本科畢業(yè)論文-無窮的發(fā)展史

PAGE無窮的發(fā)展史內(nèi)容摘要：無窮的探索在數(shù)學史的發(fā)展上有著舉足輕重的作用。本文從歷史發(fā)展的角度展示了無窮的發(fā)展歷程。從古希臘時期的初步探索，到在微積分中大放異彩，再到集合論的驚世駭俗。無窮的每一次新的探索都伴隨著數(shù)學思想的跳躍性的發(fā)展。通過對無窮史的展示，引發(fā)對無窮本質(zhì)的思考。最初，無窮對于人們來說是不可理解的是，甚至是恐懼的，正因為如此人們才會如此懼怕以至于不敢承認無理數(shù)——無限不循環(huán)小數(shù)的存在。然而好奇心促使人們開始了解它，應(yīng)用它。尤其是微積分的出現(xiàn)，使得無窮走進數(shù)學的大舞臺，但最初的微積分顯然沒有解決無窮小的問題，也因此引發(fā)了第二次數(shù)學危機。經(jīng)過后期的完善特別是分析的嚴格化，無窮小終于有了自己精確的定義。然而無窮的探究仍未停止，康托爾提出集合論，指出了無窮大的譜系，構(gòu)建了數(shù)學大廈的根基。但集合論也存在著致命的硬傷——羅素悖論，這引發(fā)了第三次數(shù)學危機，并至今未被完全解決。對于無窮，仍然存在著太多的未知?！娟P(guān)鍵詞】:無窮極限微積分集合論InfinitehistoryAbstractEndlessexplorationinthehistoryofmathematicsindevelopmenthasapivotalrole.Thispaper,fromtheperspectiveofthedevelopmentofhistoryshowstheendlessdevelopmentprocess.FromtheancientGreece'spreliminaryexploration,totoppingincalculus,againtosettheoryofpedophilia.Boundlesseachtimethenewexplorationareaccompaniedwithmathematicalthoughtthedevelopmentofthenarrative.Throughthehistoryoftheinfiniteshow,leadingtothenatureoftheinfinitethinking.Atfirst,itisnotinfiniteforpeopletounderstandis,andevenfear,becauseofthispeoplewillbesoafraidthatcan'tadmitthatirrationalNumbers-nottheexistenceofinfiniterepeatingdecimals.Howevercuriositymakespeoplebegintounderstandit,useit.Especiallytheemergenceofcalculus,whichwentintothestageofinfinitemath,butthefirstoftheinfinitesimalcalculusobviouslynotsolvetheproblem,which,therefore,thesecondmathematicalcrisis.Throughtheanalysisofthelateperfectespeciallythestrict,aninfinitesimalfinallyhadaprecisedefinition.Butendlessexploreisstillnotstop,cantor'sproposedsettheory,andpointsoutthattheinfinitegenealogy,constructedthemathematicalbuildingfoundation.Butsettheory,therearealsotookadeadly-Russellparadox,whichpromptedathirdmathematicalcrisis,andhasnotbeenfullyresolved.Forendless,therearestillatoomuchoftheunknown.