2019年文科數(shù)學(xué)高考題及答案

全國(guó)I卷（文數(shù)）

一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分）

3-i

1.（2019逢國(guó)I卷）設(shè)z='+z則|z|等于（C）

（A）2（B娟（C）線（D）l

住4）（1司17

解析:由z="+㈤”卻=/可得憶|=也

2.(2019?全國(guó)I卷)已知集合1)={1,2,3,4,5,6,7}人={2,3,4,5}舊={236,7},則刖?uA等于(C)

(A){1,6}(B){1,7}

(C){6,7}(D){1,6,7}

解析:由CuA={l,6,7},可得BnCuA={6,7}.

3.(2019?全國(guó)閽已知@=1。920.2由=2。2,c=0.2°3則(B)

(A)a<b<c(B)a<c<b

(C)c<a<b(D)b<c<a

解析:取中間值,a=log20.2vlog21=0得a<0,b=2°2>2°=L得b>l,c=0.2°3<0.2°=l得0<c<l,即a<c<b.

4.(2019?全國(guó)I卷)

螞用、

古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是萬(wàn)之0.618,稱為黃金分割比例，，著名

包

的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是2.若某人滿足上述兩個(gè)黃金

分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身高可能是（B）

(A)165cm(B)175cm

(C)185cm(D)190cm

修,修］

解析:不妨設(shè)頭頂、咽喉、肚臍、足底分別為點(diǎn)A,B,C,D,故可得|AB|=2|BC|,|AC|=2|CD|.

假設(shè)身高為x,可解得|CD|=2x,|AC|=2x,

|AB|=2x.

，網(wǎng)I=宇XV26.

』防Hr.llCDI=冬x>105.

由題意可得,2

1<52

‘黑'(x<1782t

化簡(jiǎn)可得［工>距=tx>169S9

5.(2019?全國(guó)I卷)函數(shù)")=三轉(zhuǎn)在HLTT］的圖象大致為(D)

解析:取特值.因?yàn)閒(-x)=H=_f(x),函數(shù)為奇函數(shù)，排除A;

.

又因?yàn)閒m尸？^>o,排除B,C.故選D.

6.(2019?全國(guó)I卷)某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2，…,1000,從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法

等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn)，若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是(C)

(A)8號(hào)學(xué)生(B)200號(hào)學(xué)生

(C)616號(hào)學(xué)生(D)815號(hào)學(xué)生

解析:由于組距為10,因此選出的號(hào)碼所成的數(shù)列是以10為公差的等差數(shù)列，故選C.

7.（2019?全國(guó)I卷）tan255°等于（D）

（A）2H（B）?2+H

(C)2腦(D)2+6

解析:tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=nrfe_30r=2+陰

8.(2019?全國(guó)I卷)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)i.b,則a與b的夾角為(B

(A)6笛廣(C)3(D)6

解析:因?yàn)?a-b)，b,

所以(a-b)b=ab-b2=0,

因?yàn)閨a|二2|b|.

所以cos〈a,b>=W二碼A

因?yàn)?<<a,b><n,

■

所以a與b的夾角為3故選B.

9.（2019逢國(guó)I卷）如圖是求'的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（A）

(A)A=>+J(B)A=2+，

(C)A="+“(D)A=1+M

13嗚J

解析:若按選項(xiàng)A開始:A=a,k=l,執(zhí)行是;A=HZk=2,執(zhí)行是;A=”k=3,執(zhí)行否，輸出,A正確，代入選項(xiàng)B,C,D均不滿足.

/r2

10.(2019?全國(guó)I卷)雙曲線C?尸=l(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°,則C的離心率為(D)

11

(A)2sin40°(B)2cos40°(D)?50"

t

解析:由題意可得-==tan1300,

t廬

EP^tan50°,于是有

即N-=eoAcr

s^cri

因此e2-l=N^=e2==,

1

anZOSXT

即e=

1t

11.(2O19?全國(guó)I卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC.cosA=-1則C等于(A)

(A)6(B)5(C)4(D)3

解析:由正弦定理:asinA-bsinB=4csinC=a2-b2=4c2=a2=b2+4c2.①

i

由余弦定理COSA=2k二■'②

將①代入②，消去a2得近—=-4=>C=6.

