2023年高考數(shù)學(xué)第32講 等積求距建模第一向量解法頗見功夫

第32講等積求距建模第一，向量解法頗見功

夫

一、攻關(guān)方略

空間距離的探究是立體幾何的又一類重要題型.

1.空間距離

空間的距離主要有：點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與線、線與面、面與面，這些距離的計(jì)算最終

都可看作點(diǎn)與點(diǎn)的距離，距離離不開垂直，因此求距離問題的過程實(shí)質(zhì)上是論證線面關(guān)系(平行與

垂直)與解三角形的過程.在特定的幾何模型中進(jìn)行，建模思想非常重要，值得注意的是，“作、證、

算、答”是立體幾何計(jì)算題不可缺少的步驟.

2.空間距離的求解

空間距離的求解重在轉(zhuǎn)化與建模.許多情況最終化歸為求點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)到平面的距離的

求法主要有以下幾種.

(1)直接法.先作出表示距離的線段，再證明它就是所要求的距離,然后再計(jì)算.

(2)間接法.如果在找點(diǎn)到面的距離時(shí)，垂足的位置不容易確定，可以考慮用三棱錐的等積法，求出

點(diǎn)到平面的距離.

3.空間距離的轉(zhuǎn)化

(1)直線到與它平行平面的距離.轉(zhuǎn)化成直線上的點(diǎn)到平面的距離.

(2)兩平行平面間的距離.轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的直線到另一個(gè)平面的距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)

到平面的距離.

(3)異面直線間的距離.作出異面直線的公垂線，計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度.

4.向量法求空間距離

\PM-n\

⑴求點(diǎn)P到平面a的距離.d=]-..-1(其中〃為平面a的法向量，M為a內(nèi)任意

1?1

一點(diǎn)).

、2

AB-n\

(2)求點(diǎn)A到直線I的距離.d\AB\2-(其中8是/上任意一點(diǎn)，n是直

線/的方向向量）.

\AB-n\

J

（3）求異面直線么b的距離.d=^-rT（其中A是直線a上任意一點(diǎn)，B是直線b上

任意一點(diǎn)，且n1a,n±b\

正可謂:

空間距離重在轉(zhuǎn)化.

點(diǎn)面距離三法并舉.

等積求距建模第一,

向量解法頗見功夫.

二、例題展示

列1已知直二面角a-l-/3,點(diǎn)A&a,AC±l,C為垂足，Be/3,BD工l,D為垂足，若

AB=2,AC=BD=1,則點(diǎn)D到平面ABC的距離等于（）

V2D.6rC.V6

3-------------33

解題策略本題為求點(diǎn)到平面的距離，由于題設(shè)條件是直二面角。一/一力，這一特殊性可以得到

多種不同的解法.

策略一由直二面角出發(fā)構(gòu)造長(zhǎng)方體杷求點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)線距離，再利用等面積法求解

策略二通過證明把求點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)線距離，在同一個(gè)三角形中，利用等面積法求解

策略三;轉(zhuǎn)化為利用幾何體（通常為三棱錐）進(jìn)行等體積法求解

\AE-n\

策略四建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的點(diǎn)面距離公式J=?求解，其中AE

1?1

為平面a的斜線，?為平面a的法向量

策略五利用向量模長(zhǎng)求解

解法一（構(gòu)造法）依據(jù)題意構(gòu)造長(zhǎng)方體MBDC-NPQA,

如圖32—1所示，貝IJAC=BD=\,AB=2,

由長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)求法易得MB=6.

由長(zhǎng)方體的性質(zhì)易得點(diǎn)D到平面ABC932-1

11逅

力

得=

的距離就是點(diǎn)D到BC的距離，記色.由SBCD2-2-3

故選C.

解法二（等面積法）如圖32-2所示，作DE1BC于點(diǎn)E,由二面角a-l-0為直二面角,

AC11得AC1平面/?,于是有ACIDE.

又BCLDE,BCoAC^C,于是DE1.平面ABC,故DE為點(diǎn)D到平面ABC的距

離.

在RtBCD中，利用等面積法得

DE=BDXDC=4=也

BC63

解法三（等體積法）參考圖32-2,由二面角a-l-（3

為直二面角，得AC1平面p.

由AB=2,AC=8O=1,BO_L/,可知

BC=?CD=?

圖32-2

11B

則VA-BDC=-XlX-xlxV2=—.

設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為h,于是%_"c=!x〃x!xlxji=g〃.