【Keywords】：Infinitelimitcalculussettheory目錄引言…………（1）危機——第二次數(shù)學危機和分析的嚴格化…………（5）改革——康托爾的集合論和第三次數(shù)學革命………（7）參考文獻…………………（11）致謝………（12）PAGE12無窮的發(fā)展史引言數(shù)學是門嚴謹?shù)膶W科。數(shù)學家近乎偏執(zhí)的證明、完善各種數(shù)學問題，又不斷產(chǎn)生新的悖論、問題。數(shù)學就是在這一次次悖論、證明、危機、改革中發(fā)展和完善起來的。然而數(shù)學中有這么一個概念——無窮，它在幾千年前就被人們發(fā)現(xiàn)和使用卻至今未被人完美的證明，它被用來證明最嚴謹?shù)臄?shù)學問題本身卻是科學中最模糊的概念。有人說無窮是數(shù)，有人說無窮是一種思想，甚至有人說它是消逝的量的鬼魂。借用大衛(wèi)?希爾伯特的話“無窮大！任何一個其他問題都不曾如此深刻的影響人類的精神；任何一個其他觀點都不曾如此有效的激勵人類的智力；然而，沒有任何一個概念比無窮更需要澄清……”數(shù)學史上，貫穿著矛盾的產(chǎn)生和解決。關(guān)于無窮的探究與思考對于數(shù)學的發(fā)展無疑產(chǎn)生了深遠的影響?？謶帧P(guān)于無窮的悖論和無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)無窮第一次走進人類社會披著“數(shù)”的外衣。那是在幾千年前的原始部落，“十”是他們認識的最大數(shù)值，對于他們來說任何大于十的數(shù)都是“很多”，都是無窮大，因為不可數(shù)。同樣村落附近的山使他們到過的最遠的地方，山的外面就是無窮遠，因為不可至。這樣人類第一次得出了無窮的定義——不可數(shù)的數(shù)。人類在進步，數(shù)學在發(fā)展。從公元前1650年的《蘭德草紙書》之類的著作中可以看出當時的古印度﹑古中國﹑古巴比倫﹑古埃及都有著輝煌的數(shù)學成就。然而他們的數(shù)學大多研究的是日常生活中實際問題，無窮卻很難在現(xiàn)實生活中找到和它相一致的原型，這就注定了無窮很難在這一時期得到發(fā)展。無窮不得不繼續(xù)等待，一直到公元前6世紀的希臘。希臘人是幾何學大師，他們幾乎解決了所有的初等幾何或稱經(jīng)典幾何問題。至今，我們的小學初中教材仍然使用著兩千年前古希臘人創(chuàng)造的思想和方法。更大的成就是“論證數(shù)學”的創(chuàng)立，即引入了定理必須證明的思想，這種在數(shù)學中的高標準和對證明的堅持使得數(shù)學獨立于其他學科之外，具有自己獨特的特點。這時的數(shù)學已不僅僅研究實際問題而轉(zhuǎn)化為一門智力學科。無窮終于開始在數(shù)學史上嶄露頭角，逐漸為人們所認識。不過僅僅是認識，絕不是正視，甚至是恐懼。希臘人在幾何上是專家，在代數(shù)上卻少有成就。沒有代數(shù)，沒有符號就無法表示無窮。人們發(fā)現(xiàn)了無窮，知道它就在那兒，卻無法達到﹑觸及到它，甚至找不到任何東西來表示它。對于這樣的無窮，人們應(yīng)該是恐懼的吧。托比亞斯?丹齊克在他的經(jīng)典著作《數(shù)：科學的語言》一書中說：“無窮大曾經(jīng)是禁忌，必須不惜任何代價回避它；否則，如果做不到的話，必須借助達到荒謬程度的理由等等把它隱藏起來?！睂ξ粗挛锏目謶忠苍S是對這個事物研究的第一步。雖然不敢正視，雖然恐懼，但是研究開始了。人們開始思考無窮，沒有得到任何實質(zhì)性的結(jié)論，卻得到了一些有趣的悖論。最著名的悖論來自芝諾（公元前4世紀生活在埃利亞的哲學家），根據(jù)亞里士多德《物理學》記載：兩分法：“運動不存在，事物從出發(fā)點到目的地之前必先達到一半；在抵達一半之前又必先抵達四分之一處，……，依此類推直至無窮”。