12.(2019?全國(guó)I卷)已知橢圓C的焦點(diǎn)為FI(?1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A.B兩點(diǎn).若|AF2k21F?B|,|AB|=|BF1|,

則C的方程為(B)

(A產(chǎn)+產(chǎn)=1(B)3+2=l

(C)4+3=l(D)5+4=l

解析:不妨設(shè)|F2B[=m,

iS|FiB|=|AB|=|AF2|+|F2B|=3|F2B|=3m.

由橢圓定義得|FiB|+|FzB|=2a=4m,

13

22

?|F2B|=a.|BF1|=a,

|AF2|=a,|AF1|=2a-|AF2|=a.

在AAFF2和ABFF2中，分別可得

「+4c2-a21

CDSZAFF^=—---------=—=—,

212xax2ca

1,,9,

zzz

Ta+4c-za2V2

txjsZBFjjFj=—-------------——=Q?

2xqx2c

空1,2

由二角互補(bǔ)可得?=-°解得a2=3,故b2=2,方程為M+N=1.

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)

13.(2019?全國(guó)I卷)曲線y=3(x2+x”在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

解析:求導(dǎo)可得y'=3(x2+3x+l)ex,故切線斜率為

y'|x=o=3,故切線方程為y=3x.

答案:y=3x

3

14.(2019?全國(guó)I卷)記Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若ai=l,S3=4則S4=.

39W

解析:設(shè)數(shù)列｛aj的公比為q,則有S3=ai+a2+a3=l+q+q2=*,整理可得4q2+4q+l=0,所以q=-’,所以84=83+34=^-*="

5

答案:■

15.(2019?全國(guó)I卷)函數(shù)f(x)=sin*2x+2-3cosx的最小值為.

解析:因?yàn)閒(x)=-cos2x-3cosx

=-(2COS2X-1)-3COSx

=-2COS2X-3COSX+1

w、u

=-2Losx+.2+■,

又由三角函數(shù)有界性可知,cosXG[-1,1],

所以當(dāng)cosx=l時(shí),f(x)取得最小值~4.

答案:?4

16.（2019?全國(guó)I卷）已知/ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到NACB兩邊AC.BC的距離均為百，那么P到平面

ABC的距離為.

解析：

由題意，可將三棱錐P-ABC放入一個(gè)以ACBD為底面的長(zhǎng)方體中，如圖所示.

點(diǎn)P在線段CD'上，設(shè)點(diǎn)P在底面ACBD的射影為P,過P'分別作P'E,P'F垂直AC,BC,垂足分別為E,F,易證AC_L平面

PP'E,所以ACLPE.

X^iiE^PP,E^^PP,F,PC=2,PE=^,

所以CE=1.

又NECP':NFCP'=45°,

所以EP'=CE=1,

所以PPHPJF?二月I二線.

答案聲

三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟）

（一）必考題:60分.

17.（本小題滿分12分）

(2019?全國(guó)I卷)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿

意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

4C

解:(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為口=0.8,因此男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為08

3d

女傾客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為口二。6,因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.6.

(2)K2=50x50x70x30=4.762.

由于4.762>3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

18.(本小題滿分12分)

(2019?全國(guó)I卷)記Sn為等差數(shù)列a｝的前n項(xiàng)和，已知S9二例.

(1)若a3=4,求｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)若ai>0,求使得Sn^an的n的取值范圍.

解:⑴設(shè)｛an｝的公差為d.

由S9=-a5得ai+4d=0;

由a3=4,得ai+2d=4.

于是ai=8,d=-2.

因此｛&J的通項(xiàng)公式為an=10-2n.

(2)由(1)得ai=-4d,故a?=(n-5)d,S產(chǎn)2.

2

由aj>0知d<0,故Snwan等價(jià)于n-lln+10<0,

解得l<n<10.

所以n的取值范圍是｛n|14n410,neN｝.

19.(本小題滿分12分)

(2019?全國(guó)I卷)

如圖，直四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面是菱形,AAI=4,AB=2,NBAD=60°,E,M,N分別是BC,BBiAD的中點(diǎn).

(1)證明:MN||平面CQE;

(2)求點(diǎn)C到平面CQE的距搐.

