A B.C. D.B【答案】【解析】.【分析】利?待定系數法即可得解C ，【詳解】因為雙曲線C

的漸近線?程為，所以可設 的?程為把點 的坐標代?得 ，C 所以 的?程為B.

，即 .故選：5.

，點E滿?F為BE的中點，且 則實 λ=數在四?體 中數（ ）B.C. D【答案】【解析】.【分析】由空間向量線性和基本定理運算可解F BE?所以，由?所以，由得

的中點，得即 所以D故選：如圖所示

，， D

E ，相鄰部分不能?同?種顏?，但同五部分著??種顏?可以反復使?，也可不使?，則復合這些要求的不同著?的?法共有五部分著?AABCDEA.500種C

B.520種

C.540種

D.560種【答案】【解析】【分析】由于規(guī)定?個區(qū)域只涂 B區(qū)· ?種顏?，相鄰的區(qū)域顏?不同，可分步進?，區(qū)域A有5種涂法，.有 種涂法

E 3 ，根據乘法原理即可【詳解】先涂

A A 5，則 有

種涂法，再涂B，因為B與A相鄰，所以B的顏?只要與A不同即可，有4種涂法同理 有

D 3種涂法

3，有 種涂法，由分步乘法計數原理可知，復合這些要求的不同著?的?法共有為5×4×3×3×3

540＝C.故選：7.已知圓

與雙曲線 ，若在雙曲線 上存在?點 ，使得過點 所作的圓 的兩條切線，切點為 、，且 ，則雙曲線 的離?率的取值范圍是（ ）B.D.B【答案】【解析】【分析】連接 、 、 ，則 ， ，設點 ，則，分析可得圍，可得出的取值范圍，由可求得的取值范 .圍【詳解】連接 、 、 ，則 ， ，由切線?定理可由切線?定理可知，，?因為 ， ，所以， ，所以，，則 ，設點 ，則，且 ，所以，，所以，，B.故選：8.3中，）A時，B.當時，點到平?的距離為1C.直線與 所成的?可能是若??? 的平??的正弦值為

，則 或C【答案】【解析】即可判斷A

B，利?空間向量法求解距離即可，對于對于對于，利?空間向量法求解直線所成?即可 ， .【詳解】建?空間直?坐標系如圖所示，則，A對于，因為

，所以 ，所以，故 ，故A說法正確；B對于，

A知 ，設平?的?個法向量為，則 ，即 ，令 ，則 ，故 ，所以點到平?的距離為 ，故B說法正確；C對于，假設直線

與 所成的?可能是 ，則設 ，則 ，所以 ，?，所以 ，整理得 ，?盾，所以直線與 所成的?不可能是 ，故C說法錯誤；D對于，

，由選項 知，設平? ，平? 的?個法向量分別為 ，所以，，即，，分別令 ，則，故，設??? 的平??為，故由 ，解得或，即 或 確，故D說法正即 或 確C.故選：.在【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是建?合適的空間坐標系，利?空間向量法求解?度與距離問題即可在(? 多選題本題共

4?題，每?題5分，共20分.

每?題給出的四個選項中，有多項符合題?要求，全部選對得5分，部分選對得2分，錯選0分)9. C 下列四個結論中正確的是（ ）已知?程 表示的曲線為，則A.當 時，曲線C是橢圓B.當或時，曲線C是雙曲線C若曲線C若曲線

x是焦點在y是焦點在

軸上的橢圓，則軸上的雙曲線，則BCD【答案】【解析】.【分析】利?橢圓以及雙曲線的標準?程的特征可逐?判斷各選項A【詳解】

選項，曲線 是橢圓等價于 ，解得 且 ，故A錯誤；B選項，曲線 是雙曲線等價于，解得 或 ，故B正確；C選項，若曲線 是焦點在軸上的橢圓，則 ，解得，故C正確；確D選項，若曲線 是焦點在軸上的雙曲線，則 ，解得 ，故D正 .確BCD.故選：10.A.B.C.D.

給出下列命題，其中正確的是（ ）若空間向量，，且 ，則實數若 ，則存在唯?的實數 ，使得若空間向量，，則向量上的投影向量是點關于平?對稱的點的坐標是AC【答案】【解析】D

AC

，利?空間向量平?的充要條件及坐標表示可判定、投影向量的概念可判定.A

，即A正確；【詳解】對于，可知B ，恒成?，此時 不唯?或者不存在，故B錯誤；對于，顯然 時C 對于，向量在向量

上的投影向量 ，故C正確；D 對于，易知點 關于平? 對稱的點的坐標是AC

，故D錯誤.故選：校園師?安全重于泰?

