北師大版數(shù)學(xué)八年級（上）復(fù)習(xí)微專題精煉3 勾股定理的應(yīng)用

北師大版數(shù)學(xué)八年級（上）復(fù)習(xí)微專題精煉3勾股定理的應(yīng)用一、選擇題1．如圖，一根長為5m的竹竿AB斜靠在豎直的墻壁上，竹竿底端B離墻壁距離3m，則該竹竿的頂端A離地豎直高度為（） A．2m B．3m C．4m D．3m2．如圖，在“慶國慶，手拉手”活動中，某小組從營地A出發(fā)，沿北偏東53°方向走了1200m到達(dá)B點，然后再沿北偏西37°方向走了500m到達(dá)目的地C點，此時A，C兩點之間的距離為（）A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m3．《九章算術(shù)》中記錄了這樣一則“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)（如圖），則折斷后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）如果我們假設(shè)折斷后的竹子高度為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x2+4C．(10?x)2+44．如圖，將一根長20cm的鉛筆放入底面直徑為9cm，高為12cm的圓柱形筆筒中，設(shè)鉛筆露在筆筒外面的長度為xcm，則x的最小值是（）A．5 B．7 C．12 D．135．如圖，長方體的高為9dm，底面是邊長為6dm的正方形.一只螞蟻從頂點A開始爬向頂點B，那么它爬行的最短路程為（） A．10dm B．12dm C．15dm D．20dm6．如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5m的墻上，裝有一個由傳感器控制的門鈴A，如①圖所示，人只要移至該門鈴5m及5m以內(nèi)時，門鈴就會自動發(fā)出語音“歡迎光臨”.如②圖所示，一個身高1.5m的學(xué)生走到D處，門鈴恰好自動響起，則BD的長為（）A．3米 B．4米 C．5米 D．7米7．有長為5cm，12cm的兩根木條，現(xiàn)想找一根木條和這兩根木條首尾順次相連組成直角三角形，則下列木條長度適合的是（）A．10cm B．13cm C．18cm D．20cm8．漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶．如圖所示的弦圖中，四個直角三角形都是全等的，它們的斜邊長為5，較短直角邊長為3，則圖中小正方形（空白區(qū)域）的面積為（） A．1 B．4 C．6 D．99．勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE=1m，將它往前推6m至C處時（即水平距離CD=6m），踏板離地的垂直高度CF=4m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）mA．212 B．152 C．6 10．有一個邊長為1的正方形，以它的一條邊為斜邊，向外作一個直角三角形，再分別以直角三角形的兩條直角邊為邊，向外各作一個正方形，稱為第一次“生長”（如圖1）；再分別以這兩個正方形的邊為斜邊，向外各自作一個直角三角形，然后分別以這兩個直角三角形的直角邊為邊，向外各作一個正方形，稱為第二次“生長”（如圖2）……如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）A．1 B．2020 C．2021 D．2022二、填空題11．《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，匯集了我國歷代學(xué)者的勞動和智慧，被譽為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．其中記錄了這樣一個問題，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問折者高幾何？意思是：今有竹高10尺，末端被折斷而抵達(dá)地面，離竹根部有3尺，則竹的余高為尺．12．如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達(dá)點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了米.13．在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一陣強風(fēng)吹來把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上離開原來的位置2尺遠(yuǎn)，則這個湖的水深是尺．14．一輪船以16海里/時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時以12海里/時的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1.5小時后，它們相距15．我國古代《九章算術(shù)》中的“折竹抵地問題”：一根竹子高一丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端6尺處，折斷處離地面的高度為尺．（一丈=10尺）三、解答題16．如圖所示，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個上方是一個半圓，下方是長方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬2.8米，求這輛送家具的卡車能否通過這個通道.17．學(xué)過《勾股定理》后，某班興趣小組來到操場上測量旗桿AB的高度，得到如下信息：