(1)證明:連接B￡,ME.因?yàn)镸.E分別為BBi.BC的中點(diǎn),

所以ME||BiC,且ME=、iC.

又因?yàn)镹為AiD的中點(diǎn),

所以ND=2AJD.

由題設(shè)知AIBIDC,

可得BQAQ,故MEND,

因此四邊形MNDE為平行四邊形，

所以MNRED.

又MNC平面CQEQEU平面CQE,

所以MN|］平面CQE.

(2)解:過C作CiE的垂線，垂足為H.

由已知可得DE，BC,DE_LCIC,

所以DEL平面CiCE,

故DELCH.

從而CH1?平面Cj.DE,

故CH的長(zhǎng)即為C到平面CiDE的距離,

由已知得CE=l,CiC=4,

所以CiE=g,

故CH=17.

則點(diǎn)C到平面C1DE的距離為17

20.(本小題滿分12分)

(2019?全國(guó)I卷)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明:f(x)在區(qū)間(OJT)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若xe[0，F(xiàn)時(shí),f(xRax,求a的取值范圍.

(1)證明:設(shè)g(x)=f(x),則g(x)=cosx+xsinx-l,g*(x)=xcosx.

當(dāng)xebNfl4,g'(x)>0;

當(dāng)xeE,TT，時(shí),g'(x)<0,

所以g(x)在b2，單調(diào)遞增，在6,n單調(diào)遞減.

又g(O)=O,g、->0,g(n)=-2,

故g(x)在(O,rr)存在唯一零點(diǎn).

所以f(x)在區(qū)間(O,TT)存在唯一零點(diǎn).

(2)解:由題設(shè)知5戶2711(17尸0,可得群0.

由Q)知,f(x)在(O,TT)只有一個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)為Xo,且當(dāng)xe(O,Xo)時(shí),f(x)>0;

當(dāng)xe(x(),n)時(shí),f(x)〈O,

所以f(x)在(0,x°)單調(diào)遞增，在(Xo,TT)單調(diào)遞減.

又f(O)=O,f(n)=O,

所以當(dāng)xe[0,TT]時(shí),f(x)NO.

又當(dāng)a40,xe[0,TT]時(shí),ax《0,故f(x)Nax.

因此,a的取值范圍是(&,()].

21.(本小題滿分12分)

(2019?全國(guó)倦)已知點(diǎn)A.B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,|AB|=4QM過點(diǎn)A,B且與直線x+2=0相切.

⑴若A在直線x+y=0上，求。M的半徑；

(2)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí),|MAHMP|為定值？并說(shuō)明理由.

解:(1)因?yàn)?。M過點(diǎn)A,巳

所以圓心M在AB的垂直平分線上.

由已知點(diǎn)A在直線x+y=O上，且點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)0對(duì)稱，

所以M在直線y=x上,故可設(shè)M(a,a).

因?yàn)镺M與直線x+2=0相切，

所以O(shè)M的半徑為r=|a+2|.

由已知得|A0|=2,

又MO±AO,

故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.

故。M的半徑「=2或r=6.

(2)存在定點(diǎn)P(1,O),使得|MAHMP|為定值.

理由如下：

設(shè)M(x,y),由已知得。M的半徑為

r=|x+2|,|AO|=2.

由于MO_LAO,

故可得產(chǎn),化簡(jiǎn)得M的軌跡方程為y2=4x.

因?yàn)榍€C:y2=4x是以點(diǎn)(1。)為焦點(diǎn)，以直線x=-l為準(zhǔn)線的拋物線測(cè)存在P(1,O),

所以|MP|=x+l.

因?yàn)閨MAHMP|二r-|MP|=x+2-(x+l)=l,

所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.

(二)選考題:共10分.請(qǐng)考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.(本小題滿分10分)

產(chǎn)=中

_4r

(2019?全國(guó)I卷)［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)

。為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為2pcos0+^psin0+11=0.

(1)求C和I的直角坐標(biāo)方程；

(2)求C上的點(diǎn)到I距離的最小值.

i-t2①z"

解:⑴因?yàn)榭凇丛?,且=畝？1+而%,

所以C的直角坐標(biāo)方程為x2+4=l(x*-l).

