專題09 勾股定理中的最短路徑模型（原卷版）

專題09.勾股定理中的的最短路徑模型勾股定理中的最短路線問(wèn)題通常是以“兩點(diǎn)之間，線段最短”為基本原理推出的。人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)中的最短路線問(wèn)題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問(wèn)題，對(duì)于平面內(nèi)的最短路線問(wèn)題可先畫(huà)出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對(duì)于幾何題內(nèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開(kāi)后兩個(gè)端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長(zhǎng)的一半進(jìn)行計(jì)算。注意：1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長(zhǎng)度后乘以圈數(shù)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·陜西·八年級(jí)期中）如圖，有一個(gè)圓柱形杯子，其底面圓周長(zhǎng)為，高為，現(xiàn)在要以點(diǎn)為起點(diǎn)環(huán)繞杯子表面纏彩色膠帶，終點(diǎn)正好落在點(diǎn)的正上方的點(diǎn)處，則彩色膠帶最短要（

）

A． B． C． D．例2．（2023·廣東·八年級(jí)期中）如圖，一個(gè)底面圓周長(zhǎng)為24cm，高為9cm的圓柱體，一只螞蟻從距離上邊緣4cm的點(diǎn)A沿側(cè)面爬行到相對(duì)的底面上的點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的最短路線長(zhǎng)為（）A． B．15cm C．14cm D．13cm例3．（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)校考期中）春節(jié)期間，某廣場(chǎng)用彩燈帶裝飾了所有圓柱形柱子．為了美觀，每根柱子的彩燈帶需要從A點(diǎn)沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的B點(diǎn)，如圖所示，若每根柱子的底面周長(zhǎng)均為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長(zhǎng)度為_(kāi)_____米．模型2.長(zhǎng)方體中的最短路徑模型【模型解讀】長(zhǎng)方體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟長(zhǎng)方體有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要熟悉長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的多種情況和分類討論。注意：1）長(zhǎng)方體展開(kāi)圖分類討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類相同?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為和，高為．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B，那么所用細(xì)線最短需要(

)

A． B． C． D．例2．（2022秋·山西太原·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是放在地面上的一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其中，，，點(diǎn)M在棱上，且，N是的中點(diǎn)，一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體盒子的表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N，它需要爬行的最短路程為（

）

A． B． C． D．例3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用7個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，沿著該幾何體的表面從點(diǎn)M到點(diǎn)N的所有路徑中，最短路徑的長(zhǎng)是（

）A．5 B． C． D．例4．（2023秋·廣西·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一大樓的外墻面與地面垂直，點(diǎn)P在墻面上，若米，點(diǎn)P到的距離是8米，有一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B，它的最短行程是（

）米．A． B． C． D．模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)臺(tái)階示意圖，每一層臺(tái)階的高都是20，寬都是50，長(zhǎng)都是40，一只螞蟻沿臺(tái)階從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B，其爬行的最短線路的長(zhǎng)度是（

）A．100 B．120 C．130 D．150例2．（2023春·四川成都·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．例3．（2023春·重慶八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)長(zhǎng)為米,寬為米的長(zhǎng)方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬，木塊的主視圖是邊長(zhǎng)為1米的正三角形，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是______米．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問(wèn)題：對(duì)稱+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問(wèn)題需要先作對(duì)稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解。【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·安徽蕪湖·八年級(jí)校考期末）如圖，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)離杯底的點(diǎn)處有滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜點(diǎn)的最短距離為（

）

A．8 B．10 C．8 D．12例2.（2022·陜西·八年級(jí)期中）有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內(nèi)壁處有一粒食物，且，一只小蟲(chóng)想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)的處吃掉食物．（1）你認(rèn)為小蟲(chóng)應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請(qǐng)你畫(huà)出它爬行的最短路線，并用箭頭標(biāo)注．（2）求小蟲(chóng)爬行的最短路線長(zhǎng)（不計(jì)缸壁厚度）．例3．（2023春·重慶江津·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，要在河邊修一個(gè)水泵站，分別向、兩村送水，已知、兩村到江邊的距離分別為和，且、兩村相距km．

