人教版人教版六年級數(shù)學(xué)上冊 第八單元數(shù)學(xué)廣角-數(shù)與形（原卷版）

六年級數(shù)學(xué)上冊第八單元數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形本專題是第八單元數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形。本部分內(nèi)容主要是數(shù)、形規(guī)律的類題型，以數(shù)字、數(shù)列、圖形、算式等形式為主，進行規(guī)律探索?？荚嚩嘁蕴羁铡⑦x擇等題型為主，題目具有一定的探索性和抽象性，其中自主探索類題目難度稍大，綜合性較強，建議作為重點部分進行講解，共劃分為十三個考點，歡迎使用?！究键c一】整數(shù)列規(guī)律?！痉椒c撥】數(shù)列中數(shù)字的規(guī)律一般要通過觀察分析數(shù)的變化規(guī)律，得出數(shù)變大或變小的趨勢，再分析這個數(shù)具體變化了多少，最后綜合分析得出結(jié)論。【典型例題】根據(jù)規(guī)律在下面的括號里填上合適的數(shù)。（1）1，3，5，7，（），（），13，15。（2）2，5，8，11，（），（），20。（3）50，44，38，（），（），20?！緦?yīng)練習(xí)1】找規(guī)律：（1）1、4、7、10、13、16、19、（）；（2）1、2、4、7、11、16、22、29、（）；（3）2、3、5、8、13、21、34、55、（）；（4）5、5、7、10、9、15、11、20、（）、（）；（5）1、4、9、16、25、36、49、64、（）?！緦?yīng)練習(xí)2】找規(guī)律（1）2、6、10、14、18、22、26、（）；（2）0.5、1.6、2.7、3.8、4.9、6、（）；（3）0、2、2、4、6、10、16、26、（）；（4）1、2、4、8、16、32、64、（）；（5）70、71、72、61、74、51、76、41、（）、（）；（6）1、8、27、64、125、（）；（7）1、6、16、31、51、76、（）；（8）1、4、5、9、14、23、37、60、（）；（9）67、66777、66677777、66667777777、（）；（10）7.7、77.07、777.007、7777.0007、（）?！究键c二】分數(shù)列規(guī)律。【方法點撥】數(shù)列中數(shù)字的規(guī)律一般要通過觀察分析數(shù)的變化規(guī)律，得出數(shù)變大或變小的趨勢，再分析這個數(shù)具體變化了多少，最后綜合分析得出結(jié)論?！镜湫屠}1】一列分數(shù)的前5個是12、25、310、4【典型例題2】11，12，A.

12

B.

13

C.

14

D.