，越來越多的學校紛紛引進各類急救設備.

5個不同顏?清融城中個不同顏?福的?動體外除顫器（簡稱AED福

，則下?正確的是（ ））A.從5個AED中隨機取出3個，共有10種不同的取法B.從5個AED中選3個分別給3位教師志愿者培訓使?，每?1個，共有60種選法C.把5個AED安放在宿舍、教學樓、體育館三個不同的地?，共有129種?法D.把5個AED安放在宿舍、教學樓、體育館三個不同的地?，每個地??少放?個，共有150種?法ABD【答案】【解析】.【分析】由排列組合的?法逐?計算驗證即可5個AED中隨機取出3個，共有種不同的取法，故A正確；【詳解】從5個AED中選3個分別給3位教師志愿者培訓使?，每?1個，從共有種選法，故B正確；5個AED安放在宿舍、教學樓、體育館三個不同的地?，則每個AED都有3種安放?法，故共有把種?法，故C錯誤；把5個AED安放在宿舍、教學樓、體育館三個不同的地?，每個地??少放?個，5個AED分成313組AED放在宿舍、教學樓、體育館三個地?，每個地可先將確?放1組，故共有 ?法，故D正 .確ABD故選：12.

?明同學在完成教材橢圓和雙曲線的相關內容學習后常數的點的軌跡是什么呢？?具備哪些性質呢？?師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上法國“ 天?學家卡?尼在研究?星及其衛(wèi)星的運?規(guī)律時發(fā)現的，這類曲線被稱為卡?尼卵形線下，?明決定先從特殊情況開始研究，假設是平?直?坐標系xOy內的兩個定點，滿? 的動點

P的軌跡為曲線

C，從?得到以下4個結論，其中正確結論的為（ ）C曲線P動點

既是軸對稱圖形，?是中?對稱圖形的橫坐標的取值范圍是的取值范圍是的?積的最?值為ABD【答案】【解析】，由題設可得曲線C、代?即可判斷 ；令 ，由 在 上有解，結合?次函數性質求

P的橫坐標的取值范圍判斷

；由②分析可得 ，進?求范圍判斷 ；由基本不等式、余弦定理確定 范圍，再根據三?形?積公式求最值判斷 .【詳解】令 ，則，所以 ，則 ，將 、 、 代?上述?程后，均有 ，所以曲線

C既是軸對稱圖形，?是中?對稱圖形， 正確；令 ，則 ，對于 ，對稱軸為 ，所以 在 上遞增，要使 在 上有解，只需 ，所以 ，即 ，可得 ， 正確；由，由 中，，所以，其中負值舍去，綜上，，? ，即 ，所以，則， 錯誤；由 ，僅當 時等號成?，的?積，，的?積，，所以所以 的?積的最?值為， 正確.故選： .,【點睛】關鍵點點睛：,P

通過換元 ，構造 ，利?根的分.布求 的橫坐標、 的取值范圍三填空題（本題共4?題，每?題5分，共0分） .13.已知點 在圓 的外部，則k的取值范圍是【答案】【解析】.【分析】根據?元?次?程表示圓的條件以及點在圓外，列出不等式求解，即得答案【詳解】由題意圓 滿? ，點在圓 的外部，得，即的取值范圍是故答案為：14. 4 展開式的第 項為 ．【答案】【解析】.【分析】根據?項展開式的通項公式求出第四項4【詳解】 的展開式的第 項為故答案為：15.設常數

．如圖在矩形 中， 平? ．若線段 上存在點 ，【答案】【答案】【解析】.【分析】通過建系，把 轉換成向量垂直坐標運算，結合存在點 ，進?轉換為?程有解問題【詳解】因為在矩形 中， 平? ，所以以 ， ， 所在直線為軸，軸，軸，建?空間直?坐標系，設 ，，其中 或 不符題意，則，，，則有，由 ，得即 ，若線段 上存在點，即?程在有解，設函數為 ， ，對稱軸為，則?程在 有解需滿?，?因為 ，.所以故答案為：16.

