2023-2024學(xué)年人教A版必修第一冊(cè) 　簡單的三角恒等變換(1) 學(xué)案

簡單的三角恒等變換(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)抬頭望星光1.能通過倍角的變形公式推導(dǎo)出半角的正弦、余弦、正切公式.(邏輯推理)2.了解三角恒等變換的特點(diǎn)、變換技巧,掌握三角恒等變換的基本思想方法.(邏輯推理)3.能利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式化簡、求值以及證明三角恒等式,并能進(jìn)行一些簡單的應(yīng)用.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【情境導(dǎo)學(xué)】已知sinθ的值,能否求出θ2的正弦、余弦及正切值?已知兩個(gè)三角函數(shù)的積能不能轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)和的形式?已知兩個(gè)三角函數(shù)的和能不能轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)積的形式一、半角公式倍角公式的變形sin2α2=1-cos2α2=1+cosαtan2α2=1-一般地,①②③式可以變形為半角公式:sinα2=±1-cosα2=±1+cosαtanα2=±1-思考如何確定半角的正弦、余弦和正切公式的符號(hào)?提示:(1)如果沒有給出決定符號(hào)的條件,則在根號(hào)前保留正、負(fù)兩個(gè)符號(hào).(2)若給出角α的具體范圍(即某一區(qū)間)時(shí),則先求角α2所在范圍,再根據(jù)角α2二、積化和差與和差化積公式(1)積化和差公式sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-βcosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-βcosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-βsinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)](2)和差化積公式sinx+siny=2sinx+y2sinx-siny=2cosx+y2cosx+cosy=2cosx+y2cosx-cosy=-2sinx+y2點(diǎn)睛積化和差、和差化積公式的理解(1)公式中的“和差”與“積”都是指三角函數(shù)間的關(guān)系,而不是指角的關(guān)系,只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名函數(shù)的和與差,才能直接運(yùn)用公式化成積的形式,如果是一個(gè)正弦與一個(gè)余弦的和或差,則要先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后再運(yùn)用公式;(2)積化和差公式左邊是同名或異名函數(shù)的“積”形式,右邊是同名函數(shù)的“和差”形式,和差化積公式記憶口訣:“正和正在前,正差正后遷;余和一色余,余差翻了天.”(正代表sinα,余代表cosα).【教材深化】常用的三角恒等變換思想方法(1)常值代換用某些三角函數(shù)值或三角函數(shù)式來代替三角函數(shù)式中的某些常數(shù),使之代換后能運(yùn)用相關(guān)公式,化簡得以順利進(jìn)行.我們把這種代換稱為常值代換.(2)切化弦當(dāng)待化簡式中既含有正弦、余弦,又含有正切時(shí),利用同角的基本三角函數(shù)關(guān)系式tanα=sinαcosα,將正切化為正弦和余弦,這就是“切化弦”的思想方法(3)降冪與升冪由C2α變形后得到公式:sin2α=12(1-cos2α),cos2α=12(1+cos2α),運(yùn)用它就是降冪.反過來,直接運(yùn)用倍角公式或變形公式1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,(4)角的變換角的變換溝通了已知角與未知角之間的聯(lián)系,使公式順利運(yùn)用,解題過程被簡化.常見的角的變換有α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=12[(α+β)+(α-β)],α=12[(α+β)-(β-α+β=(2α+β)-α等.【自我小測(cè)】1.辨析(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)cosα2=1+cosα提示:只有當(dāng)-π2+2kπ≤α2≤π2+2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)時(shí),cosα(2)存在α∈R,使得cosα2=12cos提示:當(dāng)cosα=-3+1時(shí),上式成立,但一般情況下不成立.(3)對(duì)于任意α∈R,sinα2=12sinα都不成立提示:當(dāng)α=2kπ(k∈Z)時(shí),上式成立,但一般情況下不成立.(4)若α是第一象限角,則tanα2=1-提示:若α是第一象限角,則α2是第一、三象限角,此時(shí)tanα2=12.(教材改編·例1)已知點(diǎn)P(4,3)是角α的終邊上一點(diǎn),則tanα2= (A.13 C.-3或13 D.3或-【解析】選A.由三角函數(shù)的定義可得sinα=342+32=35,cosα=442+32=45,所以tan3.cos15°sin105°= ()A.34+12 B.3C.32+1 D.3【解析】選A.cos15°sin105°=12=12[sin120°-sin(-90°)]=12×32+12×1=類型一利用半角公式求值問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)[例1](1)(2023·菏澤高一檢測(cè))已知sinα=55,cosα=255,則tanα2A.2-5 B.2+5C.5-2 D.±(5-2)【解析】選C.方法一:因?yàn)閟inα=55,cosα=2所以tanα2=sinα1+cosα方法二:因?yàn)閟inα=55>0,cosα=2所以α的終邊落在第一象限,α2的終邊落在第一或第三象限,即tanα所以tanα2=1-cosα1+cosα(2)若sin(π-α)=-53且α∈π,3π2,則sinπA.-63 B.-66 C.66 【解析】選B.