第02講 角與角的比較(8類熱點題型講練)（原卷版）

第02講角與角的比較(8類熱點題型講練)1.掌握角的定義及其表示及角的分類；2.掌握角的單位轉(zhuǎn)化及計算；3.掌握鐘面角與方位角的計算.4.掌握角的大小比較的方法；5.掌握角平分線的定義及相關(guān)計算；6.掌握角的n等分的相關(guān)計算；知識點01角的概念定義1：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．定義2：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．知識點02角的表示方法表示方法圖例記法適用范圍用三個大寫字母表示OAOABBAOB或BOA任何情況下都適應(yīng).表示端點的字母必須寫在中間用一個大寫字母表示AAA以這個點為頂點的角只有一個用數(shù)字表示111任何情況下都適用.但必須在靠近頂點處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母用希臘字母表示知識點03鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．知識點04角的大小比較方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB<∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB=∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB>∠A′O′B′．知識點05角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB=∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1=∠AOB-∠2．【說明】（1）用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．（2）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識點06角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，∠AOC=∠BOC=∠AOB．題型01角的概念及表示方法【典例1】（2023春·河北承德·七年級?？奸_學(xué)考試）下列說法中，正確的是（

）A．一個周角就是一條射線 B．平角是一條直線C．角的兩邊越長，角就越大 D．也可以表示為【變式1】（2023秋·全國·七年級課堂例題）如圖所示，回答下列問題：(1)寫出能用一個字母表示的角：________________；(2)寫出以點B為頂點的角________________；(3)圖中共有______________個小于平角的角．【變式2】（2023秋·七年級課時練習(xí)）根據(jù)給出的圖回答下列問題：

(1)表示成，這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應(yīng)該怎樣改正？(2)圖中哪個角可以用一個字母來表示？(3)以為頂點的角有幾個？請表示出來．(4)與是同一個角嗎？請說明理由．(5)圖中共有幾個小于平角的角？題型02鐘面角【典例2】（2023春·陜西西安·七年級校考開學(xué)考試）8點30分時刻，鐘表上時針與分針?biāo)M成的角為度．【變式1】（2023秋·湖南衡陽·七年級?？奸_學(xué)考試）李老師從家出發(fā)去單位上班，到單位的時間是，那么這段時間，分針走了°，時針走了°．【變式2】（2023春·山西太原·七年級?？茧A段練習(xí)）我校下午到校時間為14時10分，則此時刻鐘表上的時針與分針的夾角為度．題型03與方向角有關(guān)的計算題【典例3】（2023春·湖北十堰·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在燈塔處觀測到輪船位于北偏西的方向，同時輪船在南偏東的方向，那么的大小為（

）

A． B． C． D．【變式1】（2023秋·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，甲從點A出發(fā)向北偏東方向走到點，乙從點A出發(fā)走到點，若，則乙從點A出發(fā)沿（

）方向走到點

A．南偏西 B．西偏南 C．南偏西 D．西偏南【變式2】（2023秋·全國·七年級課堂例題）小麗、小影、小華三人每天相約在如圖所示的早餐店碰面，小麗家在早餐店南偏西方向上，小影家在點處，小華家在早餐店東南方向上，，且早餐店到小華家與小麗家的距離相等．

(1)在圖中畫出小華家的位置；(2)求的度數(shù)；(3)若，請說出小影家相對于早餐店的位置．題型04角的單位與角度制【典例4】（2023秋·全國·七年級課堂例題）計算：（1）′；（2）；（3）．【變式1】（2023秋·全國·七年級課堂例題）（1）1周角平角直角；（2）′=″；（3）′，．【變式2】（2023秋·全國·七年級課堂例題）計算：（1）；

（2）；（3）；

（4）．題型05角的比較【典例5】（2023秋·七年級課時練習(xí)）如圖，，則與的大小關(guān)系是（

）

A． B．C． D．與無法比較大小【變式1】（2023秋·湖南郴州·七年級校聯(lián)考期末）如圖，若，則與的大小關(guān)系是（

）．A． B．C． D．不能確定【變式2】（2023秋·八年級課時練習(xí)）在圖中所示的4×4的網(wǎng)格中，記，，，則，，從小到大的排列順序是．

題型06三角板中角度計算問題【典例6】（2023春·山東淄博·六年級?？茧A段練習(xí)）將一副直角三角尺如圖放置，若，則等于．

【變式1】（2023秋·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直角三角板的直角頂點O在直線上，線段，是三角板的兩條直角邊，射線是的平分線．