I的直角坐標(biāo)方程為2x+Hy+ll=0.

(2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為b=2sm,a為參數(shù),F<a5).

C上的點(diǎn)(cosa,2sina)至UI的距離為

|2e0?+2^5^B+lN4cos^af^+11

干=V7

當(dāng)0(=-3時(shí),48513-3*11取得最小值7,故C上的點(diǎn)到I距離的最小值為

23.(本小題滿分10分)

(2019?全國(guó)I卷)［選修4-5:不等式選講］已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=l.證明：

111

(l)°+*+e<a2+b2+c2;

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3s24.

證明:(1)因?yàn)閍2+b2^2ab,b2+c2^2bc,c2+a2^2ac,

又abc=l,

ab+fcrl-ca111

故有a2+b2+c2^ab+bc+ca=*=a+*+c.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=l時(shí)，等號(hào)成立.

ill

pJfJ^"+*+c<a2+b2+c2.

(2)因?yàn)閍,b,c為正數(shù)且abc=l,

故有(a+b戶+(b+c)+(c+a戶N

33但十與39+13+4戶

=3(a+b)(b+c)(a+c)

23x(2何)x(2病戶(2便)

=24.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=l時(shí)，等號(hào)成立.

所以(a+b)〃(b+c［+(c+a)3224.

全國(guó)II卷(文數(shù))

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)

1.(2019?全國(guó)II卷)已知集合A;{x|x>-l},B={x|x<2},則AnB等于(C)

(A)(-l,+8)(B)(?,2)

(C)(-1.2)(D)0

解析:由題知,AnB=(?l,2),故選C.

2.(2019?全國(guó)II卷)設(shè)z=i(2+i),則Z等于(D)

(A)l+2i(B)-l+2i

(C)l-2i(D)-l-2i

解析:z=i(2+i)=2i+i2=?l+2i,

所以工故選D.

3.(2019?全國(guó)I倦)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|等于(A)

(A)線(B)2(C)5迎(D)50

解析:由已知,a-b=(2,3)-(3,2)=(-l,l),

所以|a-b|=JO+1'二線，故選A.

4.(2019?全國(guó)II卷)生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo),若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量

過該指標(biāo)的概率為(B)

2321

(A)3(B)5(C)5(D)5

解析:設(shè)其中做過測(cè)試的3只兔子為a,b,c,剩余的2只為A,B,則從這5只中任取3只的所有取法有

{a,bQ,{a,b,A},{a,b,BMa,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{bAB},{c,A,B}共10種.其中恰有2只做過測(cè)試的取法有

{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6種，

63

所以恰有2只做過測(cè)試的概率為10豐，故選B.

5.(2019?全國(guó)II卷)在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).

甲:我的成績(jī)比乙高.

乙:丙的成績(jī)比我和甲的都高.

丙:我的成績(jī)比乙高.

成績(jī)公布后,三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)?A)

(A)甲、乙、丙(B)乙、甲、丙

(C)丙、乙、甲(D)甲、丙、乙

解析:若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則甲比乙成績(jī)高,丙比乙成績(jī)低，故3人成績(jī)由高到低依次為甲、乙、丙;若乙預(yù)測(cè)正

確，則丙預(yù)測(cè)也正確,不符合題意;若丙預(yù)測(cè)正確，則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，丙比乙的成績(jī)高,乙比甲成績(jī)高，即丙比甲、乙成績(jī)都高，即

乙預(yù)測(cè)正確，不符合題意，故選A.

6.(2019?全國(guó)II卷)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)XNO時(shí),f(x)=ex-1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)等于(D)

(A)e-X-1(B)e'x+1

(C)-ex-l(D)-ex+l

解析:因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(?x尸e-x［二?f(x)居f(x)=-e—i故選D

7.(2019?全國(guó)II卷)設(shè)a,0為兩個(gè)平面，則ag的充要條件是(B)

(A)a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與0平行

(B)a內(nèi)有兩條相交直線與B平行

(C)a，B平行于同一條直線

(D)a,B垂直于同一平面

解析:由面面平行的判定定理知:a內(nèi)兩條相交直線都與B平行是ag的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若。膽,則a內(nèi)任意一

條直線都與B平行，所以a內(nèi)兩條相交直線都與B平行是a||B的必要條件，故選B.

