大連理工大學(xué)《矩陣與數(shù)值分析》學(xué)習(xí)指導(dǎo)與課后參考答案第三章、逐次逼近法

第三章逐次逼近法1.1內(nèi)容提要1、一元迭代法xn+1=φ(xn)收斂條件為：1）映內(nèi)性x∈[a,b]，φ(x)∈[a,b]2）壓縮性∣φ(x)-φ(y)∣≤L∣x-y∣其中L＜1，此時(shí)φ為壓縮算子，在不斷的迭代中，就可以得到最終的不動(dòng)點(diǎn)集。由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L＜1，顯然它一定滿足壓縮性條件。2、多元迭代法xn+1=φ(xn)收斂條件為：1）映內(nèi)性xn∈Ω，φ(xn)∈Ω2）壓縮性ρ（▽?duì)眨?，其中▽?duì)諡閤n處的梯度矩陣，此時(shí)φ為壓縮算子，在不斷的迭代中，就可以得到最終的不動(dòng)點(diǎn)集。3、當(dāng)φ(x)=Bx+f時(shí)，收斂條件為，ρ（B）＜1，此時(shí)xn+1=Bxn+f，在不斷的迭代中，就可以得到線性方程組的解。4、線性方程組的迭代解法，先作矩陣變換Jacobi迭代公式的矩陣形式Gauss-Seidel迭代公式的矩陣形式超松弛迭代法公式的矩陣形式三種迭代方法當(dāng)時(shí)都收斂。5、線性方程組的迭代解法，如果A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則Jacob法和Gauss-Seidel法都收斂。6、線性方程組的迭代解法，如果A不可約對(duì)角占優(yōu)，則Gauss-Seidel法收斂。7、Newton迭代法，單根為二階收斂8、Newton法迭代時(shí)，遇到重根，迭代變成線性收斂，如果知道重?cái)?shù)m，仍為二階收斂9、弦割法的收斂階為1.618，分半法的收斂速度為（b-a）/2n-110、Aitken加速公式1.2典型例題分析1、證明如果A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則Jacob法和Gauss-Seidel法都收斂。證明：首先證Jacob法收斂，因?yàn)锳嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則，于是，從而，這又有，因此Jacob迭代法收斂。再證G-S法收斂，因?yàn)?，由定?.6，非奇異，而，所以，從而嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣一定可逆。在G-S法中，，從而，求矩陣特征值時(shí)，只能是，因?yàn)锳嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，，如果，兩邊乘，這說(shuō)明矩陣仍然嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，前面已證明，該行列式不能為0，這是一個(gè)矛盾。因此，只能是，而這恰好說(shuō)明Gauss-Seidel迭代法收斂。2、證明：如果A的對(duì)角元非零，超松弛迭代法收斂的必要條件是證明：令，如果超松弛迭代法收斂，應(yīng)該有而，從而必須滿足。3、分析方程2x-3x+4x-5x+6x-7x+8x-9x+10x=10是否有實(shí)根，確定根所在的區(qū)間，寫(xiě)出求根的Newton迭代公式,并確定迭代的初始點(diǎn)。解：因此該方程在[1,2]有且僅有一個(gè)實(shí)根，Newton迭代公式為/（），x0=1.5即可4、由求的Newton迭代公式證明：對(duì)一切是遞減序列。證明：首先，如果中的xk>0，于是。又因?yàn)閗=1開(kāi)始5、若f(x)在零點(diǎn)ξ的某個(gè)鄰域中有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且f’(ξ)≠0，試證：由Newton迭代法產(chǎn)生的xk(k=0,1,2,…)有證明：由Taylor公式，6、證明：A∈Cn*n,對(duì)任意范數(shù)有，證明：首先存在某種范數(shù)所以，取得到，對(duì)不等式同時(shí)取極限即得到再根據(jù)范數(shù)的等價(jià)性對(duì)不等式同時(shí)取極限即得到對(duì)任意范數(shù)有結(jié)果7、確定常數(shù)p,q,r，使如下迭代法收斂到，該方法至少幾階？解：根據(jù)定理3.6，一個(gè)迭代格式，在根附近它的p-1階導(dǎo)數(shù)為零，就至少有p階收斂速度1.3習(xí)題解答判斷正誤、選擇和填空：1）、對(duì)于迭代過(guò)程，xn+1=φ(xn)，若迭代函數(shù)在x*的鄰域有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，則迭代過(guò)程為超線性收斂。（不正確），xn+1=φ(xn)的迭代收斂條件有兩條，1）映內(nèi)性xn∈[a,b]，φ(xn)∈[a,b]2）壓縮性。