(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時，_________（用含α的式子表示）．【變式2】（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）如圖所示，以直線上的一點O為端點，在直線的上方作射線，使．將一塊直角三角尺的直角頂點放在點O處，且直角三角尺（）在直線的上方．設(shè)．

(1)當(dāng)時，求的大?。?2)若時，求的值．題型07角平分線的有關(guān)計算【典例7】（2023秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）已知O為直線上一點，是直角，平分．

(1)如圖①，若，則__________；若，則__________；與的數(shù)量關(guān)系為__________；(2)當(dāng)射線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，（1）中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．【變式1】（2023秋·七年級課時練習(xí)）如圖所示，是平角，分別是的平分線．

(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時，求的度數(shù)．【變式2】（2023秋·江蘇徐州·七年級校考階段練習(xí)）（1）如圖1所示，已知，平分，、分別平分、，求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）中把“平分”改為“是內(nèi)任意一條射線”，其他任何條件都不變，試求的度數(shù)；（3）如圖3，在（1）中把“平分”改為“是外的一條射線且點C與點B在直線的同側(cè)”，其他任何條件都不變，請你直接寫出的度數(shù)題型08角n等分線的有關(guān)計算【典例8】（2023秋·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【變式1】（2023秋·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期末）定義：從的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為（

）A．或或 B．或或 C．或或 D．或或【變式2】（2023秋·福建龍巖·七年級統(tǒng)考期末）已知，以射線為起始邊，按順時針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.(1)如圖1，當(dāng)時，若，求的度數(shù)；(2)備用圖①，當(dāng)時，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)備用圖②，當(dāng)時，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).一、單選題1．（2023秋·七年級課時練習(xí)）如圖，下列表示角的方法，錯誤的是（

）

A．與表示同一個角B．也可用來表示C．圖中共有三個角：，，D．表示的是2．（2023秋·七年級課時練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．3．（2023秋·山西忻州·七年級統(tǒng)考期末）下列運算正確的是（）A． B．C． D．4．（2023春·山東菏澤·七年級?？茧A段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，，過點作射線，使得，則為(

)A． B． C．或 D．或5．（2023春·河南信陽·七年級校考開學(xué)考試）如圖，點是直線上一點，平分，則以下結(jié)論：①與互為余角；②；③；④若，則．其中正確的是（

）

A．只有①④ B．只有①③④C．只有③④ D．①②③④二、填空題6．（2023春·山東泰安·六年級?？计谥校┯嬎悖海?．（2023春·廣東河源·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖，，平分，，則度．

8．（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級?？计谀┤鐖D所示，兩個直角三角形的直角頂點重合，如果，那么

9．（2023秋·七年級課時練習(xí)）小明利用星期天搞社會調(diào)查活動，早晨8：00出發(fā)，中午12：30到家，小明到家時時針和分針夾角的度數(shù)是．

10．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，射線繞點從位置開始，以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)；同時，射線繞點從位置開始，以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并且當(dāng)與成角時，與同時停止旋轉(zhuǎn)．則在旋轉(zhuǎn)的過程中，經(jīng)過秒，與的夾角是．

三、解答題11．（2023秋·河南漯河·七年級?？计谀┤鐖D，為直線上一點，，平分，．(1)填空：___________；(2)求的度數(shù)；(3)試判斷是否平分，并說明理由．12．（2023秋·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）如圖①，貨輪?？吭邳c，發(fā)現(xiàn)燈塔在它的東北（東偏北或北偏東）方向上．貨輪在碼頭的西北方向上．

(1)仿照表示燈塔方位的方法，畫出表示貨輪方向的射線；(2)如圖②，兩艘貨輪從碼頭出發(fā)，貨輪向東偏北的的方向行駛，貨輪向北偏西的方向航行，求的度數(shù)．13．（2023春·山東青島·六年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分．

(1)求的度數(shù)；(2)如果，那么是多少度？(3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示)14．（2023秋·廣西桂林·七年級統(tǒng)考期末）將直角三角板的直角頂點O放