17【對應(yīng)練習(xí)1】在，，，，這列分數(shù)中，第10個分數(shù)是（）。【對應(yīng)練習(xí)2】找規(guī)律：、、、、、、【考點三】等差數(shù)列基本題型?！痉椒c撥】1.等差數(shù)列：在數(shù)列中，人們把如1、2、3、4、5、6、7、8、9這樣的一串數(shù)叫做“等差數(shù)列”。2.公差：等差數(shù)列是指在一串數(shù)中，從第二項開始，后面一項與前面一項的差相等的數(shù)列，這個相等的差叫做“公差”。3.首項：這數(shù)列的第一項叫首項。4.末項：最后一項叫末項。5.等差數(shù)列通用公式：（1）等差數(shù)列的和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2（2）項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋1（3）末項＝首項＋公差×（項數(shù)－1）【典型例題1】判斷等差數(shù)列。在下面的括號填寫適當?shù)臄?shù)。（1）1、4、7、10、()、()、19（2）2、3、5、()、12、()、23（3）0、2、4、()、8、10、()判斷上面的數(shù)列是不是等差數(shù)列，如果是，請直接說出首項、末項、項數(shù)及公差；如果不是，說明為什么?！镜湫屠}2】求末項。有一個數(shù)列1、5、9、13…，問這個數(shù)列的第30項是多少？【對應(yīng)練習(xí)】一個等差數(shù)列：4、7、10、13…，求此數(shù)列第81項?！镜湫屠}3】求項數(shù)。有一個數(shù)列2、5、8、11…2003、2006。這個數(shù)列共有多少項？【對應(yīng)練習(xí)】請你求出數(shù)列2、6、10…2006、2010。這個數(shù)列有多少項？【典型例題4】求和。1＋5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＋33【對應(yīng)練習(xí)】1＋2＋3＋4＋…＋120【考點四】等差數(shù)列在生活實際中的應(yīng)用?！痉椒c撥】等差數(shù)列通用公式：（1）等差數(shù)列的和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2（2）項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋1（3）末項＝首項＋公差×（項數(shù)－1）【典型例題】一堆粗細均勻的圓木堆放在一起，最上面有1根，下面每一層都比上一層多1根，最下層有53根。這堆圓木一共有多少根？【對應(yīng)練習(xí)1】屋子里有50個人，每兩個人都要握一次手，那么所有人一共握多少次手？【對應(yīng)練習(xí)2】A城與B城之間有10座車站（包括A城與B城這兩站），每兩座車站之間的距離都不相同，車票也不相同，那么往返于A城與B城之間的火車，有多少種不同的票價？有多少種不同的車票？【考點五】等差數(shù)列在圖形中的應(yīng)用。【方法點撥】等差數(shù)列通用公式：（1）等差數(shù)列的和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2（2）項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋1（3）末項＝首項＋公差×（項數(shù)－1）【典型例題】如下圖，擺1個正方形需4根火柴棒，擺2個正方形需7根火柴棒，擺3個正方形需10根火柴棒……照這樣擺下去，擺4個正方形需（）根火柴棒；擺10個正方形需（）根火柴棒；擺n個正方形需要（）根火柴棒。【對應(yīng)練習(xí)1】如圖，如果正方形每個端點各擺一個花盆，n個正方形端點可擺放多少個花盆？【對應(yīng)練習(xí)2】按下列規(guī)律擺放☆，則第⑤堆☆有多少個？第⑨堆☆有多少個？第n堆☆有多少個？【對應(yīng)練習(xí)3】明明用小棒搭了3間房子(如下圖所示)，像這樣搭下去，搭5間房子要用_____根小棒；搭n間房子要用_________根小棒?！究键c六】等差數(shù)列在較復(fù)雜圖形中的應(yīng)用。【方法點撥】等差數(shù)列通用公式：（1）等差數(shù)列的和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2（2）項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋1（3）末項＝首項＋公差×（項數(shù)－1）【典型例題】用邊長為1cm的小正方形搭如下的塔狀圖形，則第n次所搭圖形的周長是（）cm（用含n的代數(shù)式表示）?！緦?yīng)練習(xí)1】下面每個三角形圖都是由一些相同的小三角形組成的。如果小三角形的邊長是1，每個三角形的周長分別是多少？如果擺成一個n層的大三角形，它的周長又是多少？【對應(yīng)練習(xí)2】下面的圖形是由邊長為1的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的。(1)觀察圖形，填寫下表：(2)推測第n個圖形中，正方形的個數(shù)為______，周長為_____(用含n的代數(shù)式表示)?！緦?yīng)練習(xí)3】觀察下面的點陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：（1）在④和⑤后面的橫線上分別寫出相應(yīng)的等式。（2）通過猜想，寫出第n個點陣相對應(yīng)的等式?！究键c七】圖形規(guī)律一：數(shù)形結(jié)合?！痉椒c撥】圖形中尋找規(guī)律，還是要把圖形轉(zhuǎn)變成數(shù)，再尋找數(shù)字之間的規(guī)律。【典型例題1】根據(jù)上面圖形與數(shù)的規(guī)律，接著這樣排列下去，如果不畫，你知道第10個數(shù)是多少嗎？第n個數(shù)呢？【典型例題2】準備若干個邊長為1厘米的等邊三角形，并按下圖所示一個接一個地拼接起來，然后填下表。三角形個數(shù)123456…n拼成圖形的周長（厘米）回答：（1）當三角形的個數(shù)是10時，所拼成圖形的周長是（）厘米。（2）當三角形的個數(shù)是100時，所拼成圖形的周長是（）厘米?！镜湫屠}3】我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝在公元1261年撰寫了《詳解九章算法》，他在這本著作中畫了一個由數(shù)構(gòu)成的三角形圖，我們把它稱為“楊輝三角”。根據(jù)“楊輝三角”每行的和與所在行的關(guān)系列表如下，請將表格填寫完整。行數(shù)第1行第2行第3行第4行第5行第6行……和12（）（）（）（）……規(guī)律后一行的和是前一行和的（）倍。【典型例題4】王鵬用小棒擺了四幅樹狀圖，以下是樹狀圖變化的規(guī)律：王鵬按照這個規(guī)律繼續(xù)往下擺，第五幅樹狀圖要擺（

）根小棒。A.

