高中新課程數(shù)學(xué)（新課標(biāo)人教A版）選修2-2《2.3.1數(shù)學(xué)歸納法》課件3

數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握數(shù)學(xué)歸納法的定義。掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本思想。掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟。重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的基本思想的理解。難點(diǎn)：利用數(shù)學(xué)歸納法證明。課時(shí)：一課時(shí)。對(duì)于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般結(jié)論的推理方法，叫歸納法。歸納法｛

完全歸納法不完全歸納法由特殊一般特點(diǎn):a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3d……an=a1+(n-1)d如何證明:1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)二、數(shù)學(xué)歸納法：1、數(shù)學(xué)歸納法的定義：證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題,可用下列方法來證明它們的正確性:(1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)命題成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*

，kn0)時(shí)命題成立,

證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立完成這兩步，就可以斷定這個(gè)命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立若當(dāng)n=k(kn0)時(shí)命題成立,

證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果當(dāng)n=n0時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n0，k∈N*)時(shí)，命題成立(這時(shí)命題是否成立不是確定的)。根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，…，命題都成立.例如在本章2.1節(jié)的練習(xí)中，同學(xué)們用歸納推理猜想到這個(gè)猜想是一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題，其正確性有待證明。要證明公式（*）成立，原則上要對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n實(shí)施證明。但是這個(gè)證明步驟是無限的，無法實(shí)施，需要另尋方法。數(shù)學(xué)歸納法可以用有限的步驟，完成這個(gè)命題的證明。其步驟如下：（1）當(dāng)n=1時(shí)，（*）式左端等于1，右端也等于1，因此（*）式對(duì)n=1成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，（*）式成立，即假設(shè)在此前提下，可推出而由此可見在假設(shè)（*）式對(duì)n=k成立的前提下，推出（*）式對(duì)n=k+1成立。于是可以斷定（*）式對(duì)一切正整數(shù)n成立.由步驟（1），可知（*）式對(duì)n=1成立；由（*）式對(duì)n=1成立及步驟（2），可知對(duì)n=1+1=2，（*）式成立；再由（*）式對(duì)n=2成立及步驟（2），可知對(duì)n=2+1=3，（*）式成立；繼續(xù)上述步驟，可知（*）式對(duì)n=3+1=4，n=4+1=5，n=5+1=6，…，n=(k－1)+1=k，…都成立。于是（*）式對(duì)一切正整數(shù)n成立。再如:用數(shù)學(xué)歸納法證明注意

1.用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí),要分兩個(gè)步驟,兩個(gè)步驟缺一不可.2(1)(歸納奠基)是遞推的基礎(chǔ).找準(zhǔn)n0(2)(歸納遞推)是遞推的依據(jù)n＝k時(shí)命題成立．作為必用的條件運(yùn)用，而n＝k+1時(shí)情況則有待利用假設(shè)及已知的定義、公式、定理等加以證明三、典例分析：例1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個(gè)等差數(shù)列，公差是d，那么an=a1+(n－1)d對(duì)一切n∈N+都成立。證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a1，右邊=a1,等式是成立的；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即ak=a1+(k－1)d，

那么ak+1=ak+d=[a1+(k－1)d]+d=a1+kd，

這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立，由（1）和（2）可以斷定，等式對(duì)任何n∈N+都成立。例2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即1+3+5+…+(2k－1)=k2.

那么1+3+5+…+(2k－1)+[2(k+1)－1]=k2+[2(k+1)－1]=k2+2k+1=(k+1)2.

這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立，由（1）和（2）可以斷定，等式對(duì)任何n∈N+都成立。例3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=4，右邊=4，因?yàn)樽筮?右邊，所以等式是成立的；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立，由（1）和（2）可以斷定，等式對(duì)任何n∈N+都成立。鞏固練習(xí)、求證:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?…?(2n-1)證明：①n=1時(shí)：左邊=1+1=2，右邊=21?1=2，左邊=右邊，等式成立。②假設(shè)當(dāng)n=k((k∈N）時(shí)有：

(k+1)(k+2)…(k+k)=2k?1?3?…?(2n-1),

當(dāng)n=k+1時(shí)：左邊=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)?

=2k?1?3?…?(2k-1)(2k+1)?2