圖1兩分法阿基里斯：“運動員阿基里斯（Achilles）永遠追不上烏龜。因為假設(shè)烏龜?shù)钠鹋茳c在阿基里斯之前一段距離，阿基里斯必須先跑到烏龜?shù)钠鹋茳c，而此時烏龜又向前爬了一段距離，依此類推直至無窮?！憋w箭：“飛著的箭是靜止的。因為任何事物當它是在一個和自己大小相同的空間里時，它是靜止的，則可以說飛箭在飛行過程中的每一“瞬間”都是如此。”運動場：“空間和時間不能由不可分割的單位組成。假設(shè)不然，運動場跑道上三排隊列A,B,C,令C往右移動，A往左移動，其速度相對B而言都是每瞬間移動一個點。這樣一來，A上的點就在每瞬間離開C兩個點的距離，因而必存在以更小的時間單元。”他沒有解決他的悖論，他承認無窮超出了他和他的同代人的智力范圍。實際上超出的不僅僅是他的同代人智力范圍，這些悖論直到兩千年后才被解決。雖然被視為禁忌，被人回避著，但無窮它就在那里，你不得不正視。無窮第一次被正視來自無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，這引發(fā)了第一次數(shù)學危機。在這次危機中無窮被發(fā)現(xiàn)是人類無法回避研究的一個概念。兩千多年前最具影響力的數(shù)學流派當屬畢達哥拉斯學派，該派提出的畢達哥形拉斯定理——勾股定理無疑是數(shù)學史上最偉大的發(fā)現(xiàn)之一。然而顯然畢達哥拉斯對無窮沒有太多的了解，他提出“萬物皆數(shù)”（他的數(shù)僅指正有理數(shù)）的口號，即任意一個數(shù)都可以看作另兩個整數(shù)的比。這顯然不正確，諷刺的是第一個說明其錯誤的證據(jù)正來自畢達哥拉斯學派，運用的正是畢達哥拉斯定理。形圖3割圓法圖2勾股定理大家都很收悉，在任何一個直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之和：c2=a2+b2（圖1）。如果我們?nèi)蓷l直角邊長相同，甚至直接令每條邊去一個單位長（a=b=1），則c2=12+12=2，答案顯然是，但問題圖2直角三角形圖3割圓法圖2是我們無法求出其精確值，因為這是個無窮小數(shù)。當這個無限不循環(huán)小數(shù)第一次出現(xiàn)并未引起人們的重視，希臘人理所當然的把它視作有理數(shù)。然而，任何涉及到無窮的東西都沒那么簡單，很快畢達哥拉斯學派的一位成員（有一種說法是希帕薩斯）發(fā)現(xiàn)了不可用單位度量或者說它不能寫成兩個整數(shù)的比。當時具體的發(fā)現(xiàn)過程已不得而知。但不管怎樣這個發(fā)現(xiàn)對于畢達哥拉斯本人﹑當時數(shù)學權(quán)威﹑甚至教會都是一種嚴重的挑戰(zhàn)。于是所有知情人被發(fā)誓不得將這個發(fā)現(xiàn)張揚出去，后來他們中的一員希帕薩斯說出了這個消息，引發(fā)了數(shù)學史上第一次數(shù)學危機，他本人卻被伙伴從船上人到大海中，葬身魚腹了。這是無窮在數(shù)學史上的第一次正式亮相，引發(fā)了數(shù)學史上的第一次數(shù)學危機。二、發(fā)展——窮竭法﹑無窮級數(shù)和微積分發(fā)展——窮竭法﹑無窮級數(shù)和微積分人們對避之不及，另一個無理數(shù)π卻一直為人們所不斷探究。古代對π的計算大多來自對圓的周長和面積的實際測量，之后東方的祖沖之和西方的阿基米德運用了同一種方法——窮竭法來計算圓周率。畫出一個圓，讓后用一個正多邊形外切該圓，隨著我們增添邊的個數(shù)，正多邊形會越來越緊密地把該圓圍起來，如果邊數(shù)增加到足夠多，正多邊形就可看作圓，用正多邊形的周長除以圓的半徑就能近似算出π的值；同時用一個正多邊形內(nèi)切該圓，用同樣的方法估算π的值（圖3）。這樣就算出了π近似值。我國的祖沖之在公元5世紀就求得π的近似值是π（3.1415926,3.1415927）將π估算到如此程度需要將圓周進行兩萬四千多次等分。