23

B.

31

C.

35

D.

45【典型例題5】下圖中的數(shù)是“三角形數(shù)”。先觀察圖形，再完成練習(xí)。（1）照樣子畫一畫，并在括號里寫出這個“三角形數(shù)”。（2）第1個“三角形數(shù)”：1；第2個“三角形數(shù)”：1+2；第3個“三角形數(shù)”：1+2+3；……第n個“三角形數(shù)”：________。【典型例題6】填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，m的值是（

）。A.

86

B.

52

C.

38

D.

74【對應(yīng)練習(xí)】若=1，=2，=3，則=________.【考點八】圖形規(guī)律二：位置變換?！痉椒c撥】圖形位置變換的規(guī)律比較簡單，注意觀察位置的變化就能快速找出規(guī)律?！镜湫屠}】找規(guī)律，接下來涂色正確的是（）。A． B． C．【對應(yīng)練習(xí)1】根據(jù)下面圖形的排列規(guī)律，在下面四個圖形中選一個填在橫線上。_________

A． B． C． D．【對應(yīng)練習(xí)2】找出下面圖形變化的規(guī)律，在方框中畫出第四幅圖?！究键c九】圖形規(guī)律三：圖形的數(shù)字含義。【方法點撥】該類題型注意觀察數(shù)字與圖形的聯(lián)系，找出圖形與數(shù)字的相似點，再把圖形轉(zhuǎn)換為數(shù)字?！镜湫屠}】下面每個圖形都是由△、○、□中的兩個（可以相同）構(gòu)成的。觀察各圖形與它下面的數(shù)之間的關(guān)系，猜猜最右面圖形下面的“？”表示（

）。A.

23

B.

31

C.

13

D.

32解析：B。

觀察對比圖形可得：這組圖形的規(guī)律是外面圖形表示個位數(shù)字，里面圖形是十位數(shù)字，由此可以推出：△代表2，○代表3，□代表1，據(jù)此得到最右面圖形表示的數(shù)字。【對應(yīng)練習(xí)】下面的每一個圖形都是由△、口、O中的兩個組成的。觀察各個圖形，根據(jù)圖形下面的數(shù)找出規(guī)律，畫出表示“23”和“12”的圖形。【考點十】圖形規(guī)律四：稍復(fù)雜的圖形探索。【方法點撥】圖形中尋找規(guī)律，還是要把圖形轉(zhuǎn)變成數(shù)，再尋找數(shù)字之間的規(guī)律?！镜湫屠}】自主探索。仔細觀察上面的點子圖，根據(jù)每個圖中點子的排列規(guī)律，想一想，可以怎樣計算每個圖中點子的總個數(shù)?請你把下表填寫完整。序號1234…表示點子數(shù)的算式11+4________________…點子的總個數(shù)15________________…觀察表中數(shù)據(jù)，如果用A表示第n個圖形中點子的個數(shù)，A和n之間的關(guān)系可以表示成：A=________。【對應(yīng)練習(xí)】小華用邊長是1厘米的小正方形擺出了下面的圖形，并依次寫出了每個圖形的周長的算式，請你根據(jù)規(guī)律將表格填寫完整。正方形/個149（