■3w

8.(2019?全國(guó)H卷)若X1=4,X2=，是函數(shù)f(x尸sinu)x(M>0)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn),則3等于(A)

31

(A)2(B)2(C)l(D)2

解析:由題意知,f(x)=sin3X的周期T=a=2=TT,得3=2.故選A.

9.(2019?全國(guó)II卷)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓、+P=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p等于(D)

(A)2(B)3(C)4(D)8

r、蘭Wr、

解析:因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)6,0是橢圓邳+予=1的一個(gè)焦點(diǎn)，所以3p-p=6解得p=8,故選D.

10.(2019?全國(guó)II卷)曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)處的切線方程為(C)

(A)x-y-TT-l=0(B)2x-y-2n-l=0

(C)2x+y-2jT+l=0(D)x+y-TT+l=0

解析:當(dāng)X=TT時(shí),y=2sinTT+COSTT=-1,

即點(diǎn)在曲線y=2sinx+cosx上.

因?yàn)閥'=2cosx-sinx,

所以y'lx=n=2cosn-sinTT=-2,

則y=2sinx+cosx在點(diǎn)處的切線方程為y-(-l)=-2(x-n),

BP2x+y?2rr+l=0.故選C.

11.(2019?全國(guó)1倦)已知(1/22仙2(1=32€(+1廁5訪(1等于(B)

［舟丹至

(A)5(B)5(C)3(D)5

解析:因?yàn)?sin2a=cos2a+l,

所以4sinacosa=2cos2a.

■、

因?yàn)閍eb,2，,

所以cosa>0.

sina>0,

所以2sina=cosa,

又sin2a+cos2a=l,

1

所以5sin2a=l,sin2a=5,

漁

又sina>0,所以sina=5,

故選B.

x2，

12.(2019?全國(guó)II卷)設(shè)F為雙曲線C:7m=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x?+y2=a2交于P,Q

兩點(diǎn).若|PQ|=|OF],則C的離心率為(A)

(A)6(B)百(C)2(D)書

解析：

設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱性可知PQix軸,

又因?yàn)閨PQ|=QF|=c,

e

所以|PA|J,

所以PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑，

c

所以A為圓心,|OA|=N

EC、

所以P62，又P點(diǎn)在圓x2+y2=a2上，

所以*+*=a2,

SP2=a2,

2?

所以e==2.

所以e二線，故選A.

二、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分）

f2r+3y-6>ft

|x+y-3<0.

13.（2019?全國(guó)II卷）若變量x,y滿足約束條件Iy2-”則z=3x-y的最大值是.

解析:畫出不等式組表示的可行域，如圖所示，

即陰影部分表示的三角形ABC區(qū)域.根據(jù)直線3x-y-z=0中的z表示縱截距的相反數(shù)，當(dāng)直線z=3x-y過點(diǎn)C（3,0）時(shí),z取最

大值為9.

答案:9

14.（2019?全國(guó)II卷）我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97,有20個(gè)

車次的正點(diǎn)率為0.98,有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為.

解析:由題意得，經(jīng)停該站的高鐵列車正點(diǎn)數(shù)約為10x0.97+20x0.98+10x0.99=39.2，其中高鐵個(gè)數(shù)為10+20+10=40,所以

該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為40=0.98.

答案:0.98

15.(2019?全國(guó)II卷)^ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B=.

解析:由正弦定理彳導(dǎo)sinBsinA+sinAcosB=0.

因?yàn)锳W(0,TF),B[0,TF),

所以sinA*0,得sinB+cosB=0,

Sv

即tanB=-l,所以B=4.

3n

答案：4

16.（2019?全國(guó)II卷）中國(guó)有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體,但南北

朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面

體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)

為1.則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長(zhǎng)為.

解析:

%

由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面，共18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有18+8=26個(gè)面.

如圖,將該半正多面體的部分放在棱長(zhǎng)為1的正方體中，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為X,則AB=BE二X,延長(zhǎng)CB與FE交于點(diǎn)G,

延長(zhǎng)BC交正方體棱于H,由半正多面體對(duì)稱性可知,3BGE為等腰直角三角形，

所以BG=GE=CH=2X,

所以GH=2X2X+X=(^+1)X=1,

所以x=75fL依1,即該半正多面體棱長(zhǎng)為依1.