這種方法能把π近似到任何想的得到精度，這里用了無窮的思想，隨著正多邊形的邊數(shù)的不斷增加，推算出來的估計值不斷接近真實值。這不正是極限的思想么？可惜他們并沒有明確提出極限的概念，否則也許微積分能夠提前兩千年被創(chuàng)立。腐朽的封建制度是科技發(fā)展的極大阻力，黑暗的中世紀充斥著宗教﹑戰(zhàn)爭，數(shù)學鮮有成就。直到文藝復(fù)興數(shù)學才有了新的發(fā)展。至于無窮對它的思索依然來自于它的老朋友π。1593年法國數(shù)學家弗朗索瓦?維埃特（1540—1603）提出了一個極優(yōu)美的公式：……這個公式最重要的特征在于它末尾的省略號，這說明它可以一直下去直到無窮。這是第一次明確的把無窮大的過程表示成一個數(shù)學公式。這一次無窮不再是某種不祥的，不可被提及的東西；恰恰相反，它堂而皇之的走進數(shù)學著作，進入數(shù)學殿堂。另一個相似的公式于1650年由英國數(shù)學家約翰?沃利斯（1616—1703）提出：他還提出了用∞來表示無窮大。這些公式的特點在于它可以把π的值不斷的精確到任何我們想的達到的數(shù)位，雖然我們永遠無法找到其精確值。而且，這顯然是人們最先發(fā)現(xiàn)的無窮級數(shù)，也是人們初步利用“分析”來發(fā)展積分法。無窮大已經(jīng)開始為數(shù)學家所接受，無窮小卻依然保持它神秘的外衣。文藝復(fù)興之后，自然科學井噴式的高速發(fā)展，尤其在物理﹑天文方面的研究使得無窮的問題空前地成為人們關(guān)注的焦點。一方面，由于天文學的發(fā)現(xiàn)，人們了解到行星和彗星在橢圓或拋物線軌道上運轉(zhuǎn)。不可避免的，我們需要研究橢圓拋物線的性質(zhì)。人們再次想到了兩千年前的阿基米德和他的窮竭法。窮竭法僅僅取決于有限量，這已不能滿足當時科學家的需求。終于，1635年博納旺蒂拉?卡瓦列里發(fā)表了《不可分量幾何學》，提出了不可分量方法。他認為線﹑面﹑立體都可看做無窮多個元素組成的，每一個元素就是“不可分量”。他利用這種方法就算出大量的立體幾何圖形的體積。尤其是他最早的提出冪函數(shù)的積分公式不過，顯然這里對無窮小量（在當時應(yīng)稱為不可分量）的解釋實在極其模糊而具有爭議。因為科學和工程應(yīng)用上的迫切要求，使得人們無暇顧及古希臘人的嚴格標準，就迫不及待的使用起來，并詭異的蓬勃發(fā)展起來。這無疑為以后的危機埋下了伏筆。另一方面，同時期另一極具影響的數(shù)學成就當屬解析幾何的誕生。1637年，劃時代的數(shù)學家笛卡兒發(fā)表名著《幾何學》，宣布解析幾何這一劃時代數(shù)學思想的誕生，從此數(shù)學從初等數(shù)學使其進入高等數(shù)學時期。在這部著作中笛卡兒把線段和平面用坐標（x,y）表示，在一維和二維上把幾何問題代數(shù)化。正如笛卡兒的數(shù)學格言所說：“一切問題可以化成數(shù)學問題，一切數(shù)學問題可以化成代數(shù)問題，一切代數(shù)問題可以化成方程求解的問題?！苯馕鰩缀蔚漠a(chǎn)生無疑為拋物線、橢圓的求解提供了新的方法，同時也提出了新的問題——切線。各種物理、天文、數(shù)學、實際生產(chǎn)的問題都迫切需要一種新的運算方法。至于極限和無窮，經(jīng)過兩千年前阿基米德的思索和17世紀上半葉的數(shù)學家們的完善，已經(jīng)做好準備走向歷史的舞臺。一門關(guān)于極限和無窮的新的數(shù)學工具——微積分被迫切需求著。兩千年的醞釀，兩千年的等待，微積分在這樣的時刻出場了。首先是牛頓（1642—1727）十七世紀最偉大的科學家，沒有之一，盡管同時代有著眾多的科學天才。1664年秋，牛頓首創(chuàng)了小記號表示x的無窮小且最終趨于零的增量。1665年至1667年，牛頓總結(jié)前人經(jīng)驗，在運動學的系統(tǒng)中發(fā)明了“正流數(shù)術(shù)”（微分法）和“反流數(shù)術(shù)”（積分法）。