）49周長/厘米44＋64＋6×24＋6×3（

）【考點十一】圖形規(guī)律五：圖形與算式的結(jié)合?！痉椒c撥】該類型題注意算式規(guī)律的變化，可先找出算式的規(guī)律，再通過圖形的變化來驗證算式的變化。【典型例題】根據(jù)下圖的規(guī)律，第8個圖形的正確列式是()。A．82－62 B．92－72 C．102－82【對應(yīng)練習(xí)】妙算正方形的個數(shù)。(1)完成上面的填空．(2)照這樣畫下去，第6個圖形有多少個正方形？【考點十二】周期規(guī)律?！痉椒c撥】周期問題關(guān)鍵在于找到一個周期是多少，然后再利用周期作除法求出問題?！镜湫屠}】運動場上插了五顏六色的彩旗，按照兩面黃旗、三面紅旗、一面綠旗的順序排列，那么第100面彩旗是什么顏色？前100面彩旗中，一共有多少面紅旗？解析：這是一道典型的余數(shù)周期問題，每6面彩旗為一組（也稱為一個周期），可以求出100面彩旗中一共有多少組，余數(shù)是多少，就可以知道第100面彩旗是什么顏色了，余幾，那么就是一組中的第幾面。再求每組有多少面紅旗，余下部分有幾面紅旗，就能求出紅旗總數(shù)了。100÷6=16(組)……4（面）16×3+2=50(面)答：第100面彩旗是紅顏色的，前100面彩旗中，一共有50面紅旗?！緦?yīng)練習(xí)1】節(jié)日的夜景真漂亮,街上的彩燈按照5盞紅燈，再接4盞藍燈，再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈，4盞藍燈，3盞黃燈……這樣排下去。問:（1）第108盞燈是什么顏色?（2）前150盞彩燈中有多少盞藍燈?【對應(yīng)練習(xí)2】下面圖形是按規(guī)律排列的，根據(jù)規(guī)律可以判斷第125個圖形是（），前125個圖形中這個圖形共有（）個?！緦?yīng)練習(xí)3】循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分第2012位上的數(shù)字是多少？這2012位數(shù)字的總和是多少？【考點十三】算式規(guī)律。【方法點撥】周期問題關(guān)鍵在于找到一個周期是多少，然后再利用周期作除法求出問題。【典型例題1】找規(guī)律，寫得數(shù)。

=1-，，據(jù)上面等式，則：________【對應(yīng)練習(xí)1】簡便計算。1【對應(yīng)練習(xí)2】計算：++++++++。【典型例題2】找規(guī)律，寫結(jié)果。根據(jù)：，，那么：=________=________【典型例題3】（2019?防城港模擬）①，；②，；③，；通過觀察發(fā)現(xiàn)：（）（填得數(shù)）?！緦?yīng)練習(xí)1】（1）通過計算，探索規(guī)律：可寫成；可寫成；可寫成；可寫成；可寫成；可寫成；（2）從第（1）題的結(jié)果，歸納、猜想得：。【對應(yīng)練習(xí)2】先觀察三組算式，再根據(jù)規(guī)律把算式填完整。1×3+1=22；2×4+1=32；3×5+1=42……________×________