答案:26顯1

三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟）

（一）必考題洪60分.

17.（本小題滿分12分）

（2019?全國(guó)II卷）

如圖,長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AAT上,BE_LECL

⑴證明:BE_L平面EB1C1；

⑵若AE=AiE,AB=3,求四棱錐E-BBQiC的體積.

⑴證明:由已知得BIQL平面ABBiAi,BEU平面ABBiAi,

故BiCi±BE.

又BEj_EC],BiCinECi=Ci,

所以BE_L平面EB1C〉

c,

〃心B

/

(2)解:由⑴知NBEBI=90°,由題設(shè)知RNABE號(hào)RNAiBiE,

所以NAEB=AEBI=45°,

故AE=AB=3,AAi=2AE=6.

如圖，作EF_LBBI,垂足為F,則EFL平面BBiCiC,且EF=AB=3.

所以,四棱錐E-BBJCJC的體積V=L3X6X3=18.

18.(本小題滿分12分)

(2019?全國(guó)II卷)已知｛an｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,ai=2,a3=2a2+16.

(1)求｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和.

解:(1)設(shè)｛an｝的公比為q,由題設(shè)得

2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.

解得q=-2(舍去)或q=4,

n12n1

因此｛a0｝的通項(xiàng)公式為an=2x4-=2-.

(2)由(1)得bn=(2n-l)log22=2n-l,因此數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和為l+3+...+2n-l=n2.

19.(本小題滿分12分)

(2019?全國(guó)II卷)某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)彳導(dǎo)到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于

前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表.

y的

[-0.20,0)(0.0.20)[0.20,0.40)[0.40,0,60)(0.60,0.80)

分組

企業(yè)

22453147

數(shù)

(1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例；

(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).(精確到0.01)

附:舊=8.602.

14+7

解:(1)根據(jù)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)頻率為100=0.21.

2

產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)頻率為期"：。。？.

用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例為21%,產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為2%.

(2)y=loc(-0.10x2+0.10x24+0.30x53+0.50xl4+0.70x7)=0.30,

—i_

s2=w0f(環(huán)加

=1O°[(-0.40)2X2+(-0.20)2X24+02X53+0.202X14+0.402X7]

=0.0296.

S=^0.0296=O.02XV74=0.17.

所以,這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為30%,17%.

20.(本小題滿分12分)

(2019?全國(guó)II卷)已知FI,F2是橢圓g？+9=1佰>20)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上的點(diǎn)Q為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若&POF2為等邊三角形，求C的離心率；

(2)如果存在點(diǎn)P,使得PF?PF2,且&F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.

解:(1)連接PFi(圖略)，由WOFz為等邊三角形可知在^FiPF?中/FFF2=90°JPF2|二c,|PF]|二a,

于是2a=|PFi|+|PF2|=(V3+l)ct

C

故C的離心率為e="=、且1.

1ryr2y2

2x+ex?iI

(2)由題意可知,滿足條件的點(diǎn)P(x,y)存在，當(dāng)且僅當(dāng)|y|-2c=16,*=-l,+=l>

即c|y|=16,①

x2+y2=c2,(2)

//

?+鞏1,③

B41G2

由②③及a2=b，c2得y2=7,又由①知，=了,故b=4;

由②③及a2=b2+c2得x?=7(c?-b2),所以c22b2,從而a2=b2+c2>2b2=32,&aN4力;

當(dāng)b=4,aM線時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P.

故b=4,a的取值范圍為［4力,+g).

21.(本小題滿分12分)

(2019?全國(guó)II卷)已知函數(shù)f(x)=(x-l)lnx-x?l.證明：

(l)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；

(2)f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).

證明:(l)f(x)的定義域?yàn)?0,+動(dòng)，

f(x)=,+lnx-l=lnx-1

1

因?yàn)閥=lnx在(0,+向上單調(diào)遞增;yJ在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

1

又fQ)=-l<0,f(2)=ln2/=2>0,

故存在唯一使得f(xo)=O.

又當(dāng)X〈Xo時(shí)f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>Xo時(shí),f(x)>O,f(x)單調(diào)遞增.

