模塊4：概率統(tǒng)計(jì) 高二下學(xué)期末數(shù)學(xué)統(tǒng)考復(fù)習(xí)講義

模塊4：概率統(tǒng)計(jì)[例1:]某商超為慶祝店慶十周年,準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元,則可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng),主辦方設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案∶方案①∶一個(gè)不透明的盤子中裝有12個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中3個(gè)紅球,9個(gè)白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球,若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券,且顧客有放回地抽取3次.方案②∶一個(gè)不透明的盒子中裝有12個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中3個(gè)紅球,9個(gè)白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球,若抽到紅球則顧客獲得100元的返金券,若抽到白球則未中獎(jiǎng),且顧客有放回地抽取3（1）現(xiàn)有一位顧客消費(fèi)了420元,獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),試求這位顧客獲得180元返金券的概率；（2）如果某顧客獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).那么他選擇哪種方案更劃算.[例2:]為有效預(yù)防新冠肺炎對(duì)老年人的侵害，某醫(yī)院到社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況．從該社區(qū)全體老年人中，隨機(jī)抽取12名進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)（百分制）繪制莖葉圖如下．根據(jù)老年人體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)，可知成績(jī)不低于80分為優(yōu)良，且體質(zhì)優(yōu)良的老年人感染新冠肺炎的可能性較低．（Ⅰ）從抽取的12人中隨機(jī)選取3人，記表示成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）將頻率視為概率，根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，在該社區(qū)全體老年人中依次抽取10人，若抽到人的成績(jī)是優(yōu)良的可能性最大，求的值．[例3:]為迎接2020年國(guó)慶節(jié)的到來(lái)，某電視臺(tái)舉辦愛(ài)國(guó)知識(shí)問(wèn)答競(jìng)賽，每個(gè)人隨機(jī)抽取五個(gè)問(wèn)題依次回答，回答每個(gè)問(wèn)題相互獨(dú)立.若答對(duì)一題可以上升兩個(gè)等級(jí)，回答錯(cuò)誤可以上升一個(gè)等級(jí)，最后看哪位選手的等級(jí)高即可獲勝.甲答對(duì)每個(gè)問(wèn)題的概率為，答錯(cuò)的概率為.（1）若甲回答完5個(gè)問(wèn)題后，甲上的臺(tái)階等級(jí)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）若甲在回答過(guò)程中出現(xiàn)在第個(gè)等級(jí)的概率為，證明：為等比數(shù)列.[例4:]共享交通工具的出現(xiàn)極大地方便了人們的生活，也是當(dāng)下一個(gè)很好的發(fā)展商機(jī).某公司根據(jù)市場(chǎng)發(fā)展情況推出共享單車和共享電動(dòng)車兩種產(chǎn)品.市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，由于兩種產(chǎn)品中共享電動(dòng)車速度更快，故更受消費(fèi)者歡迎，一般使用共享電動(dòng)車的概率為，使用共享單車的概率為.該公司為了促進(jìn)大家消費(fèi)，使用共享電動(dòng)車一次記2分，使用共享單車一次記1分.每個(gè)市民各次使用共享交通工具選擇意愿相互獨(dú)立，市民之間選擇意愿也相互獨(dú)立.（1）從首次使用共享交通工具的市民中隨機(jī)抽取3人，記總得分為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記某一市民已使用該公司共享交通工具的累計(jì)得分恰為分的概率為(比如：表示累計(jì)得分為1分的概率，表示累計(jì)得分為2分的概率，)，試探求與之間的關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.[例5:]2020年國(guó)慶節(jié)期間,我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握國(guó)慶節(jié)期間車輛出行的高峰情況,在某高速公路收費(fèi)站點(diǎn)記錄了3日上午9:20~10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù),統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn),它們通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖所示,其中時(shí)間段9:20~9:40記作、9:40~10:00記作,10:00~10:20記作,10:20~10:40記作,例如：10點(diǎn)04分,記作時(shí)刻64.（1）估計(jì)這600輛車在9:20~10:40時(shí)間內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛,再?gòu)倪@10輛車隨機(jī)抽取4輛,設(shè)抽到的4輛車中,在9:20~10:00之間通過(guò)的車輛數(shù)為X,求X的分布列；（3）根據(jù)大數(shù)據(jù)分析,車輛在每天通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布,其中可用3日數(shù)據(jù)中的600輛車在9:20~10:40之間通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替,用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.假如4日全天共有1000輛車通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn),估計(jì)在9:46~10:40之間通過(guò)的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.附：若隨機(jī)變量T服從正態(tài)分布,則,,.[例6:]2020年某市教育主管部門為了解近期舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽的情況,隨機(jī)抽取500名參賽考生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行分析,并制成如下的頻率分布直方圖：（1）求這500名考生的本次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平均成績(jī)(精確到整數(shù))；（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為：這次競(jìng)賽成績(jī)服從正態(tài)分布,其中近似等于樣本的平均數(shù),近似等于樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s,并已求得.用該樣本的頻率估計(jì)總體的概率,現(xiàn)從該市所有考生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生,記這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù)為,求的值(精確到0.001).附：（1）當(dāng)時(shí),；（2）.[例7:]為檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果,某藥物研究所科研人員隨機(jī)選取100只小白鼠,并將該疫苗首次注射到這些小白鼠體內(nèi)．獨(dú)立環(huán)境下試驗(yàn)一段時(shí)間后檢測(cè)這些小白鼠的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值并制成如下的頻率分布直方圖（以小白鼠醫(yī)學(xué)指標(biāo)值在各個(gè)區(qū)間上的頻率代替其概率）：（1）根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)100只小白鼠該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；（2）若認(rèn)為小白鼠的該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值服從正態(tài)分布,且首次注射疫苗的小白鼠該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值不低于14.77時(shí),則認(rèn)定其體內(nèi)已經(jīng)產(chǎn)生抗體；進(jìn)一步研究還發(fā)現(xiàn),對(duì)第一次注射疫苗的100只小白鼠中沒(méi)有產(chǎn)生抗體的那一部分群