+1=20182……n×（n+2)+1=________2（n為自然數(shù)）【對應(yīng)練習(xí)3】找規(guī)律填空。根據(jù)下邊各式的規(guī)律填空：1=121+3=221+3+5=321+3+5+7=42（1）1+3+5+7+9+11+13=________2。（2）從1開始，________個連續(xù)奇數(shù)相加的和202。六年級數(shù)學(xué)上冊第八單元數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形（解析版）本專題是第八單元數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形。本部分內(nèi)容主要是數(shù)、形規(guī)律的類題型，以數(shù)字、數(shù)列、圖形、算式等形式為主，進行規(guī)律探索?？荚嚩嘁蕴羁铡⑦x擇等題型為主，題目具有一定的探索性和抽象性，其中自主探索類題目難度稍大，綜合性較強，建議作為重點部分進行講解，共劃分為十三個考點，歡迎使用?！究键c一】整數(shù)列規(guī)律?！痉椒c撥】數(shù)列中數(shù)字的規(guī)律一般要通過觀察分析數(shù)的變化規(guī)律，得出數(shù)變大或變小的趨勢，再分析這個數(shù)具體變化了多少，最后綜合分析得出結(jié)論?！镜湫屠}】根據(jù)規(guī)律在下面的括號里填上合適的數(shù)。（1）1，3，5，7，（），（），13，15。（2）2，5，8，11，（），（），20。（3）50，44，38，（），（），20。解析：（1）9；11（2）14；17（3）32；26【對應(yīng)練習(xí)1】找規(guī)律：（1）1、4、7、10、13、16、19、（）；（2）1、2、4、7、11、16、22、29、（）；（3）2、3、5、8、13、21、34、55、（）；（4）5、5、7、10、9、15、11、20、（）、（）；（5）1、4、9、16、25、36、49、64、（）。解析：這是非常基礎(chǔ)的找規(guī)律問題（1）是等差數(shù)列（2）中后項與前項的差是等差數(shù)列（3）的前兩項之和等于第三項（4）是每隔一個數(shù)呈現(xiàn)規(guī)律（5）是完全平方數(shù)。解：（1）1、4、7、10、13、16、19、（22）；（2）1、2、4、7、11、16、22、29、（37）；（3）2、3、5、8、13、21、34、55、（89）；（4）5、5、7、10、9、15、11、20、（13）、（25）；（5）1、4、9、16、25、36、49、64、（81）。【對應(yīng)練習(xí)2】找規(guī)律（1）2、6、10、14、18、22、26、（）；（2）0.5、1.6、2.7、3.8、4.9、6、（）；（3）0、2、2、4、6、10、16、26、（）；（4）1、2、4、8、16、32、64、（）；（5）70、71、72、61、74、51、76、41、（）、（）；（6）1、8、27、64、125、（）；（7）1、6、16、31、51、76、（）；（8）1、4、5、9、14、23、37、60、（）；（9）67、66777、66677777、66667777777、（）；（10）7.7、77.07、777.007、7777.0007、（）。解析：（1）30（2）7.1（3）42（4）128（5）78；31（6）216（7）106（8）97（9）66666777777777（10）77777.00007【考點二】分數(shù)列規(guī)律。【方法點撥】數(shù)列中數(shù)字的規(guī)律一般要通過觀察分析數(shù)的變化規(guī)律，得出數(shù)變大或變小的趨勢，再分析這個數(shù)具體變化了多少，最后綜合分析得出結(jié)論?！镜湫屠}1】一列分數(shù)的前5個是12、25、310、4解析：6【典型例題2】11，12，A.

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B.

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C.

14

D.

