經(jīng)典控制理論中的時(shí)域分析方法

經(jīng)典控制理論中的時(shí)域分析方法

自動控制在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、國防、科學(xué)和技術(shù)現(xiàn)代化中發(fā)揮著重要作用，在經(jīng)濟(jì)和國防領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。所以,研究自動控制的相關(guān)理論是十分有意義的。所謂的自動控制,就是指在沒有人直接參與的情況下,利用控制器使生產(chǎn)過程或被控對象的某一物理量準(zhǔn)確地按照預(yù)期的規(guī)律運(yùn)行。例如,程序控制機(jī)床能夠按預(yù)先安排的工藝程序自動地進(jìn)行刀切割,加工出預(yù)期的幾何形狀;電弧煉鋼爐的電極能自動地跟隨鋼水的液面作上下移動,以便與液面保持一定的距離?？刂评碚撟鳛橐婚T獨(dú)立的工程學(xué)科,還是1940年以后的10年間形成的,一般公認(rèn)瓦特(WattJ)1770年發(fā)明的控制蒸汽發(fā)動機(jī)速度的飛球調(diào)節(jié)器是最早的控制系統(tǒng)的例子。到了1868年,英國物理學(xué)家麥克斯韋(MaxwellJC)通過調(diào)速系統(tǒng)線性常微分方程的建立和分析,解釋了瓦特速度控制系統(tǒng)不穩(wěn)定的原因,開辟了用數(shù)學(xué)方法研究控制系統(tǒng)的途徑。此后,英國數(shù)學(xué)家勞斯(RouthEJ)和德國數(shù)學(xué)家霍爾維茨(HurwitzA)分別在1877年和1895年獨(dú)立建立了直接根據(jù)代數(shù)方程的系數(shù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則。這些方法奠定了經(jīng)典控制理論中時(shí)域分析法的基礎(chǔ)。1932年,奈奎斯特(NyquistH)提出負(fù)反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性頻(率)域判據(jù),其揭示了系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性G(jw)和閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的本質(zhì)聯(lián)系。1943年,哈爾(HallAC)基于傳遞函數(shù)這一描述系統(tǒng)動態(tài)特性的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型,將通信工程的頻率響應(yīng)法和機(jī)械工程的時(shí)域方法統(tǒng)一為經(jīng)典控制理論的復(fù)數(shù)域方法,傳遞函數(shù)可通過對線性常微分方程進(jìn)行拉普拉斯(Laplace)變換得到,其不僅回避了求高階微分方程的困難,而且可直接應(yīng)用傳遞函數(shù)研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)對性能指標(biāo)的影響,這對人們研究一些復(fù)雜系統(tǒng)的動態(tài)特性提供了很有效的方法。1945年,伯德(BodeHW)出版了《網(wǎng)絡(luò)分析和反饋放大器設(shè)計(jì)》一書,提出了使頻率響應(yīng)法更合適工程應(yīng)用的Bode圖法。1948年,伊凡思(EvansWR)提出了復(fù)數(shù)域分析和設(shè)計(jì)負(fù)反饋系統(tǒng)的方法———根軌跡法。同一年,香農(nóng)的《通信數(shù)學(xué)理論》簡稱為“三論”(控制論、系統(tǒng)論、信息論),共同構(gòu)筑了自動化與科學(xué)技術(shù)的理論基礎(chǔ)。20世紀(jì)50年代至今,自動控制理論的發(fā)展已經(jīng)比較成熟,目前其主要的研究任務(wù)是解決系統(tǒng)的能控性、能觀性、可靠性等問題,作為一個(gè)控制系統(tǒng),該系統(tǒng)的可靠性,也即系統(tǒng)的穩(wěn)定性與否,直接關(guān)系到整個(gè)系統(tǒng)的安全是否可行,在實(shí)際生活中也必為人們所關(guān)心和考慮的,所以顯得尤為重要,很多學(xué)者都致力于這方面的研究。本文是在的基礎(chǔ)上,通過應(yīng)用Lyapunov第二方法,借助于其給出的Lyapunov函數(shù)討論并給出了一類類似非線性控制系統(tǒng)的平凡解全局穩(wěn)定性的條件。同時(shí),給出了該類非線性控制系統(tǒng)在實(shí)際中應(yīng)用的例子。1n維非線性系統(tǒng)中的定理下面我們將給出文獻(xiàn)中關(guān)于實(shí)函數(shù)定號性及非線性系統(tǒng)穩(wěn)定的一些定義。定義1設(shè)x∈Rn,Ω是Rn中包含原點(diǎn)的一個(gè)區(qū)域,若實(shí)函數(shù)V(x)對任意的n維非零向量x∈Ω都有V(x)>0;當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),才能有V(x)=0,則稱V(x)為域Ω上的正定函數(shù)。定義2設(shè)x∈Rn,Ω是Rn中包含原點(diǎn)的一個(gè)區(qū)域,若實(shí)函數(shù)V(x)對任意的n維非零向量x∈Ω都有V(x)<0;當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),才能有V(x)=0,則稱V(x)為域Ω上的負(fù)定函數(shù)。若對任意的n維非零向量x∈Ω,都有V(x)≥0,且V(0)=0,則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域Ω上的非負(fù)定函數(shù)。