2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 8-3-1棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積和體積 學(xué)案

8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)了解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面展開圖，掌握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積公式及體積公式．(2)能運(yùn)用公式求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積及體積．題型1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和體積【問題探究1】小明在自家花園為他家小狗搭了個(gè)外形為三棱錐的小帳篷，帳篷的底面邊長(zhǎng)為23，側(cè)棱長(zhǎng)為43，如圖所示．(1)你能計(jì)算出小明搭的帳篷的側(cè)面積嗎？(2)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么？(3)如果沿不同的棱將多面體展開，那么得到的展開圖相同嗎？其面積還相等嗎？例1現(xiàn)有一個(gè)底面是菱形的直四棱柱，它的體對(duì)角線長(zhǎng)為9和15，高是5，求該直四棱柱的側(cè)面積、表面積．學(xué)霸筆記：(1)求多面體的表面積和側(cè)面積二者不同，要分清二者區(qū)別．(2)棱錐或棱臺(tái)的表面積計(jì)算常借助側(cè)面三角形或梯形的高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長(zhǎng)等構(gòu)成的直角三角形(或梯形)求解．跟蹤訓(xùn)練1如圖，四面體P-ABC的各棱長(zhǎng)均為3，求它的表面積．題型2棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【問題探究2】(1)假如一個(gè)集裝箱的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，如何計(jì)算集裝箱的體積呢？(2)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式之間有什么關(guān)系？例2如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1上一點(diǎn)，求三棱錐A1-D1EF的體積．題后師說求幾何體體積的常用方法跟蹤訓(xùn)練2正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為()A．20＋123B．282C．563D．題型3簡(jiǎn)單組合體的表面積和體積例3如圖是一個(gè)搭建在空地上的帳篷，它的下部是一個(gè)正六棱柱，上部是一個(gè)正六棱錐，其中帳篷的高為PO，正六棱錐的高為PO1，且PO＝3PO1，A1B1＝2PO1＝4m.(1)求帳篷的表面積(不包括底面)；(2)求帳篷的容積(材料厚度忽略不計(jì))．學(xué)霸筆記：求組合體的表面積或體積，首先應(yīng)弄清它的組成，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面應(yīng)該怎樣求，然后再根據(jù)公式求出各面的面積，最后再相加或相減．求體積時(shí)也要先弄清組成，求出各簡(jiǎn)單幾何體的體積，然后再相加或相減．跟蹤訓(xùn)練3如圖截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體．如圖，將棱長(zhǎng)為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)均為1的截角四面體．(1)該截角四面體的表面積；(2)該截角四面體的體積．隨堂練習(xí)1．正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來的6倍，則其表面積擴(kuò)大到原來的()A．2倍B．12倍C．18倍D．36倍2．已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為5，則此棱錐的側(cè)面積為()A．6B．12C．24D．483．“升”和“斗”是舊時(shí)量糧食的器具，如圖所示為“升”，是一個(gè)無蓋的正四棱臺(tái)，據(jù)記載：它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，可容米1公斤．該“升”的容積約是(約定：“上口”指上底邊長(zhǎng)；“下口”指下底邊長(zhǎng)．)()A．1895.8cm3B．1894.8cm3C．1895.9cm3D．1894.9cm34．如果正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)為3.5，側(cè)面的一條對(duì)角線長(zhǎng)為2.5，則該棱柱的體積為________．課堂小結(jié)1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．2．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．3．簡(jiǎn)單組合體的表面積和體積．8．3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積問題探究1提示：(1)側(cè)面三角形的高為432-32＝35，所以側(cè)面積為3×12×23(2)棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形，一邊是棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長(zhǎng)，如圖①所示；棱錐的側(cè)面展開圖是由若干個(gè)三角形拼成的，如圖②所示；棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由若干個(gè)梯形拼接而成的，如圖③所示．(3)由于剪開的棱不同，同一個(gè)幾何體的表面展開圖可能不相同．但是，不論怎么剪，同一個(gè)多面體的表面展開圖的面積是一樣的．例1解析：如圖，設(shè)底面對(duì)角線AC＝a，BD＝b，交點(diǎn)為O，體對(duì)角線A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵該直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝AC22＋BD22＝a2∴AB＝8.∴直四棱柱的側(cè)面積S側(cè)＝4×8×5＝160.∴直四棱柱的底面積S底＝12AC·BD＝207∴直四棱柱的表面積S表＝160＋2×207＝160＋407.跟蹤訓(xùn)練1解析：因?yàn)樗拿骟wP-ABC的各棱長(zhǎng)均為3，于是得四面體P-ABC的四個(gè)面是全等的正三角形，所以四面體P-ABC的表面積S＝4S△ABC＝4×34AB2＝3×32＝93問題探究2提示：(1)集裝箱是長(zhǎng)方體，所以體積為abc.(2)V＝Sheq\o(?,\s\up6(S′＝S))V＝13(S′＋S'S＋S)heq\o(?,\s\up6(S′＝0))V＝13Sh.例2解析：由V三棱錐A1-D1EF＝V三棱錐F-A1D1E，∵S?A1D1E＝12EA1·A1D1＝14a2，且三棱錐F-A1∴V三棱錐F-A1D1E＝13a∴V三棱錐A1-D跟蹤訓(xùn)練2解析：作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高h(yuǎn)＝22-2下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，所以該棱臺(tái)的體積V＝13h(S1＋S2＋S1S2)＝13×2×(16＋故選D.答案：D例3解析：(1)連接O1A1，O1B1.由正六邊形A1B1C1D1E1F1，可得△O1A1B1為正三角形，所以O(shè)1B1＝A1B1＝4m.取A1B1的中點(diǎn)為Q，連接O1Q，PQ，易得PQ⊥A1B1.所以O(shè)1Q＝O1B12-B1Q2＝42-設(shè)帳篷上部的側(cè)面積為S1，下部的側(cè)面積為S2，則S1＝6×12A1B1·PQ＝48(m2)S2＝6A1B1·OO1＝96(m2)，所以搭建帳篷的表面積為S1＋S2＝48＋96＝144(m2)．(2)由(1)得△O1A1B1的面積S△O1A1B1＝12×A1B1·O1Q＝12所以S六邊形A1B1C1D1上部正六棱錐的體積V1＝13×243×2＝163(m3)下部正六棱柱的體積V2＝243×4＝963(m3)，所求帳篷容積為V1＋V2＝1123(m3)．跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)依題意，該截角四面體由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形和4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正六邊形圍成，截角四面體中，正三角形的面積S1＝12×1×1×32＝邊長(zhǎng)為1的正六邊形的面積S2＝6×12×1×1×32＝所以該截角四面體的表面積為S＝4×34＋4×332＝(2)該截角四面體由棱長(zhǎng)為3的正四面體去掉4個(gè)角上棱長(zhǎng)為1的正四面體而得，棱長(zhǎng)為1的正四面體的高h(yuǎn)＝1-23×322＝63則棱長(zhǎng)為1的正四面體的體積V1＝13×34×12×棱長(zhǎng)為3的正四面體的體積V2＝13×34×32×所以該截角四面體的體積為：V＝V2－4V1＝924－4×212[隨堂練習(xí)]1．解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則其表面積為6a2，故正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來的6倍，則其表面積為6×36a2，擴(kuò)大到原來的36倍，故選D.答案：D2．解析：正四棱錐的斜高h(yuǎn)′＝4，S側(cè)＝4×12×6×4＝48.故選答案：D3．解析：器具是一個(gè)無蓋的正四棱臺(tái)，它上口15厘米，下口12.