因此,f(x)存在唯一的極值點(diǎn).

(2)由⑴知,f(xo)vf(l)=-2,又f(e2)=e2-3>0,

所以f(x)=O在(x(),+g)內(nèi)存在唯一根x=a.

1

由a>x()>l得yvxo,

■、,、D衛(wèi)

又f.二*1垢----1=*=0,

1

故,是方程f(x)=O在(0,x0)內(nèi)的唯一根；

綜上,f(x)=O有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).

(二)選考題洪10分.請(qǐng)考生在第22-23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.(本小題滿分10分)

(2019?全國(guó)II卷)［選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在極坐標(biāo)系中,0為極點(diǎn)，點(diǎn)M(poA))(po>O)在曲線C:p=4sin9上，直線I過點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直,垂足為P.

■

(1)當(dāng)比=3時(shí)，求P0及I的極坐標(biāo)方程；

(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

解:⑴因?yàn)辄c(diǎn)M(p(),%)在曲線C上，

■■

當(dāng)仇=*時(shí),Po=4sin*=2b;

■

由已知得|0P|=QA|C0S3=2.

設(shè)Q(p,e)為I上除P外的任意一點(diǎn)，在RtAOPQ中，

_■、

pcosb-M=|0P|=2.

■x?、

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P12M在曲線pcosb產(chǎn)=2上.

■、

所以J的極坐標(biāo)方程為pcosb-3=2.

(2)設(shè)P(p,e),在RSOAP中,|OP|=|OA|cos6=4cos6,

fiPp=4cos0.

因?yàn)閜在線段OM上，且AP_L(DM,故e的取值范圍是.

所以,P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為p=4cose,0GF2.

23.(本小題滿分10分)

(2019?全國(guó)II卷)［選修4-5:不等式選講］

已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式f(x)<0的解集；

(2)若,1)時(shí),f(x)〈O,求a的取值范圍.

解:(1)當(dāng)a=lB^,f(x)=|x-l|x+|x-2|(x-l).

當(dāng)X<1時(shí),f(x)=-2(x-l)2<0;

當(dāng)X>1時(shí),f(X)20.

所以,不等式f(x)〈O的解集為(F,l).

(2)因?yàn)閒(a)=O,所以azl,

當(dāng)a^l.XG(-?,l)B4,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-l)<0.

所以,a的取值范圍是[1,+s).

全國(guó)III卷(文數(shù))

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)

1.(2019?全國(guó)III卷)已知集合人={-1,0,1,2}5=僅*$1},則八也等于(A)

(A){-l,0,l}(B){0.1}

(C){-l.l}(D){0,l,2}

解析:由題意得,B={xHL4x41},則AnB={-1,0,1}.故選A.

2.(2019?全國(guó)III卷)若z(l+i)=2i,則z等于(D)

(A)-l-i(B)-l+i

(C)l-i(D)l+i

2i2<14)

解析:z故選D.

3.(2019?全國(guó)III卷)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是(D)

1111

(A)6(B/(C)a(D)2

解析:兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因?yàn)槟猩团藬?shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生

相鄰與不相鄰的概率均是N故選D.

4.(2019?全國(guó)III卷)《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.

某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90

位,閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位,閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游

記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為(C)

(A)0.5(B)0.6(C)0.7(D)0.8

解析:由題意得,閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70,則其與該校學(xué)生總數(shù)之比為70?100=0.7.故選C.

5.(2019?全國(guó)川卷)函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0,2司的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(B)

(A)2(B)3(C)4(D)5

解析:由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(l-cosx)=(X得sinx=0或cosx=l,

因?yàn)閤e[0,2n],

所以X=0,TT或2TT.

所以f(x)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3.故選B.

6.(2019?全國(guó)III卷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列同｝的前4項(xiàng)和為15,且as=3a3+4aima?等于(C)

(A)16(B)8(C)4(D)2

解析:設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列｛aj的公比為q,則

++=15.

I。1/=3.3+4..

pi=1?

解得lq=2.

所以a3=aiq2=4,故選C.