1666年10月，牛頓將這些研究整理一篇論文《流數(shù)簡論》這是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻。之后他又先后寫成三篇微積分論文《運用無限多項方程的分析》、《流數(shù)法與無窮級數(shù)》、《曲線求積術(shù)》。但值得提出的是牛頓對微積分的基礎(chǔ)——無窮小給出的解釋卻是不同的，甚至矛盾的。在《流數(shù)簡論》中將“瞬”時而看做靜止的無窮小量，有時直截了當令其為零。而對變量x,y的瞬前期稱其是時間瞬而連續(xù)變化，后期又稱變量x,y是某種不依賴時間的無限小。顯然牛頓對無窮小的認識依然遠遠不足。在同一時期，不同于牛頓從運動學方向入手，萊布尼茨獨立的從幾何問題尤其是特征三角形著手研究，得出大量重要結(jié)論：曲線的切線依賴于縱坐標的差值與橫坐標的差值當這些差值變成無窮小之比，即；而曲線下的面積依賴于無窮小區(qū)間上的縱坐標之和，即。萊布尼茨還看出這兩類問題的互逆關(guān)系。并跟進一步提出一種更一般的算法——微積分。微積分的提出無疑為數(shù)學史上最偉大發(fā)現(xiàn)之一。這種新的數(shù)學工具一出現(xiàn)，曾經(jīng)的一切數(shù)學難題似乎都變的只要套一下公式就能解決。它是如此的有效、方便，以至于人們忘記它從出生時就帶著的不嚴謹，忘記了它的理論基礎(chǔ)——無窮小還有這太多的未知沒被解決。這為未來的危機買下了伏筆，也因此開辟了一門新的數(shù)學分支——數(shù)學分析。一門專門研究連續(xù)，極限，無窮的學科。三、危機——第二次數(shù)學危機和分析的嚴格化微積分的提出，使得無窮取得了迄今為止最大的勝利，因為顯然無窮是微積分學中的一個關(guān)鍵要素。這門學科基本上就是圍繞無窮小來研究的。盡管無窮小實在有著太多的爭議，或者說當時的人們根本就沒有弄清它是什么東西，就被人們迫切的應(yīng)用到實際生活中了。1734年，英國哲學家、牧師伯克萊（1685—1753）不加修飾的直接對牛頓的流數(shù)方法，尤其是其中涉及無窮小的部分提出非難。在牛頓的流數(shù)論首末比的描述中為求的的流數(shù)時，假設(shè)一個量的存在，使x流動成x+，則冪變成，在使增量比上的增量，得：1∶這時再假設(shè)量消失，則它們的比為1∶。伯克萊針對于此在《分析學家，或致一位不信神的數(shù)學家》中寫道：“如果讓增量消失，亦即讓增量變?yōu)榱?，或者說沒有任何增量，那么原來的關(guān)于增量存在的假設(shè)也就不能成立，而由這一假設(shè)引出的結(jié)果即借助于增量而得到的表達式卻必須保留，這種推理是站不住腳的。”“這些消逝的量說什么呢？它們既不是有限，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄帕康墓砘陠?？”對于萊布尼茨，伯克萊的批評也是不留情面。這使的牛頓和萊布尼茨的支持者奮起反擊，但他們也無法很好的解釋無窮小。一方面微積分被迫切的應(yīng)用在生活中的各個方面；另一方面微積分在邏輯和基礎(chǔ)上無疑存在明顯的漏洞。這種矛盾引發(fā)了第二次數(shù)學危機。微積分的發(fā)現(xiàn)使得無窮走進了人們的日常生活，但無窮小卻使得微積分缺乏堅實的理論基礎(chǔ)。微積分在物理、天文等領(lǐng)域的研究又被證明是正確的。這無疑鼓勵人們不要顧及微積分本身基礎(chǔ)的不足，有太多需要收獲的東西就在眼前。直到18世紀，數(shù)學家們在微積分這里收獲了足夠的成果，才抽出空來修補基本理論。這在數(shù)學史上是絕無僅有的。微積分的研究與之前的數(shù)學研究有著極大的不同，微積分的分析（無窮級數(shù)）先于微積分出現(xiàn)，積分的思想比微分的思想早了兩千年，反而最后完成的是微積分的基礎(chǔ)——連續(xù)、極限、無窮小。首先是達朗貝爾提出了“極限”的概念，他在《科學，藝術(shù)和工藝百科全書》中發(fā)展了牛頓的首末比方法。