更不能保證有超線性收斂，例如：用Newton迭代法求任何非線性方程均局部平方收斂。（不正確）若線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則Jacobi迭代法和G-S迭代法都收斂。（正確）解非線性方程f(x)=0的弦解法迭代具有（局部超線性斂速1.618）。局部平方收斂；（B）局部超線性收斂；（C）線性收斂任給初始向量x(0)及右端向量f，迭代法x(k+1)=Bx(k)+f收斂于方程組Ax=b的精確解x*的充要條件是（）。設(shè)φ(x)=x-β(x2-7)，要使迭代法xk+1=φ(xk)局部收斂到x*=，則β取值范圍是（）。用迭代法xk+1=xk-λ(xk)f(xk)求f(x)=x3-x2-x-1=0的根，若要使其至少具有局部平方收斂，則（）。用二分法求x3-2x-5=0在[2，3]內(nèi)的根，并要求，需要迭代（18）步。求f(x)=5x-ex=0在[0，1的根，迭代函數(shù)的簡(jiǎn)單迭代公式收斂階為（線性）；Newton迭代公式的函數(shù)（）；其收斂階為（二階）。給定方程組，a為實(shí)數(shù)，當(dāng)a滿足（），且0<w<2時(shí)SOR法收斂。解：超松弛迭代格式現(xiàn)A對(duì)稱(chēng)，再加上正定就一定收斂，2、用列主元消去法解方程組Ax=b，其中A=，b=對(duì)所求的結(jié)果x，使用三次迭代改善后，解的精度能否有明顯提高？4、設(shè)有線性方程組=，其精確解x*=(1,1,1)T，現(xiàn)用Gauss列主元消去法，得到的近似解x（1）=(1.2001,0.99991,0.92538)T，試用迭代改善法改善其精度。5、設(shè)方程組為=,證明：（1）用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法收斂的充要條件為（2）Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法同時(shí)收斂或者發(fā)散證明：（1）先作矩陣變換Jacobi迭代公式的矩陣形式其中而，由迭代收斂的充要條件，于是Gauss-Seidel迭代公式的矩陣形式其中而，由迭代收斂的充要條件于是（2）顯然，，兩者都收斂，反之都發(fā)散。6、設(shè)A=，b=，t為實(shí)參數(shù)（1）求用Jacobi迭代法解Ax=b的迭代矩陣（2）t在什么范圍內(nèi)時(shí)Jacobi迭代法收斂解：（1）Jacobi迭代公式的矩陣形式，其中（2）由，迭代收斂的充要條件，于是，7、設(shè)A=，b=，t為實(shí)參數(shù)用Gauss-Seidel迭代法解Ax=b時(shí)，t在什么范圍內(nèi)收斂解：Gauss-Seidel迭代公式的矩陣形式，其中由迭代收斂的充要條件，于是，8、（1）設(shè)A=，b=，試證：Jacobi迭代求解發(fā)散，而Gauss-Seidel迭代法收斂，并求解。（2）設(shè)A=，b=，試證：Jacobi迭代求解收斂，而Gauss-Seidel迭代法發(fā)散，并求解。證明：先作矩陣變換（1）Jacobi迭代公式的矩陣形式其中由迭代收斂的充要條件，于是Jacobi迭代求解發(fā)散。Gauss-Seidel迭代公式的矩陣形式其中由迭代收斂的充要條件于是Gauss-Seidel迭代法收斂。（2）與（1）解法類(lèi)似，Jacobi迭代公式中由迭代收斂的充要條件，于是Jacobi迭代求解收斂。而在Gauss-Seidel迭代公式中，由迭代收斂的充要條件應(yīng)有，而現(xiàn)在，于是Gauss-Seidel迭代法發(fā)散。9、設(shè)方程組為=證明：（1）用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法是否收斂？（2）交換兩個(gè)方程次序，再用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代是否收斂？證明：（1）先作矩陣變換Jacobi迭代公式的矩陣形式其中不滿足迭代收斂的充要條件，于是Jacobi迭代求解發(fā)散。Gauss-Seidel迭代公式的矩陣形式其中不滿足迭代收斂的充要條件，于是Gauss-Seidel迭代將發(fā)散。（2）交換方程次序后，系數(shù)矩陣變?yōu)?，它?yán)格對(duì)角占優(yōu)，因此Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代都收斂。10、求方程附近的一個(gè)根，將方程改寫(xiě)為四種等價(jià)形式（1）、（2）、（3）、（4）、試分析據(jù)此構(gòu)造的迭代格式的收斂性，選擇收斂最快的格式求根，使之誤差不超過(guò)，對(duì)收斂最慢的格式用Aitken加速，結(jié)果如何？解：利用迭代格式xn+1=φ(xn)求解方程時(shí)，算子φ只要滿足兩條：1）映內(nèi)性xn∈[a,b]，φ(xn)∈[a,b]2）壓縮性∣φ’∣≤L＜1，那么迭代收斂。