17解析：C【對應(yīng)練習(xí)1】在，，，，這列分數(shù)中，第10個分數(shù)是（）。解析：第10個分數(shù)分子是10；分母是：即第10個分數(shù)是【對應(yīng)練習(xí)2】找規(guī)律：、、、、、、解析：，．【考點三】等差數(shù)列基本題型?！痉椒c撥】1.等差數(shù)列：在數(shù)列中，人們把如1、2、3、4、5、6、7、8、9這樣的一串數(shù)叫做“等差數(shù)列”。2.公差：等差數(shù)列是指在一串數(shù)中，從第二項開始，后面一項與前面一項的差相等的數(shù)列，這個相等的差叫做“公差”。3.首項：這數(shù)列的第一項叫首項。4.末項：最后一項叫末項。5.等差數(shù)列通用公式：（1）等差數(shù)列的和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2（2）項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋1（3）末項＝首項＋公差×（項數(shù)－1）【典型例題1】判斷等差數(shù)列。在下面的括號填寫適當?shù)臄?shù)。（1）1、4、7、10、()、()、19（2）2、3、5、()、12、()、23（3）0、2、4、()、8、10、()判斷上面的數(shù)列是不是等差數(shù)列，如果是，請直接說出首項、末項、項數(shù)及公差；如果不是，說明為什么。解析：（1）13,16；（2）8，17；（3）6,12。（1）是等差數(shù)列，首項是1，末項是19，項數(shù)是7，公差是3；（2）不是等差數(shù)列；因為任意相鄰兩個數(shù)的差不一樣；（3）是等差數(shù)列，首項是0，末項是12，項數(shù)是7，公差是2?！镜湫屠}2】求末項。有一個數(shù)列1、5、9、13…，問這個數(shù)列的第30項是多少？解析：第30項：1＋（30－1）×4＝117【對應(yīng)練習(xí)】一個等差數(shù)列：4、7、10、13…，求此數(shù)列第81項。解析：7－4＝3，第81項：4＋（81－1）×3＝244【典型例題3】求項數(shù)。有一個數(shù)列2、5、8、11…2003、2006。這個數(shù)列共有多少項？解析：公差：5－2＝3項數(shù)：（2006－2）÷3＋1＝669（項）【對應(yīng)練習(xí)】請你求出數(shù)列2、6、10…2006、2010。這個數(shù)列有多少項？解析：6－2＝4，公差為4，一共有：（2010－2）÷4＋1＝503（項）【典型例題4】求和。1＋5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＋33解析：（1＋33）×9÷2＝153【對應(yīng)練習(xí)】1＋2＋3＋4＋…＋120解析：（1＋120）×120÷2＝7260【考點四】等差數(shù)列在生活實際中的應(yīng)用。【方法點撥】等差數(shù)列通用公式：（1）等差數(shù)列的和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2（2）項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋1（3）末項＝首項＋公差×（項數(shù)－1）【典型例題】一堆粗細均勻的圓木堆放在一起，最上面有1根，下面每一層都比上一層多1根，最下層有53根。這堆圓木一共有多少根？解析：(1＋53)×53÷2＝1431（根）【對應(yīng)練習(xí)1】屋子里有50個人，每兩個人都要握一次手，那么所有人一共握多少次手？解析：第一個人要和余下的49人握手，第二個人和余下的48人握手（因為第一個人已經(jīng)和第二個人握了，所以為了避免重復(fù)，就不算第二個再與第一個握了），第三個人與余下的47人握手……利用加法原理，把所有的數(shù)據(jù)相加即可。解：49+48+47+……+2+1=（49+1）×49÷2=1225（次）答：所有人一共握1225次手?！緦?yīng)練習(xí)2】A城與B城之間有10座車站（包括A城與B城這兩站），每兩座車站之間的距離都不相同，車票也不相同，那么往返于A城與B城之間的火車，有多少種不同的票價？有多少種不同的車票？解析：一共有票價：9+8+7+......+1=（9+1）×9÷2=45（種）車票：45×2=90（種）答：略?！究键c五】等差數(shù)列在圖形中的應(yīng)用。【方法點撥】等差數(shù)列通用公式：（1）等差數(shù)列的和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2（2）項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋1（3）末項＝首項＋公差×（項數(shù)－1）【典型例題】如下圖，擺1個正方形需4根火柴棒，擺2個正方形需7根火柴棒，擺3個正方形需10根火柴棒……照這樣擺下去，擺4個正方形需（）根火柴棒；擺10個正方形需（）根火柴棒；擺n個正方形需要（）根火柴棒。