，若?條直線經過點，且以向量為?向向量，在空間直?坐標系中. l則這條直線可以??程 來表示已知直線

的?程為 ，則【答案】

l到直線

.的距離為【解析】【分析】根據題意，可得直線恒過定點，即可得到其?向向量，再由空間向量的坐標運算，代?計算，即.可得到結果l【詳解】直線

的?程標準化： ，l直線過點

，?向向量為 .，， ，M l到直線

.的距離故答案為：

（本題共6?題，其中17題10分，18~22每題12分，共70分）四17.1

解答題已知直線

.的?程；（）若直線過點（）若直線1

.（）或.【答案（） 2【解析】1

兩直線垂直，斜率之積為 ，可求得直線的斜率，【分析（）根據再由直線的點斜式?程，即可寫出直線?程；2 兩直線平?，斜率相等，設出直線的?程為，（）先根據再根據兩平?直線的距離公式即可求出．1

，所以直線的斜率為 .【詳解（）因為直線的?程為因為 ，所以直線的斜率為.因為直線過點的?程為 .2 與直線之間的距離為，所以可設直線的?程為，（）因為直線所以 ，解得或 ..故直線的?程為 或【點睛】本題主要考查直線?程的求法，涉及兩直線垂直，平?關系的應?，以及平?直線的距離公式的應?，意在考查學?的數學運算能?，屬于基礎題．18.如圖，在直三棱柱中， ， ， ， 分別為， 的中點．1 ： 平?；（）求證2 與平? 所成?的余弦值．（）求直線1【答案（）證明?解析2（）【解析】）【分析（1）

法?，通過構造平?四邊形，找到線線平?，利?線?平?的判定定理即可證明；法?，通過證明??平?，證明線?平?；2 ，求出平?的法向量，利?線??的公式即可求.（）建?空間直?坐標系1【?問 詳解】取 的中點 ，連接 ， ，∵直三棱柱 中， 為 的中點，所以，且 ，因為 ， 分別 ， 的中點，∴ ，，， ，∴四邊形 為平?四邊形，∴ ，?∵ 平? ， 平? ，.故 平?（法?：取 的中點

，連接 ， ，由直三棱柱 可得四邊形 為平?四邊形? 為 的中點，∴ ， ，∴ ，?∵ 平? ， 平?故 平? ．∵點 ， 分別為 ， 的中點，∴ ，?∵ 平? ， 平? ，∴ 平? ，? ， 平? ， 平? ，∴平? 平? ，? 平? ，故 平?.2【?問 詳解】∵在直三棱柱 中?有 ，∴ ， ， 兩兩垂直，分別以直線 ， ， 為軸，軸，軸建?如圖所示的空間直?坐標系，則，，，∴，，設是平? 的法向量，則 ，取 ，則所以直線 與平? 所成的?的余弦為 ．19. ，拋物線上?點 橫坐標為3 且點 到焦點 的距離為4.已知拋物線 的焦點為 ，1 ；（）求拋物線 的?程（）過點作直線交拋物線于點.1【答案（）2（）【解析】1

，結合拋物線定義即可求解，【分析（2

）由拋物線的焦半徑公式與拋物線?程可得，進?根據?積求解，結合基本不等式即可求解最值（）聯?直線 .1【?問 詳解】由題意知 ,所以 .2【?問 詳解】由(1)知,拋物線 ,直線 過 ,可設直線 的?程為 ,聯?設,不妨設，∴，當且僅當 ，即時取等號，.∴ ?積最?值為1 4 2

6個?排成?排照相，其中兩個??相鄰的排法種數為多少？2 8個體育?名額，分配給5個班級，每班?少1個名額，有多少種分法？（）3 ?份有4個不同的朗誦節(jié)?和3個不同的說唱節(jié)?的節(jié)?單，如果說唱節(jié)?不排在開頭，并且任（）要排意兩個說唱節(jié)?不排在?起，則不同的排法種數為多少？4 7 ，其中3名?醫(yī)?，有外科醫(yī)?5名，其中只有1名?醫(yī)?．現選派6名去甲、（）某醫(yī)院有內科醫(yī)? 名?兩地參加賑災醫(yī)療隊，要求每隊必須2名男醫(yī)?1名?醫(yī)?，且每隊由2名外科醫(yī)?1名內科醫(yī)?組成，有多少種派法？（最后結果都?數字作答）1 （

） （）76

（） .【答案（） 2 3 5 ；4【解析】1

兩個??相鄰的排法種數；【分析（2

）利?捆綁法即可求得；（）利?隔板法即可求得名額的分法種數3 不同的排法種數；（）利?插空法即可求得（）按外科?醫(yī)?來或 .4 不來分類討論，再依據分步計數原理即可求得所有不同的派法種數1 兩個??相鄰捆綁處理，有；【詳解（）2 8個體育?名額排成?列，在形成的中間7個空隙中插?4塊隔板，（）將所以不同的放法種數為 ；3 1 ，先排4個朗誦節(jié)?共種；（）第 步第2步，排說唱節(jié)?，不相鄰則?插空法，且保證不放到開頭，從剩下4個空中選3個插空共有種排法；4 ：（）先分類4 1 4 1①若外科?醫(yī)?必選，則?組內科

男選，外科

男選；另?組內