①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長2米(如圖1)；

②當(dāng)將繩子拉直時，測得此時拉繩子另一端的手到地面的距離CD為2米，到旗桿的距離CE為10米(如圖2)．根據(jù)以上信息，求旗桿四、綜合題18．如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為4m．（1）求旗桿距地面多高處折斷（AC）；（2）工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1m的點D處，有一條明顯裂痕，將旗桿修復(fù)后，若下次大風(fēng)將旗桿從點D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險？19．臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它在以臺風(fēng)中心為圓心，一定長度為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，監(jiān)測中心監(jiān)測到一臺風(fēng)中心沿監(jiān)測點B與監(jiān)測點A所在的直線由東向西移動，已知點C為一海港，且點C與A，B兩點的距離分別為300km、400km，且∠ACB=90°，過點C作CE⊥AB于點E，以臺風(fēng)中心為圓心，半徑為260km的圓形區(qū)域內(nèi)為受影響區(qū)域，臺風(fēng)的速度為25km/h．（1）求監(jiān)測點A與監(jiān)測點B之間的距離；（2）請判斷海港C是否會受此次臺風(fēng)的影響，若受影響，則臺風(fēng)影響該海港多長時間？若不受影響，請說明理由．20．在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB=AC，由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測得CB=1.5千米，CH=1.（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明．（2）求原來的路線AC的長．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由題意得：AB=5m，BC=3m，AC⊥BC，則AC=A即該竹竿的頂端A離地豎直高度為4m，故答案為：C．

【分析】直角利用勾股定理計算即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：如圖，由題意得：AB=1200m，BC=500m，∠CBD=37°，∠BAF=53°，DE∥AF，∴∠ABE=∠BAF=53°，∴∠ABC=180°?∠CBD?∠ABE=180°?37°?53°=90°，∴AC=A即A，C兩點之間的距離為1300m，故答案為：D．【分析】先求出∠ABC的度數(shù)，再利用勾股定理求出AC的長即可。3．【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示：由題意得：∠AOB=90°，設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，由勾股定理得：x2故答案為：D．【分析】設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，利用勾股定理可得x24．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，當(dāng)吸管、底面直徑、杯子的高恰好構(gòu)成直角三角形時，h最短，此時AB=9故h最短故答案為：A．

【分析】先利用勾股定理求出AB的長，再利用線段的和差求出h最短5．【答案】C【解析】【解答】解：①如圖，將長方體的正面和上面展開在同一平面內(nèi)，則AD=6dm，BD=6+9=15dm，AB=6②如圖，將長方體的正面和右面展開在同一平面內(nèi)，AC=6+6=12dm，BC=9dm，AB=1③將長方體的上面和左面展開在同一平面內(nèi)，則DE=6dm，BE=6+9=15dm，DB=6∵15<329所以螞蟻爬行的最短路程為15dm．故答案為：C．【分析】將立體圖形按照三個不同的方向展開，連接AB，用勾股定理求出AB的長，比較大小找出最短的距離即可．6．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知.BE=CD=1.5m，AE=AB?BE=4.5?1.5=3m，AC=5m由勾股定理得BD=CE=5故離門4米遠(yuǎn)的地方，燈剛好打開.故答案為：B.【分析】由題意可知：BE=CD=1.5m，AE=AB-BE=3m，AC=5m，由勾股定理求出BD、CE，據(jù)此解答.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵52∴木條長度適合的是13cm.故答案為：B.【分析】直接利用勾股定理求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：大正方形的邊長為5，較短直角邊長為3，則較長直角邊長4，∴小正方形邊長為1，∴小正方形面積為1，故答案為：A．【分析】先求出較長直角邊長4，再求出小正方形邊長為1，最后求解即可。9．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)秋千繩索AB的長度為xm，由題意可得AC=AB=xm，四邊形DCFE為矩形，BE=1m，DC=6m，CF=4m，DE=CF=4m，∴DB=DE?BE=3m，AD=AB?BD=(x?3)m，在Rt△ADC中，AD即62解得x=15即AC的長度為152故答案為：B．