他定義“Y的極限為X，如果量Y可任意逼近X，這就是說，Y與X之間的差可任意小”更多的成績來自歐拉（1707—1783），歐拉的數(shù)學老師是大數(shù)學家約翰?伯努利（1667—1748）和雅各布?伯努利（1654—1705）兩兄弟（伯努利家族中出了十幾位著名的數(shù)學家），而伯努利兄弟的老師則是萊布尼茨。18世紀關(guān)于微積分和無窮小的研究成就主要體現(xiàn)在歐拉的三部微積分著作：（1）《無窮小分析引論》，兩卷集，1748.。（2）《微分學》，兩卷集，1755。（3）《積分學》，三卷集，1768—1770。關(guān)于這三部著作的重要性，我們從美國數(shù)學家塞蒙斯的話中可見一斑。“自1748年以來，所有的微積分教材，基本上是抄襲歐拉的《無窮小分析引論》、《微分學》、《積分學》，或者是抄襲那些抄襲歐拉這3部書的書。”在《微分學》中歐拉提出了不同階的無窮小理論（歐拉當時仍錯誤的、簡單的視無窮小為零），即高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小。如今，尤其是康托爾提出集合論之后，不知大家是否發(fā)現(xiàn)如果把無窮小改為無窮大，正是集合論中的基數(shù)理論的應(yīng)用。經(jīng)過整個18世紀的醞釀，對于分析的嚴格化和無窮小的精確定義在19世紀初開始獲得成效。這一時期柯西（CauchyAugustinLouis,1789—1857），發(fā)表了《分析教程》（1821年）、《無窮小分析教程概論》（1823年）、《微分計算教程》（1829年）。在這些著作中柯西對微積分的幾乎所有概念都有著精確得表述，這里直接引述他的原話，因為此后的任意一本關(guān)于微積分和數(shù)學分析的書中的定義都引自于此：極限：“當同一變量主次所取的值無限趨近于一個固定的值，最終使它的值與該定值的差要多小就多小，那么最后這個值就稱為所有求他值的極限?！睙o窮小：“當同一變量逐次所取的絕對值無窮減小，以致比任何給定的數(shù)還小，這個變量就是所謂的無窮小或無窮小量，這樣的變量將以0為極限。”連續(xù)：“函數(shù)f(x)在給定限之間關(guān)于x保持連續(xù)，如果在這兩個限之間變量的每個無窮小增量總產(chǎn)生函數(shù)f(x)本身的一個無窮小增量。進一步，我們說函數(shù)f(x)是變量x在x的某個特殊值的鄰域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果它在包含該x值的任意接近的兩限之間連續(xù)。”……這是人類第一次精確的定義出無窮小的定義，建立了數(shù)學分析的基礎(chǔ)。從理論上徹底解決了第二次數(shù)學危機。在柯西之后，外爾斯特拉斯（KarlWeierstrass，1815—1897）繼續(xù)微積分嚴格化的工作。他首次用“”語言解釋了微積分，他的原話略顯繁雜，這里引用更常見的、微積分教材中的表達：“對于在點的某鄰域有定義的函數(shù)f(x)，任意給定一個正數(shù)，存在一個>0，使得當<時，不等式<成立，則稱f(x)在點連續(xù)?！钡?9世紀末，對無窮的探究終于可以告一段落，這一概念終于有了自己特有的、精準的定義。人們甚至已經(jīng)開始歡呼他們已經(jīng)戰(zhàn)勝了無窮，了解了它的全部秘密。也正在這時一個年輕的、名不見經(jīng)傳的數(shù)學家出現(xiàn)了，他告訴人們無窮的秘密被揭示的僅是它全貌的冰山一角。四、改革——康托爾的集合論和第三次數(shù)學革命康托爾的理論頗為匪夷所思，甚至康托爾本人說過這樣一句話“我看見了它，但是我不相信它！”所以在敘述這一理論時，不得不先引入幾個基本的概念。集合：“在一定范圍內(nèi)的個體事物的全體，當將它們看作一個整體時，我們把這個整體稱為一個集合，其中每個個體事物叫做該集合的元素?！庇成洌骸霸O(shè)A、B為兩個非空集合，如果有某一法則，是每個xA有唯一確定的yB和它對應(yīng)，則稱為A到B內(nèi)的映射，記為?！