解析：擺4個正方形需13根火柴棒；擺10個正方形需31根火柴棒；擺n個正方形需要（3n＋1）根火柴棒。利用末項公式得：4+3（n-1）=3n+1【對應(yīng)練習(xí)1】如圖，如果正方形每個端點各擺一個花盆，n個正方形端點可擺放多少個花盆？解析：4+2（n-1）=2n+2【對應(yīng)練習(xí)2】按下列規(guī)律擺放☆，則第⑤堆☆有多少個？第⑨堆☆有多少個？第n堆☆有多少個？解析：第⑤堆☆有17個；第⑨堆☆有29個；5+3（n-1）=3n+2【對應(yīng)練習(xí)3】明明用小棒搭了3間房子(如下圖所示)，像這樣搭下去，搭5間房子要用_____根小棒；搭n間房子要用_________根小棒。解析：搭5間房子要用26根小棒；搭n間房子要用6+5（n-1）=（5n＋1）根小棒?！究键c六】等差數(shù)列在較復(fù)雜圖形中的應(yīng)用?！痉椒c撥】等差數(shù)列通用公式：（1）等差數(shù)列的和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2（2）項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋1（3）末項＝首項＋公差×（項數(shù)－1）【典型例題】用邊長為1cm的小正方形搭如下的塔狀圖形，則第n次所搭圖形的周長是（）cm（用含n的代數(shù)式表示）。解析：第一次：1×4=4第二次：2×4=8第三次：3×4=12第四次：4×4=16......第n次：4n【對應(yīng)練習(xí)1】下面每個三角形圖都是由一些相同的小三角形組成的。如果小三角形的邊長是1，每個三角形的周長分別是多少？如果擺成一個n層的大三角形，它的周長又是多少？解析：每個三角形的周長分別是3、6、9和12；如果擺成一個n層的大三角形，它的周長是3n?！緦?yīng)練習(xí)2】下面的圖形是由邊長為1的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的。(1)觀察圖形，填寫下表：(2)推測第n個圖形中，正方形的個數(shù)為______，周長為_____(用含n的代數(shù)式表示)。解析：（1）13；18；28；38（2）正方形的個數(shù)呈現(xiàn)為8，13，18......的等差數(shù)列，所以，第n個圖形中，正方形的個數(shù)為5n+3；圖形的周長數(shù)列為18，28，38......的等差數(shù)列，所以，第n個圖形的周長為10n+8?！緦?yīng)練習(xí)3】觀察下面的點陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：（1）在④和⑤后面的橫線上分別寫出相應(yīng)的等式。（2）通過猜想，寫出第n個點陣相對應(yīng)的等式。解析：（1）1+3+5+7=42；1+3+5+7+9=52（2）1+3+5+7+......+(2n-1)=n2【考點七】圖形規(guī)律一：數(shù)形結(jié)合?！痉椒c撥】圖形中尋找規(guī)律，還是要把圖形轉(zhuǎn)變成數(shù)，再尋找數(shù)字之間的規(guī)律?！镜湫屠}1】根據(jù)上面圖形與數(shù)的規(guī)律，接著這樣排列下去，如果不畫，你知道第10個數(shù)是多少嗎？第n個數(shù)呢？解析：第1個數(shù)是1，圖形有1個；第2個數(shù)是4，圖形有2×2＝4（個）；第3個數(shù)是9，圖形有3×3＝9（個）……,這說明每個數(shù)與對應(yīng)圖形的個數(shù)相同，而第n個數(shù)可通過n2得到。10×10＝100，n×n＝n2【典型例題2】準備若干個邊長為1厘米的等邊三角形，并按下圖所示一個接一個地拼接起來，然后填下表。三角形個數(shù)123456…n拼成圖形的周長（厘米）回答：（1）當三角形的個數(shù)是10時，所拼成圖形的周長是（）厘米。（2）當三角形的個數(shù)是100時，所拼成圖形的周長是（）厘米。解析：三角形個數(shù)123456…n拼成圖形的周長（厘米）345678…n＋2（1）當三角形的個數(shù)是10時，所拼成圖形的周長是（12）厘米。（2）當三角形的個數(shù)是100時，所拼成圖形的周長是（102）厘米?！镜湫屠}3】我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝在公元1261年撰寫了《詳解九章算法》，他在這本著作中畫了一個由數(shù)構(gòu)成的三角形圖，我們把它稱為“楊輝三角”。根據(jù)“楊輝三角”每行的和與所在行的關(guān)系列表如下，請將表格填寫完整。行數(shù)第1行第2行第3行第4行第5行第6行……和12（）（）（）（）……規(guī)律后一行的和是前一行和的（）倍。解析：行數(shù)第1行第2行第3行第4行第5行第6行……和12（4）（8）（16）（32）……規(guī)律后一行的和是前一行和的（2）倍?！镜湫屠}4】王鵬用小棒擺了四幅樹狀圖，以下是樹狀圖變化的規(guī)律：王鵬按照這個規(guī)律繼續(xù)往下擺，第五幅樹狀圖要擺（