【分析】設(shè)秋千繩索AB的長度為xm，利用勾股定理可得62+(x?3)10．【答案】D【解析】【解答】解：如圖，由題意得：SA=1，由勾股定理得：SB＋SC=1，則“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得：“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形面積和為3，“生長”了3次后形成的圖形中所有正方形的面積和為4，……∴“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2022，故答案為：D.【分析】利用勾股定理可證得SB＋SC=1，可得到“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2；“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形面積和為3；“生長”了3次后形成的圖形中所有正方形的面積和為4，……，由此規(guī)律可得到“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和.11．【答案】4.55【解析】【解答】解：由題意得，如圖所示，AB=10，AD=3，∠A=90°，BC=CD，設(shè)AC=x，則BC=CD=10?x，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC∴x2解得x=4.∴竹的余高為4.55尺，故答案為：4.55．【分析】設(shè)AC=x，則BC=CD=10?x，利用勾股定理可得x212．【答案】9【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝BC2?A∵CD＝10（米），∴AD＝CD∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸邊移動了9米，故答案為：9.【分析】分別在Rt△ABC、Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理可得AB、AD的值，然后根據(jù)BD=AB-AD進行計算.13．【答案】3.75【解析】【解答】解：設(shè)這個湖的水深是x尺，則荷花的長為（x+0.5）尺，根據(jù)題意，得x2解得：x=3.75，∴這個湖的水深是3.75尺．故答案為：3.75．

【分析】設(shè)這個湖的水深是x尺，則荷花的長為（x+0.5）尺，根據(jù)勾股定理可得x214．【答案】30【解析】【解答】解：如圖，由題意可知∠BAC=90°AB=12×1.5=18在Rt△ABC中BC=故它們相距30海里．故答案為：30

【分析】先求出∠BAC=90°，再利用勾股定理求出BC的長即可。15．【答案】3.2【解析】【解答】解：1丈＝10尺，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則斜邊為（10?x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2＋62＝（10?x）2，解得：x＝3.2．答：折斷處離地面的高度為3.2尺．故答案為：3.2

【分析】設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則斜邊為（10?x）尺，利用勾股定理可得x2＋62＝（10?x）2，再求出x的值即可。16．【答案】解：過直徑的中點O作直徑的垂線，交下底邊于點D，如圖所示，在RtΔABO中，由題意知OA=2，DC=OB=1.4，所以AB2=22-1.42=2.04，因為4-2.6=1.4，1.42=1.96，2.04>1.96，所以卡車可以通過.【解析】【分析】過直徑的中點O作直徑的垂線，交下底邊于點D，先利用勾股定理求出AB2，再結(jié)合4-2.6=1.4，1.42=1.96，2.04>1.96，即可判斷出卡車可以通過.17．【答案】解：設(shè)AB=x米，

則AC=x+2，AE=x?2，

∵∠AEC=90°，

∴AC2=AE2+CE2，

即：(x+2)2=(x?2)2【解析】【分析】利用勾股定理列方程求出(x+218．【答案】（1）解：由題意，知AC+BC=8m．∵∠A=90°，設(shè)AC長為xm，則BC長(8?x則42解得x=3．故旗桿距地面3米處折斷（2）解：如圖．∵點D距地面AD=3?1=2(∴B′∴AB∴距離旗桿底部周圍42【解析】【分析】（1）利用一根直立的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點C處折斷，可知AC+BC等于旗桿的高度，同時根據(jù)題意可得到AB的長，然后設(shè)AC=x，可表示出BC的長，利用勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值.

（2）利用已知條件可得到AD的長及B′D的長，然后利用勾股定理求出AB′的長.19．【答案】（1）解：在RtΔABC中，AC=300km，BC=400km，∴AB=A答：監(jiān)測點A與監(jiān)測點B之間的距離為500km；（2）解：海港C受臺風(fēng)影響，理由：∵∠ACB=90°，CE⊥AB，∴S∴300×400=500CE，∴CE=240km，∵以臺風(fēng)中心為圓心周圍260km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港