專題01 相似三角形重要模型-（雙）A字型與（雙）8字型（原卷版）

專題01相似三角形重要模型--（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應用難點在于過分割點(將線段分割的點)作平行線構造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點在模考中無論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．(1)若，求線段AD的長．(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．例2．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D，在中，、分別是、邊上的高．求證：．例3．（2022·山東東營·中考真題）如圖，在中，點F、G在上，點E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長為____________．例4．（2022·浙江寧波·中考真題）(1)如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為上的點，交于點G，求證：．(2)如圖2，在（1）的條件下，連接．若，求的值．(3)如圖3，在中，與交于點O，E為上一點，交于點G，交于點F．若平分，求的長．例5.（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點D是邊BC的中點，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·河北·中考真題）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點是邊長為1個單位長的小正方形頂點，釘點A，B的連線與釘點C，D的連線交于點E，則（1）AB與CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______．例2.（2022·廣西·中考模擬）如圖，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，點D在BE延長線上，且BA?BC＝BD?BE．（1）求證：△ABD∽△EBC；（2）求證：AD2＝BD?DE．例3.（2023·浙江九年級期中）如圖，AD與BC交于點O，EF過點O，交AB與點E，交CD與點F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．（1）求證：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求證：例4．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側，，與相交于點O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當與重合時，連接，若，求的長；②如圖3，當時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結論：AF=AG例1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點D為邊上任一點，交于點E，連接相交于點F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．例2．（2023·浙江·杭州九年級期中）如圖，中，中線，交于點，交于點．（1）求的值．（2）如果，，請找出與相似的三角形，并挑出一個進行證明．例2.（2023·廣東九年級期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點E、F，DF交對角線AC于點M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求證：CE＝AF；（2）連接ME，若＝，AF＝2，求的長．例3.（2022·浙江九年級期中）如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點E，點F在線段BC上，ABCD=12，BFCF=12．（1）求證：AB∥EF；（2）求S△ABE：例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．課后專項訓練1.（2021·山東淄博·中考真題）如圖，相交于點，且，點在同一條直線上．已知，則之間滿足的數(shù)量關系式是（

）A． B． C． D．2.（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谀┤鐖D，中，是它的角平分線，是上的一點，交于點，交于點為的中點，若，，則（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC，BE交于點F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．144．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，對角線與相交于點E，，，，，則對角線與的長分別是（

）

A．，B．，C．，D．，5．（2022秋·山西晉中·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，點F在平行四邊形的邊上，延長交的延長線于點E，交于點O，若，則的值為（

）

A． B． C．2 D．6．（2023·福建福州·?？级＃┰跀?shù)學綜合實踐課上，某學習小組計劃制作一個款式如圖所示的風箏．在骨架設計中，兩條側翼的長度設計，風箏頂角的度數(shù)為，在上取D，E兩處，使得，并作一條骨架．在制作風箏面時，需覆蓋整個骨架，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，B，C兩點間的距離大約是（）（參考數(shù)據(jù)：）

A．41 B．57 C．82 D．1437．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝．8．（2023春·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是，，上的點，且，，，，則cm．

9．（2022秋·山西呂梁·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，的垂直平分線與的延長線交于點，與交于點，若，則的長為．

10．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點處，與相交于O，則．

11.已知：如圖，點D，F(xiàn)在△ABC邊AC上，點E在邊BC上，且DE∥AB，CD2＝CF?CA．（1）求證：EF∥BD；（2）如果AC?CF＝BC?CE，求證：BD2＝DE?BA．12．[閱讀理解]構造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點問題．例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點，E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F，則易證E是線段DF的中點．[經驗運用]請運用上述閱讀材料中所積累的經驗和方法解決下列問題．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE＝CF，連接EF交AC于點G．求證：①G是EF的中點；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE＝2CF，連接EF交AC于點G．探究BE和CG之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，若點E在BA的延長線上，點F在線段BC上，DF交AC于點H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它條件不變，請直接寫出GH的長．13．（2022·湖南常德·九年級?？计谥校┤鐖D1，ΔABC中，AB=AC，點D在BA的延長線上，點E在BC上，DE=DC，點F是DE與AC的交點．（1）求證：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，過點E作EG//AC交AB于點G，求證：AB=2AG；（3）將“點D在BA的延長線上，點E在BC上”改為“點D在AB上，點E在CB的延長線上”，“點F是DE與AC的交點”改為“點F是ED的延長線與AC的交點”，其它條件不變，如圖2．①求證：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，請直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．14．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點P是邊上的動點，連接并延長交直線于點E，將沿直線折疊得到，直線交直線于F．

(1)求證：．(2)若四邊形為菱形，且．求的值．(3)若點P為的中點，在改變長度的過程中，當成為以為腰的等腰三角形時，求的長．15．（2023秋·山西晉城·九年級校考期末）實踐與探究：如圖1，在中，，，．點P是邊上的動點（不與A