關(guān)于反射現(xiàn)象的幾何光學(xué)題

關(guān)于反射現(xiàn)象的幾何光學(xué)題

以下是關(guān)于反射現(xiàn)象的幾何光學(xué)問(wèn)題，它們不僅有趣，而且還包含著深刻的數(shù)學(xué)哲學(xué)家。1反射定律結(jié)果題目:如圖1所示,兩平面鏡M1、M2的夾角為θ.過(guò)P點(diǎn)有一條與M1成α角的方向射向Q點(diǎn)的光線.要使該光線經(jīng)兩面鏡若干次反射后能沿原路返回,試推導(dǎo)α、θ應(yīng)滿足的關(guān)系式.(設(shè)0<α<90°,0<θ<90°)解析:設(shè)射到Q點(diǎn)的光線經(jīng)兩面鏡第1、2、……n次反射后,反射線與發(fā)生反射的那個(gè)面鏡間的夾角分別為θ1、θ2、……θn,如圖2所示.根據(jù)反射定律及圖2所示的幾何關(guān)系不難推知θ1=180°-α,θ2=θ1-θ=180°-(α+θ),θ3=θ2-θ=180°-(α+2θ),……由此可歸納出θn=θn-1-θ=180°-[α+(n-1)θ].(1)欲使光線在發(fā)生第n次反射后能沿原路返回,須使θn=90°.(2)聯(lián)立(1)、(2)兩式得θ=90°?αn?1.(n=2?3???)(3)θ=90°-αn-1.(n=2?3???)(3)(3)式即為所求的關(guān)系式.例如,若令α=20°,則當(dāng)θ=70°,35°,23.3°,17.5°,…時(shí),均可以使入射光線經(jīng)兩面鏡總共反射2,3,4,5,…次后沿原路反射回去.2.p孔射出的解析題目:如圖3所示,內(nèi)壁為凹面鏡的圓筒,在P點(diǎn)處開有一小孔.一條光線沿與過(guò)P點(diǎn)的直徑所在的直線成α=20°角的方向,從小孔P射入筒內(nèi).試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該光線能否從P孔射出.解析:相鄰兩次反射時(shí)的反射點(diǎn)與圓心O的兩條連線之間的夾角為(見(jiàn)圖4)θ=180°-2α=140°.要使光線在筒內(nèi)發(fā)生n次反射后從P孔射出,須滿足(n+1)θ=k·360°,即n+1k=360°140°=187.n+1k=360°140°=187.由于能夠找到使上式成立的整數(shù)n和k,故該光線能從P孔射出.由上式容易看出:當(dāng)k取整數(shù)7且n同時(shí)取整數(shù)17時(shí),上式成立.這表明當(dāng)光線進(jìn)入筒內(nèi),在總共反射了17次(轉(zhuǎn)了7圈)后便從P孔射出.3第一次反射后的第2次反射后的兩次反射后的方向不發(fā)生偏轉(zhuǎn)角題目:如圖5所示,兩平面鏡互成α角,AB為一條入射光線.若保持α角不變,將面鏡M1和M2一起以B點(diǎn)為軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)小角θ.則下列說(shuō)法中正確的是:A.第1次反射后的光線偏轉(zhuǎn)θ角,第2次反射后的光線偏轉(zhuǎn)2θ角.B.第1次反射后的光線偏轉(zhuǎn)2θ,第2次反射后的光線偏轉(zhuǎn)4θ角.C.第1次反射后的光線偏轉(zhuǎn)2θ角,第2次反射后的光線偏轉(zhuǎn)θ角.D.第1次反射后的光線偏轉(zhuǎn)2θ角,第2次反射后的光線其方向不發(fā)生偏轉(zhuǎn).解析:當(dāng)順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)θ角時(shí),入射線AB的入射角增大為i+θ(i為原入射角).則第一次反射后的反射線與入射線的夾角增大為2(i+θ).因此,第一次反射后的光線較原來(lái)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度為2(θ+i)-2i=2θ.當(dāng)鏡逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)θ角時(shí),結(jié)論與上述相同.設(shè)第2次反射后的反射線與入射線AB之間的夾角為θ′,如圖6所示.根據(jù)圖6所示的幾何關(guān)系,有∠α+∠1+∠2=180°,(∠1+∠1′)+(∠2+∠2′)=180°.所以有:∠1′+∠2′=α,故θ′=2(∠1′+∠2′)=2α.當(dāng)兩面鏡轉(zhuǎn)過(guò)很小角θ后,由上述結(jié)論可知,第2次反射后的光線與入射光線的夾