若對任意的n維非零向量x∈Ω,都有V(x)≤0,且V(0)=0,則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域Ω上的非正定函數(shù)。若無論取多么小的原點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域,V(x)可為正值也可為負(fù)值,則稱函數(shù)V(x)為不定函數(shù)。定義3若取函數(shù)V(x)正定,且當(dāng)‖x‖→∞時(shí),蘊(yùn)含V(x)→∞,則稱函數(shù)V(x)∈C|Rn,R|在Rn上的無窮大正定的。對于如下的n維非線性系統(tǒng)其中,x=col(x1,x2,…xn),f(t,x)=col(f1(t,x),f2(t,x),…fn(t,x))對于Ωue01bRn,Ω為含原點(diǎn)的Rn空間的n維開子集,f∈c[Ω,Rn],保證方程組(1)解的唯一性。定義4若對于ue02f?σ>0,ue02f?t0∈I,ue055δ(σ,t0),ue02f?x0,當(dāng)‖x0‖≤δ(σ,t0)時(shí),對一切t≥t0,有x‖(t,t0,x0)‖<σ成立,則稱方程組(1)的平凡解是穩(wěn)定的。定義5若對于ue02f?t0≥τ,ue02f?σ>0,ue055σ(t0)>0,ue055T(σ,t0,x0)>0,當(dāng)‖x0‖≤σ(t0),t≥t0+T(σ,t0,x0)時(shí),有則稱方程組(1)的平凡解是吸引的。定義6若對于ue02f?t0≥τ,ue02f?σ>0,ue055T(σ,t0,x0)>0,當(dāng)t≥t0+T(σ,t0,x0)時(shí),有則稱方程組(1)的平凡解是全局吸引的。定義7若方程組(1)的平凡解是穩(wěn)定且是全局吸引的,則稱方程組(1)的平凡解是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的(簡稱全局穩(wěn)定的)。對于如下的n維非線性系統(tǒng)其中,x=col(x1,x2,…xn),f(x)=col(f1(x),f2(x),…fn(x)),f:D∈Rn→Rn連續(xù),0∈D連續(xù)保證(2)式解的唯一性。我們有如下的引理。引理(克拉索夫斯基)若存在可微的無窮大正定的函數(shù):V(x)∈C|Rn,Rn|,使且集合中除x=0外不含(2)式的整條正半軌線,則(2)式的平凡解是全局穩(wěn)定的。2有窮大定理2,2,3,5.考慮如下的非線性控制系統(tǒng)其中i,j=1,2,…,n.y∈R,aij(t)>0,c(t)<0,f(0)=0,yf(y)>0(y≠0),d(t)>0定理1若則系統(tǒng)(3)的平凡解是全局穩(wěn)定的。證明對于非線性控制系統(tǒng)(3),我們考慮用Lyapunov第二方法來證明該系統(tǒng)(3)平凡解的穩(wěn)定性,現(xiàn)作Lyapunov函數(shù)如下:由于yf(y)>0(y≠0),故可知上面的V函數(shù)是正定的?，F(xiàn)在我們沿著系統(tǒng)(3)對V函數(shù)關(guān)于t求導(dǎo)得且中不含有非零的整條正半軌線,又上面構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)知當(dāng)‖(x1,x2…xn,y)‖→+∞時(shí),V→+∞時(shí),即其為無窮大正定函數(shù)。從而由上面得克拉索夫斯基引理知非線性控制系統(tǒng)(3)的平凡解是全局穩(wěn)定的。類似于上面定理1的證明方法,我們可以證明下面系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性其中i,j=1,2,…,n,y∈R,而aij(t),bi(t),ci(t),c(t),d(t),e(t)都是連續(xù)有界函數(shù)f(0)=0,yf(y)>0(y≠0).定理2若,則系統(tǒng)(4)的平凡解是全局穩(wěn)定的。證明對于非線性控制系統(tǒng)(4),我們用上面類似的方法,考慮用Lyapunov第二方法來證明該系統(tǒng)(4)平凡解的穩(wěn)定性,現(xiàn)還是作Lyapunov函數(shù)如下:由于yf(y)>0(y≠0),故可知上面的V函數(shù)是正定的?，F(xiàn)在我們沿著系統(tǒng)(4)對V函數(shù)關(guān)于t求導(dǎo)得且中不含有非零的整條正半軌線,又上面構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)知當(dāng)‖(x1,x2…xn,y)‖→+∞時(shí),V→+∞時(shí),即其為無窮大正定函數(shù)。從而由上面得克拉索夫斯基引理知非線性控制系統(tǒng)(4)的平凡解是全局穩(wěn)定的。3非線性系統(tǒng)5的執(zhí)法方向例飛機(jī)縱向飛行方程可表示為下面的式子其中i=1,2,3,4,y∈R,而ai(t)>0,r>0,p<0,f(0)=0,yf(y)>0(y≠0)易見其為非線性系統(tǒng)(5)的特例,這里只要非線性系統(tǒng)(5)滿足條件,該系統(tǒng)(5)的平凡解就是全局穩(wěn)定的。證明過程如下:由于yf(y)>0(y≠0)故可知上面的V函數(shù)是正定的,現(xiàn)在我們沿著系統(tǒng)(5)對V函數(shù)關(guān)于t求導(dǎo)得且中不含有非零的整條正半軌線,又有上面構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)知當(dāng)‖(x1,x2,x3,x4,y)‖→+∞時(shí),V→+∞,即其為無窮大正定函數(shù)。從而由上面的克拉索夫斯基引理知非線性控制系統(tǒng)(5)的平凡解是全局穩(wěn)定的。例考慮如下系統(tǒng)我們用定理2來證明其平凡解是全局穩(wěn)定的,下面我們就來驗(yàn)證系統(tǒng)(6)是否滿