由題意知sinα=-53,α∈π所以cosα=-23.因?yàn)棣?∈所以sinπ2+α2=cosα2【總結(jié)升華】利用半角公式求值的思路(1)看角:若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍,則求解時(shí)常常借助半角公式求解.(2)明范圍:由于半角公式求值常涉及符號(hào)問題,因此求解時(shí)務(wù)必依據(jù)角的范圍,求出相應(yīng)半角的范圍.(3)選公式:涉及半角公式的正切值時(shí),常用tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα,其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算時(shí)可避免因開方帶來的求角的范圍問題;涉及半角公式的正、余弦值時(shí),常先利用sin2α(4)下結(jié)論:結(jié)合(2)求值.【即學(xué)即練】1.(2023·濰坊高一檢測(cè))若cos(π-α)=23,α∈π,2π,則cosα2A.-66 B.C.-306 D.【解析】選A.由cos(π-α)=-cosα=23,得cosα=-2又α∈π,2π,則α2∈π則cosα2=-1+cosα2=-12.求值:1sinπ12=2tanπ8=.【解析】(1)sinπ12=1-cosπ6(2)tanπ8=1-cosπ41+cos答案:(1)2-323.已知cosα=13,α為第四象限角,求sinα2,cosα2【解析】因?yàn)棣翞榈谒南笙藿?所以α2為第二、四象限角當(dāng)α2為第二象限角時(shí),sinα2=1-cosα2=-1+cosα2tanα2=-1-cos當(dāng)α2為第四象限角時(shí),sinα2=-1-cosα2=-33tanα2=-1-cos類型二利用半角公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)[例2](2023·沈陽高一檢測(cè))化簡:cos(32π-α【解析】因?yàn)?<α<π,所以0<α2<π所以tanα2=1-cosα1+cos所以(1+cosα)tanα2=sin又因?yàn)閏os(3π2-α)=-sinα且1-cosα=2sin2α2所以cos(32π-α)-因?yàn)?<α2<π2,所以sinα所以cos(32π-α答案:-22cosα【備選例題】已知π<α<3π2,化簡:1+sinα1+cos【解題思維】解答本題可先用二倍角公式“升冪”,再根據(jù)α2的范圍開方化簡【解析】原式=sinα2+cos因?yàn)棣?lt;α<3π2,所以π2<α2所以cosα2<0,sinα所以原式=sinα2=-sinα2=-2cosα2【總結(jié)升華】化簡問題中的“三變”(1)變角:三角變換時(shí)通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系,通過拆、湊等手段消除角之間的差異,合理選擇聯(lián)系它們的公式.(2)變名:觀察三角函數(shù)種類的差異,盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱,如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切.(3)變式:觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異,選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩?如升冪、降冪、配方、開方等.【即學(xué)即練】已知3π2<θ<2π,試化簡:1+sinθ-【解析】因?yàn)?π2<θ<2π,所以3π4<所以0<sinθ2<22,-1<cosθ2從而sinθ2+cosθ2<0,sinθ2-cos所以原式=(sinθ2=sinθ2=-(sinθ2+cosθ2)-(sinθ2=-2sinθ2【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2023·大連高一檢測(cè))已知π3是函數(shù)f(x)=2asinxcosx-2cos2x-1的一個(gè)零點(diǎn)(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】(1)f(x)=2asinxcosx-2cos2x-1=asin2x-2·1+cos2x2-1=asin2x-cos2由題意可得f(π3)=0,即32a+解得a=3;(2)由(1)得f(x)=3sin2x-cos2x-2=2sin(2x-π6)令π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ,得π3+kπ≤x≤5π6+k所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[π3+kπ,5π6+kπ],k∈類型三三角恒等式的證明(邏輯推理)[例3]求證:(1)1+sin2θ-cos2θ1+sin2θ+cos2θ+1+sin2θ+cos2θ1+sin2【證明】因?yàn)閏os2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ,sin2θ=2sinθcosθ,則1+sin2θ-cos2θ=2sinθcosθ+2sin2θ=2sinθ(sinθ+cosθ),1+sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+2cos2θ=2cosθ(sinθ+cosθ).故左邊=2sinθ(sinθ+cosθ=sin2θ+cos2θ(2)2sinxcosx【證明】左邊=2sin=2sinxcos=cosx2=1+cosxsinx所以原等式成立.【總結(jié)升華】三角恒等式證明的常用方法(1)執(zhí)因索果法:證明的形式一般化繁為簡;(2)左右歸一法:證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子;(3)拼湊法:針對(duì)題設(shè)和結(jié)論之間的差異,有針對(duì)性地變形,以消除它們之間的差異,簡言之,即化異求同;(4)比較法:設(shè)法證明“左邊-右邊=0”或“左邊/右邊=1”;(5)分析法:從被證明的等式出發(fā),逐步地探求使等式成立的條件,直到已知條件或明顯的事實(shí)為止,就可以斷定原等式成立.【即學(xué)即練】已知0<α<π4,0<β<π4,且3sinβ=sin(2α+β),4tanα2=1-tan2α2,求證:α+【證明】因?yàn)?