）根小棒。A.

23

B.

31

C.

35

D.

45解析：1×2+1=3（根）；

3×2+1=7（根）；

7×2+1=15（根）；

15×2+1=31（根）。

故答案為：B?！镜湫屠}5】下圖中的數(shù)是“三角形數(shù)”。先觀察圖形，再完成練習(xí)。（1）照樣子畫一畫，并在括號里寫出這個“三角形數(shù)”。（2）第1個“三角形數(shù)”：1；第2個“三角形數(shù)”：1+2；第3個“三角形數(shù)”：1+2+3；……第n個“三角形數(shù)”：________。解析：（1）解：

（2）1+2+3+…+n【典型例題6】填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，m的值是（

）。A.

86

B.

52

C.

38

D.

74解析：8×10+6=86，所以m的值是86。故答案為：A。【對應(yīng)練習(xí)】若=1，=2，=3，則=________.解析：（10+8）÷2=9

故答案為：9?！究键c八】圖形規(guī)律二：位置變換。【方法點撥】圖形位置變換的規(guī)律比較簡單，注意觀察位置的變化就能快速找出規(guī)律?！镜湫屠}】找規(guī)律，接下來涂色正確的是（）。A． B． C．解析：C【對應(yīng)練習(xí)1】根據(jù)下面圖形的排列規(guī)律，在下面四個圖形中選一個填在橫線上。_________

A． B． C． D．解析：A【對應(yīng)練習(xí)2】找出下面圖形變化的規(guī)律，在方框中畫出第四幅圖。解析：【考點九】圖形規(guī)律三：圖形的數(shù)字含義。【方法點撥】該類題型注意觀察數(shù)字與圖形的聯(lián)系，找出圖形與數(shù)字的相似點，再把圖形轉(zhuǎn)換為數(shù)字?！镜湫屠}】下面每個圖形都是由△、○、□中的兩個（可以相同）構(gòu)成的。觀察各圖形與它下面的數(shù)之間的關(guān)系，猜猜最右面圖形下面的“？”表示（

）。A.

23

B.

31

C.

13

D.

32解析：B。

觀察對比圖形可得：這組圖形的規(guī)律是外面圖形表示個位數(shù)字，里面圖形是十位數(shù)字，由此可以推出：△代表2，○代表3，□代表1，據(jù)此得到最右面圖形表示的數(shù)字?！緦?yīng)練習(xí)】下面的每一個圖形都是由△、口、O中的兩個組成的。觀察各個圖形，根據(jù)圖形下面的數(shù)找出規(guī)律，畫出表示“23”和“12”的圖形。解析：；。【考點十】圖形規(guī)律四：稍復(fù)雜的圖形探索。【方法點撥】圖形中尋找規(guī)律，還是要把圖形轉(zhuǎn)變成數(shù)，再尋找數(shù)字之間的規(guī)律?！镜湫屠}】自主探索。仔細觀察上面的點子圖，根據(jù)每個圖中點子的排列規(guī)律，想一想，可以怎樣計算每個圖中點子的總個數(shù)?請你把下表填寫完整。序號1234…表示點子數(shù)的算式11+4________________…點子的總個數(shù)15________________…觀察表中數(shù)據(jù)，如果用A表示第n個圖形中點子的個數(shù)，A和n之間的關(guān)系可以表示成：A=________。解析：根據(jù)規(guī)律填表如下：如果用A表示第n個圖形中點子的個數(shù)，A和n之間的關(guān)系可以表示成：A=

1+（n-1）×4=1+4n-4=4n-3?！緦?yīng)練習(xí)】小華用邊長是1厘米的小正方形擺出了下面的圖形，并依次寫出了每個圖形的周長的算式，請你根據(jù)規(guī)律將表格填寫完整。正方形/個149（

）49周長/厘米44＋64＋6×24＋6×3（

）解析：第一個圖形：正方形的個數(shù)為1，周長為4；

第二個圖形：正方形的個數(shù)為4=1+3，周長為4+6；

第三個圖形：正方形的個數(shù)為9=1+3+5，周長為4+6×2；

……

第n個圖形：正方形的個數(shù)為：n2，周長為：4+6×（n-1）。

當n-1=3時，即n=4，此時正方形的個數(shù)為42=16；

當正方形的個數(shù)為49時，n=7，此時周長=4+6×6。

故答案為：正方形/個149

1649周長/厘米44＋64＋6×24＋6×3

4+6×6【考點十一】圖形規(guī)律五：圖形與算式的結(jié)合。【方法點撥】該類型題注意算式規(guī)律的變化，可先找出算式的規(guī)律，再通過圖形的變化來驗證算式的變化?！镜湫屠}】根據(jù)下圖的規(guī)律，第8個圖形的正確列式是()。A．82－62 B．92－72 C．102－82解析：C【對應(yīng)練習(xí)】妙算正方形的個數(shù)。(1)完成上面的填空．(2)照這樣畫下去，第6個圖形有多少個正方形？解析：(1)1；5；14；30(2)12＋22＋32＋42＋52＋62＝91(個)【考點十二】周期規(guī)律。【方法點撥】周期問題關(guān)鍵在于找到一個周期是多少，然后再利用周期作除法求出問題?！镜湫屠}】運動場上插了五顏六色的彩旗，按照兩面黃旗、三面紅旗、一面綠旗的順序排列，那么第100面彩旗是什么顏色？前100面彩旗中，一共有多少面紅旗？解析：這是一道典型的余數(shù)周期問題，每