326

VA-BDC=VD-ABC^'-h=-^-'故選。

解法四（向量坐標(biāo)法，利用點(diǎn)面距離公式求解）

由題意可知ACJ_/7，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖32-3所示的空間直角坐標(biāo)系,

則71(0,0,1),5(1,A,0)(2>0),由AB=2,

解得4=及，

,?.C4=(0,0,l),CB=(l,V2,0),則平面ABC的

法向量為〃=（血,一1,0）,而CD=（0,72,0）,故點(diǎn)D到平面ABC的距離為d

nCD\6■—瓜班洋r

方=1-'故選c

n

解法五（向量坐標(biāo)法，轉(zhuǎn)化為求向量的模長(zhǎng)）

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖32-4所示的空間直角坐標(biāo)系，貝IJ5（1,0,0）,C（0,72,0）,得

BC=（-1,V2,0）.

設(shè)BEABC,貝IJDE=DB+BE=（1—2,6九,

0),由0E-8C=4—l+2；l=0,得2=1

+0,故選C.

故W=JJ3

例2.如圖32-5所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-AgCQ中，點(diǎn)P在棱CC,上，且

CC,=4CP,求點(diǎn)P到平面ABR的距離.

國(guó)12-V

解題策略本題可以采用定義法、向量坐標(biāo)法或公式法求解.

策略一定義法——找到垂面，作出垂線，然后求值：

策略二向量坐標(biāo)法——利用公式。求距離

|n|

策略三公式法——利用點(diǎn)尸（將,為,Zo）到平面Ax+By+Cz+D=0的距離

^_|Ax0+Bj0+Czu+D|

公式

"VA2+B2+C2

策略四利用等體積法求點(diǎn)面距離，關(guān)鍵在于找到對(duì)應(yīng)的三棱錐:

策略五空間向量坐標(biāo)法，通過投影求點(diǎn)面距離:

解法一（立體幾何定義法）如圖32-6所示，連接BG，則易證平面BCC,1平面ABCR

于BG，于是在平面BCC,中，過點(diǎn)P作PQ1BC,于點(diǎn)Q,

平面BCC^PQu平面BCC,,

PQ1AB,：.PQA.平面ABCtDt,

??.PQ就是點(diǎn)尸到平面ABD,的距離，

在Rt’GPQ中，

NCQP=90,NPGQ=45,PG=3,r.PQ=當(dāng).

即點(diǎn)P到平面ABD,的距離為逑.

解法二（向量坐標(biāo)法）如圖32-7所示，建立空間坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為D,易求得

的=(0,0,4)-(4,0,0)=(^,0,4)AB=(4,4,0)-(4,0,0)=(0,4,0)

設(shè)平面ABR的法向量為〃=(x,y,z),

AD-n=0-4x+4z=0[x=z

則<}=>5=>5

ABn=0[4y=0[y=0.

取x=l,得n=(l,0,l).

又AP=(0,4,1)-(4,0,0)=(^,4,1)

APn=(-4)xl+0x4+lxl=-3

Ap-n\3372

???點(diǎn)P到平面ABD的距離為d=,,,°

tnJ22

解法三（運(yùn)用點(diǎn)面距離公式）空間點(diǎn)面距離公式實(shí)際上是平面解析幾何中點(diǎn)線距離的延伸拓展.

z=0

在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)45,%,0）至I］直線＜,ccc的距離d=

Ax+By+D=Q

|Ar0+Byn+Z)|

?'%L這一公式由二維拓展到三維.

在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系內(nèi),設(shè)平面ABD,的方程為

Ar+3y+Cz+O=0(A,3,C不同時(shí)為零).

4(4,0,0),3(4,4,0),A(0,0,4)

4A+￡>=0[5=0

則由A,B,DtG平面ABDt=><4^+45+￡>=0,<C=AW=1

4C+O=0O=—4A

得平面ABQ的方程是x+z-4=0,

.?.點(diǎn)P（0,4,l）到平面ABD,的距離

|0+0x4+l-4|372

一用+F+P—F

解法四（等體積法）如圖32-8所示，連接BG，在BC上取一

點(diǎn)使CM=CP=；CC「連接PM,則PMIIBC,.

；PM<Z平面ABC[D],BCiu平面ABCR,

：.PMH平面ABCQ,點(diǎn)P到平面ABCtDt的距離

即為M到平面ABCR的距離，連接MA,MDi，BD「設(shè)M到平面ABGR的距離為h.

111o/n

則VM-ABDl=-S^-h=-x-AB-AD.-h=-^h.

又^Dt-ABM=gSABM，RD=1乂萬AB?BM?RD

=—x—x4x3x4=8

32

…7,z乍8憶_。_30

由^M-ABD,一^D,-ABM，何h—S,ll—.

30

即點(diǎn)P到平面ABD,的距離為