币灰粚?yīng)：“設(shè)為A到B上的一個映射。如果對每個yB,只有唯一的x滿足（x）=y,則稱為A到B的一一映射，也稱一一對應(yīng)，可寫作1—1對應(yīng)，也記為A。”對等：“設(shè)A、B是兩個非空集合。如果存在某：A，則稱A和B對等。記A~B.?！蔽覀?nèi)蓚€無窮集自然數(shù)集和正偶數(shù)集24681012…123456…我們發(fā)現(xiàn)二者是一一對應(yīng)，兩個集合還是對等的，這跟我們的直覺中的認識顯然不同。但我們不得不承認：當兩個集合（無論有限還會死無限）能夠1:1對應(yīng)相匹配時，他們的元素數(shù)目相同。那么自然數(shù)數(shù)和偶數(shù)數(shù)一樣多，同時我們還可以證明整數(shù)、奇數(shù)、平方、素數(shù)和全體正整數(shù)數(shù)目相同?？低袪枌⒎埠腿w正整數(shù)所成之集合對等的集合都稱為可數(shù)集合或可列集合。這些結(jié)論實在讓人難以接受，它違背了人們的一種主觀認識“整體大于局部”顯然，在無窮大這里直覺和經(jīng)驗有一次給了我們錯誤的提示?？低袪柣诖艘脷W幾里得《幾何原本》的悖論“它能夠與其自身的真子集進行一對一的匹配?！弊鳛闊o窮集的定義。這個定義并不嚴謹，但至少首次清晰而精確的定義了這個概念。而在此之前甚至之后最常見的定義依然是“除了有限集以外的集合”。整數(shù)集、奇數(shù)集、偶數(shù)集、素數(shù)集，看到這些我們不禁想到這些集合中的元素有著很大的間隔，雖然它們的間隔大小、規(guī)律各不相同，但至少它們有一個共同點——不是稠密的。那么是不是可以說一個集合可數(shù)，則其中的元素一定有間隔。然而，在無窮這里，一切可能都將變?yōu)椴豢赡?，一切不可能都將變?yōu)榭赡?。它不允許任何不假證明的、只依靠直觀就得出的觀點。康托爾就證明了有些“稠密”的集合也是可數(shù)的。1874年康托爾發(fā)現(xiàn)：有理數(shù)是可數(shù)的。他把有理數(shù)排列成一個無窮陣列：這樣康托爾就列舉出了全班的有理數(shù)，然后康托爾沿該陣列往返移動出一條路徑：如果我們沿著這一路線一一對應(yīng)，這樣我們就能考數(shù)遍這些分數(shù)。也就是說它們是可數(shù)的！這真是一個讓人驚訝的結(jié)果!這里再引入一個新的概念——基數(shù)“根據(jù)集合的反射性、對稱性、傳遞性，將彼此對等的集合歸做一類。這樣任意集合必定屬于某一類。我們把兩個彼此對等的集合稱為具有相同的基數(shù)，用表示A的基數(shù)?！笨低袪枌⒖蓴?shù)集的基數(shù)表示為a（或）。那么我們又開始推測是否所有的無窮集都是可數(shù)的。但很快康托爾就否定了這個推測。一些集合如實數(shù)集是不可數(shù)集。為證明這個結(jié)論，首先有說實數(shù)集R~（0,1），這是個看上去荒謬，卻又極容易證明是對的的結(jié)論，我們只需令就可以了。這樣我們只需證明（0，1）不是可數(shù)集。（0,1）中的任意元素可寫成a=0.aaa…的形式。下面應(yīng)用反證法，先假設(shè)（0,1）中的全體實數(shù)可排列成一序列（0,1）={}.其中每個（n=1,2,…）。接著康托爾在（0，1）中利用對角線上的數(shù)字（n=1,2,…）做一個無窮小數(shù)a=0.aaa…，其中，顯然他與每一個的正規(guī)表示都不同，即a≠a(n=1,2,3,…),與假設(shè)矛盾。即（0,1）是不可數(shù)集合。這樣實數(shù)形成了一個不可數(shù)集，康托爾用字母C表示它的基數(shù)。這樣康托爾建立了一個無窮的譜系，有限集的基數(shù)小于a（或），而可數(shù)集的基數(shù)a低于基數(shù)為C的集合。下面的工作更加匪夷所思，康托爾找到了基數(shù)比C更大的集，跟糟糕的是他得到結(jié)論:這一過程可以一直下去，直至無窮。這樣康托爾使用，2=C，2…（超限基