復(fù)數(shù)的概念及其運算知識梳理

1、第四節(jié)復(fù)數(shù)的概念及其運算*X方仁山復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1,理解復(fù)數(shù)的基本概念,理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.2,了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算.4,了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念是基礎(chǔ)，解決復(fù)數(shù)問題的基本思路是把復(fù)數(shù)問題實數(shù)化.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算類似多項式的運算，加法類似合并同類項，乘法類似多項式乘以多項式，除法類似分母后埋化，因此要用類比的思想學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的運算問題.知識塞條完善W網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1.復(fù)數(shù)的定義形如a+bi(a,b6R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實部是a,虛部是b(i是虛數(shù)單位).實數(shù)b=0復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)

2、興純虛數(shù)a=0非純虛數(shù)a03,復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,dR).4 .共鈍復(fù)數(shù)a+bi與c+di互為共鈍復(fù)數(shù)？a=c且b=-d(a,b,c,dR).5 .復(fù)數(shù)的模向量戕的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=Vab2(r0,r,a,bR).二、復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.2.實軸、虛軸在復(fù)平面內(nèi),x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸,實軸上的點都表示實數(shù)；除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).3,復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z=a+bi,一時應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)用二.對應(yīng)J平面向量戕.三、復(fù)數(shù)

3、的運算1,復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),貝U(1)加法:zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;減法:zi-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:zi-z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(4)除法：三=土國=abicdi二能當(dāng)+二i(c+di?0).z2cdicdicdic2d一？d22,復(fù)數(shù)加法的運算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何zi,z2,z36C,有zi+Z2=Z2+Zi，(zi+Z2)+z3=zi+(z2+Z3).四、與復(fù)數(shù)運算有關(guān)

4、的結(jié)論1 .(1士i)2=2i.2 .L2=i,LJ=-i.1i1i3 .(a+bi)(a-bi)=a2+b2.4 .(abi)2=a2-b22abi.5 .abi=b-ai.i口拓展空間概念理解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a,bR),虛部是b而不是bi,即實部和虛部都是實數(shù).(2)一個復(fù)數(shù)若為純虛數(shù)， 則既要滿足實數(shù)a=0,又要滿足虛部b?0,兩個條件缺一不可.(3)兩個復(fù)數(shù)一般不能比較大小，只能說相等或不相等.(4)兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實部與虛部分別相等.(5)虛軸上的點除原點外都表示純虛數(shù).(6)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=a+bi的點Z的坐標(biāo)為(a,b),而不是(a,bi).五、復(fù)數(shù)

5、的模設(shè)Zi,Z2是任意兩個復(fù)數(shù)，|Z1Z2|=|z11Tz2|,|至尸件(|Z2|*0).Z2Z2(2)|Zn|=|Z11n(n6N*).(3)|ZI|-|Z2|Zi+Z2|ZI|+|Z2|,等號成立的條件是當(dāng)|Zi+Z2|=|zi|+|z2|時， 即zi,z2所對應(yīng)的向量同向共線； 當(dāng)|Zi|-|Z2|=|Zi+Z2|時，即Zi,Z2所對應(yīng)的向量反向共線.(4)|zi|-|z2|zi-z2|=_2i=2i(1i)=-1-i,1i1i2故Z的虛部為-1,模為質(zhì).答案：-123.若復(fù)數(shù)z滿足|z-3i|=5,求|z+2|的最大值和最小值.解：由復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，|z-3i|=5表示以(0,3

6、)為圓心，以5為半徑的圓上的點.則|z+2|表示該圓上點到點(-2,0)的距離，由圖可知,|z+2|的最大值為5+對，最小值為5-屈.考點三復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算例3(1)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)。等于()34i(A)1-i(B)-1+i尸爭若復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=|4+3i|,則z的虛部為()(A)-4(B)-4(C)4(D)：55解析:(1)M%-=7i34i=2g2gi=1-i.34i34i34i25(A)-4+2i(B)4-2i(C)-2+i(D)2-i故選A.解析:(2)z=2=2_534i34i34i_534i25=3+4i,55所以復(fù)數(shù)z的虛部是4,故選D.5反思?xì)w納(1)復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算；復(fù)數(shù)除法運算的關(guān)鍵是分子、分母同乘以分母的共鈍復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法運算，注意要把i的哥化成最簡形式.(2)將所求復(fù)數(shù)z分離出來，利用復(fù)數(shù)運算法則求解.口遷移訓(xùn)賽1 .已知z=LL,其中i是虛數(shù)單位，則z+z2+z3+-+z2017的值為(C)1i(A)1+i(B)1-i(C)i(D)-i解析：由于z=i,1i所以z+z2+z3+-+z2017=504(i+i2+i3+i4)+i=i,故選C.2 .已知復(fù)數(shù)ZI滿足(z1-2)(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)z2的虛部為2,z1