逐個(gè)判斷上述4種格式的映內(nèi)性和壓縮性比較麻煩，我們先判斷方程根的區(qū)間。現(xiàn)在，利用4種迭代格式，是企圖求出[1，2]中的這個(gè)實(shí)根。最簡(jiǎn)便的方法是直接利用計(jì)算機(jī)迭代，結(jié)果如下：迭代格式（1）（2）（3）（4）計(jì)算次數(shù)126發(fā)散發(fā)散根1.46571.4659可見(jiàn)，迭代格式（1）、（2）收斂，其中（2）最快；而迭代格式（3）、（4）發(fā)散。Aitken加速公式，利用它對(duì)迭代格式（1）加速后，8次迭代（計(jì)算16次φ值），得根1.4662，對(duì)迭代格式（3）、（4）加速后仍不收斂。12、用Newton迭代公式求下列方程的根，要達(dá)到（1）、（2）（3）解：（1）先判斷方程根的區(qū)間。利用（2）先判斷方程根的區(qū)間。利用（3）先判斷方程根的區(qū)間。利用14、，15、用弦截法求下列方程的根，要達(dá)到（1）、（2）（3）解：（1）先判斷方程根的區(qū)間。利用（2）先判斷方程根的區(qū)間。（3）先判斷方程根的區(qū)間。16、Heonardo于1225年研究了方程請(qǐng)你構(gòu)造一種簡(jiǎn)單迭代格式驗(yàn)證該著名結(jié)果。解：可見(jiàn)，其結(jié)果是正確的，如果對(duì)它的末位四舍五入，取將更精確。17、應(yīng)用Newton法求的頭5個(gè)非零正實(shí)根解：從0開(kāi)始，以步長(zhǎng)h=0.01搜索，出現(xiàn)函數(shù)值變號(hào)區(qū)間，立即以中點(diǎn)為初值，用Newton法加速迭代，找出負(fù)根舍棄，正根保留，然后繼續(xù)搜索。求出5個(gè)正根為4.73004344778508，7.8532046238611，10.9956078380018，17.278759657399518、用二分法求要達(dá)到19、用冪法計(jì)算下列矩陣的主特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量；用QR法計(jì)算下列矩陣特征值，當(dāng)主特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時(shí)停止。A1=，A2=1）特征值=(0.5858，2.0000，3.4142)，主特征值=3.4142主特征值對(duì)應(yīng)的特征向量（-0.5000，0.7071，-0.5000）T2）特征值=(2.0000，6.0000，3.0000)，主特征值=6.0000主特征值對(duì)應(yīng)的特征向量（0.7974，0.5696，-0.1994）T20、用反冪法計(jì)算矩陣的模最小特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量；用QR法計(jì)算矩陣特征值，當(dāng)特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時(shí)停止。A=特征值=(-7.0709，0.8133，18.2576)，模最小特征值=0.8133，其對(duì)應(yīng)的特征向量為（-0.1341，-0.7318，0.6682）T21、矩陣A=有特征值的近似值4.3，試用原點(diǎn)位移的反冪法求出特征值和對(duì)應(yīng)特征向量解：已知特征值的一個(gè)近似值之后，就可能成為矩陣的模最小特征值，這樣用反冪法，求出它的最小特征值為0.2745，對(duì)應(yīng)特征向量（-0.6907，0.7149，0.1087）T，于是，可見(jiàn)特征向量仍不變。22、試用SOR法（ω=0.9）解線性方程組=（1）、證明此時(shí)SOR法收斂（2）、求滿足的解解：（1）SOR格式代入ω=0.9求出其3個(gè)特征值=0.0428，0.0300±0.1499i)，可見(jiàn)譜半徑小于1，因此迭代收斂（2）x=(-3.0909,1.2372,0.9802)T23、方程組Ax=b，其中A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，迭代公式x(k+1)=x(k)+ω(b-Ax(k))證明：當(dāng)時(shí)，迭代收斂（其中0<α≦λ(A)≦β，λ(A)為A的任意特征值）證明：由x(k+1)=x(k)+ω(b-Ax(k))=（I-ωA）x(k)+ωb，如果迭代收斂，應(yīng)該有ρ(I-ωA)<1但是（I-ωA）的特征值為1-ωλ(A)，所以∣1-ωλ(A)∣＜1，-1＜1-ωλ(A)＜10＜ωλ(A)＜2，又由于0<α≦λ(A)≦β，為保證0＜ωmax(λ(A))＜2，應(yīng)該有0＜ωβ＜2，所以時(shí)可確保迭代收斂。24、（略）25、用G-S法求解方程組：=,，（）26、電路分析，常需要解方程組RI=v，分別用（1）Jacobi迭代（2）Gauss-Seidel迭代（3）SOR迭代（4）C