(1)水泵站應(yīng)修建在何處，可使所用水管最短，請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)出水泵站的位置；(2)若鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米元，為了使鋪設(shè)水管費(fèi)用最節(jié)省，請(qǐng)求出最節(jié)省鋪設(shè)水管的費(fèi)用為多少元？課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）圓柱形杯子的高為，底面周長(zhǎng)為，已知螞蟻在外壁處(距杯子上沿)發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)(距杯子下沿)，則螞蟻從處爬到處的最短距離為(

)

A．10 B．28 C．20 D．242．（2023·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，是側(cè)面正方形對(duì)角線的交點(diǎn)．一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路徑是（

）

A． B． C． D．3．（2023春·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是樓梯的一部分，若，，，一只螞蟻在處發(fā)現(xiàn)處有一塊糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（）

A． B．3 C． D．54．（2023春·河北廊坊·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為一條棱的中點(diǎn)．螞蟻在正方體側(cè)面爬行，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程是（

）

A． B． C． D．5．（2023春·廣東珠海·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，圓柱的底面周長(zhǎng)為6，高為4，螞蟻在圓柱表面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是（

）

A． B．5 C． D．106．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則需要爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．7．（2023秋·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，用7個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，沿著該幾何體的表面從點(diǎn)M到點(diǎn)N的所有路徑中，最短路徑的長(zhǎng)是（

）A．5 B． C． D．8．（2022秋·寧夏銀川·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線是一條河，A，兩地到的距離和分別長(zhǎng)為，，且，欲在上的某點(diǎn)處修建一個(gè)水泵站，向A，兩地供水，其中鋪設(shè)最短的管道長(zhǎng)是．9．（2021秋·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）圓柱形杯子的高為，底面周長(zhǎng)為，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為．

10．（2023春·湖南永州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于點(diǎn)處，它想從正方體的表面爬行到點(diǎn)處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為．

11．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體木箱，點(diǎn)在上底面的棱上，，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿木箱表面爬行到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程是．

12．（2023春·山東德州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一圓柱高，底面周長(zhǎng)為，現(xiàn)需按如圖方式纏繞一圈彩帶進(jìn)行裝飾，則彩帶最短要用．

13．（2023秋·山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）攀巖是一項(xiàng)在天然巖壁或人工巖壁上進(jìn)行的向上攀爬的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．如圖，攀巖墻近似一個(gè)長(zhǎng)方體的兩個(gè)側(cè)面，小天根據(jù)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)確地判斷出從點(diǎn)攀爬到點(diǎn)的最短路徑為米．

14．（2023春·山東濱州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，小紅想用一條彩帶纏繞易拉罐，正好從A點(diǎn)繞到正上方B點(diǎn)共四圈，已知易拉罐底面周長(zhǎng)是12cm，高是20cm，那么所需彩帶最短的是．15．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，若圓柱的底面半徑是，高是，從圓柱底部處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部處，則這條絲線的最小長(zhǎng)度是．16．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）棱長(zhǎng)分別為兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)P在上，且，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P，需要爬行的最短距離是．17．（2023秋·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，教室的墻面與地面垂直，點(diǎn)在墻面上．若米，點(diǎn)到的距離是6米，有一只螞蟻要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它的最短行程是米．18．（2023春·云南昭通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，河的同側(cè)有、兩個(gè)村，且，、兩村到河的距離分別為，．現(xiàn)要在河邊上建一水廠分別向、兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)每千米需2000元．請(qǐng)你在河岸上選擇水廠位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用（元）．

19．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高，點(diǎn)M在上．且．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)一只螞蟻如果耍沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M，需要爬行的最短距離是多少?

20．（2023秋·海南?？凇ぐ四昙?jí)校考期末）問(wèn)題情境：如圖①，一只螞蟻在一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形地毯上爬行，地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱平行且等于場(chǎng)地寬，木塊從正面看是一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，求一只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程．

(1)數(shù)學(xué)抽象：將螞蟻爬行過(guò)的木塊的側(cè)面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”，請(qǐng)?jiān)趫D②中用虛線補(bǔ)全木塊的側(cè)面展開(kāi)圖，并用實(shí)線連接．(2)線段的長(zhǎng)即螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程，依據(jù)是_________；(3)問(wèn)題解決：求出這只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程．21．（2023·湖北·八年級(jí)校考階段練習(xí)）數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題