專題01 相似三角形重要模型-（雙）A字型與（雙）8字型（原卷版）

專題01相似三角形重要模型--（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點(diǎn)講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應(yīng)用難點(diǎn)在于過分割點(diǎn)(將線段分割的點(diǎn))作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長(zhǎng)中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點(diǎn)在模考中無論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角），再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．(1)若，求線段AD的長(zhǎng)．(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．例2．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，、分別是、邊上的高．求證：．例3．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)F、G在上，點(diǎn)E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長(zhǎng)為____________．例4．（2022·浙江寧波·中考真題）(1)如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為上的點(diǎn)，交于點(diǎn)G，求證：．(2)如圖2，在（1）的條件下，連接．若，求的值．(3)如圖3，在中，與交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F．若平分，求的長(zhǎng)．例5.（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·河北·中考真題）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)的小正方形頂點(diǎn)，釘點(diǎn)A，B的連線與釘點(diǎn)C，D的連線交于點(diǎn)E，則（1）AB與CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______．例2.（2022·廣西·中考模擬）如圖，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，點(diǎn)D在BE延長(zhǎng)線上，且BA?BC＝BD?BE．（1）求證：△ABD∽△EBC；（2）求證：AD2＝BD?DE．例3.（2023·浙江九年級(jí)期中）如圖，AD與BC交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O，交AB與點(diǎn)E，交CD與點(diǎn)F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．（1）求證：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求證：例4．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點(diǎn)C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點(diǎn)O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當(dāng)與重合時(shí)，連接，若，求的長(zhǎng)；②如圖3，當(dāng)時(shí)，連接并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)F，連接．求證：．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結(jié)論：AF=AG例1．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接相交于點(diǎn)F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．例2．（2023·浙江·杭州九年級(jí)期中）如圖，中，中線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求的值．（2）如果，，請(qǐng)找出與相似的三角形，并挑出一個(gè)進(jìn)行證明．例2.（2023·廣東九年級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點(diǎn)E、F，DF交對(duì)角線AC于點(diǎn)M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求證：CE＝AF；（2）連接ME，若＝，AF＝2，求的長(zhǎng)．例3.（2022·浙江九年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段BC上，ABCD=12，BFCF=12．（1）求證：AB∥EF；（2）求S△ABE：例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點(diǎn)O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點(diǎn)O作EF∥AB分別交BC、AD于點(diǎn)E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點(diǎn)，DE交OC于點(diǎn)M，作MN∥OB交OA于一點(diǎn)N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長(zhǎng)度．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1.（2021·山東淄博·中考真題）如圖，相交于點(diǎn)，且，點(diǎn)在同一條直線上．已知，則之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（

）A． B． C． D．2.（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，中，是它的角平分線，是上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，，則（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．144．（2023秋·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)E，，，，，則對(duì)角線與的長(zhǎng)分別是（

）

A．，B．，C．，D．，5．（2022秋·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)F在平行四邊形的邊上，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)O，若，則的值為（

）

A． B． C．2 D．6．（2023·福建福州·?？级＃┰跀?shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，某學(xué)習(xí)小組計(jì)劃制作一個(gè)款式如圖所示的風(fēng)箏．在骨架設(shè)計(jì)中，兩條側(cè)翼的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)，風(fēng)箏頂角的度數(shù)為，在上取D，E兩處，使得，并作一條骨架．在制作風(fēng)箏面時(shí)，需覆蓋整個(gè)骨架，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，B，C兩點(diǎn)間的距離大約是（）（參考數(shù)據(jù)：）

A．41 B．57 C．82 D．1437．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在中，，D是上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，連接交于點(diǎn)F，若，則＝．8．（2023春·山東東營(yíng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是，，上的點(diǎn)，且，，，，則cm．

9．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．

10．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，與相交于O，則．

11.已知：如圖，點(diǎn)D，F(xiàn)在△ABC邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，且DE∥AB，CD2＝CF?CA．（1）求證：EF∥BD；（2）如果AC?CF＝BC?CE，求證：BD2＝DE?BA．12．[閱讀理解]構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點(diǎn)問題．例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則易證E是線段DF的中點(diǎn)．[經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用]請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問題．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE＝CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．求證：①G是EF的中點(diǎn)；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE＝2CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．探究BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在線段BC上，DF交AC于點(diǎn)H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它條件不變，請(qǐng)直接寫出GH的長(zhǎng)．13．（2022·湖南常德·九年級(jí)校考期中）如圖1，ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC上，DE=DC，點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)．（1）求證：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，過點(diǎn)E作EG//AC交AB于點(diǎn)G，求證：AB=2AG；（3）將“點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC上”改為“點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上”，“點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)”改為“點(diǎn)F是ED的延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn)”，其它條件不變，如圖2．①求證：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，請(qǐng)直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．14．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)E，將沿直線折疊得到，直線交直線于F．

(1)求證：．(2)若四邊形為菱形，且．求的值．(3)若點(diǎn)P為的中點(diǎn)，在改變長(zhǎng)度的過程中，當(dāng)成為以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．15．（2023秋·山西晉城·九年級(jí)?？计谀?shí)踐與探究：如圖1，在中，，，．點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與A