7.(2019逢國(guó)川卷)已知曲線y=aex+xlnx在點(diǎn)(l,ae)處的切線方程為y=2x+b,M(D)

(A)a=e,b=-1(B)a=e,b=l

(C)a=e1,b=l(D)a=e4,b=-1

解析:y'=ae'+lnx+1,

k=y'lx=i=ae+l=2,

所以a=e2

將Q,l)代入y=2x+b得2+b=l,b=-l,故選D.

8.(2019?全國(guó)III卷)

如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,《ECD為正三角形，平面ECDL平面ABCD.M是線段ED的中點(diǎn)，則(B

(A)BM=EN,且直線BM.EN是相交直線

(B)BMHEN,且直線BM.EN是相交直線

(C)BM=EN,且直線BM.EN是異面直線

(D)BMHEN,且直線BM.EN是異面直線

解析:因?yàn)锳BDE中,N為BD中點(diǎn),M為DE中點(diǎn),

所以BM.EN共面相交，選項(xiàng)C.D錯(cuò)誤.

作EO±CD于O,連接ON,過M作MF±OD于F.

連接BF,因?yàn)槠矫鍯DE_L平面ABCD.

EO_LCD,EOU平面CDE,

所以ECk平面ABCD,MFJ■平面ABCD,

所以AMFB與AEON均為直角三角形.

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,易知EO=^,ON=1,EN=2,

MF=2,BF

所以BM=

所以BM工EN,故選B.

9.（2019?全國(guó)III卷）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的s*O.OL則輸出s的值等于（C）

|x=l~=0|

s=+a:

A]

/輸叫/

(A)2-(B)2-

11

(C)2-(D)2-

解析:x=l.s=0,s=0+Lx="v0.01?不成立,

s=0+l+N,x30.01?不成立,

?12a成立,

s=0+l+2+...+1x==0.0078125<0.01?

C.

10.(2019?全國(guó)III卷)已知F是雙曲線C:4-5=l的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若QP|二|OF|,則AOPF的面積為

(B)

3579

(A)2(B)2(C)2(D)2

解析:設(shè)點(diǎn)P(xo,yo),M4-5=l0

又QP|=|OF|=V4+5=3,

所以4+%=9.②

2S5

由①②得唯'，即Mol=3

1155

所以S,opF=:OFHyo|='x3*U.故選B.

產(chǎn)+y"

11.(2019?全國(guó)川卷)記不等式組〔2誓呼2°表示的平面區(qū)域?yàn)镈,命題p：m(x,y)eD,2x+yN9;命題q:V(x,y)eD,2x+yV12.給

出了四個(gè)命題:①pvq;②pvq;(3)pAq;④pAq,這四個(gè)命題中，所有真命題的編號(hào)是(A)

(A)①③(B)①②(Q②③(D)③④

fy=2rre=2.

解析:如圖，平面區(qū)域D為陰影部分，由卜+'=6得&=4.即卬2,4),直線2x+y=9與直線2x+y=12均過區(qū)域D,則p真q

假，有p假q真，所以①③真②④假.故選A.

(B)f自3'>f(Z5)>f(Z2)

解析:因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù),

所以fbg3,^=f(log34).

32I

?2'22?22

所以Iog34>l=2°>，又f(x)在(0,+s)單調(diào)遞減,f(log34)<f()<f(),

?.21,

所以f(‘)>f()>flogs"故選C.

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)

13.(2019?全國(guó)”卷)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos<a,b>=

7?)+A6Q

解析:cos<9>=而=所水赤"

返

答案

?

14.(2019全國(guó)III卷)記Sn為等差數(shù)列同｝的前n項(xiàng)和，若a3=5,a7=13,則Si0=.

/%=%+2d=5.1kli=i.

解析=ai+6d=13.得［d=2.

所以Sio=lOai+2d=10xl+2x2=100.

答案:100

15.(2019?全國(guó)III卷)設(shè)FI,F2為橢圓C^+^l的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若&MFF2為等腰三角形，則M的

坐標(biāo)為

解析:由已知可得a2=36,b2=20,

所以c2=a2-b2=16,

所以c=4,

所以|MFI|=|FF2|=2C=8.

因?yàn)閨MFi|+|MF2|=2a=12,所以|MF2|=4.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x（）,yo）（xo>O,yo>O）,

1

2

則％^=|FiF2|-yo=4yo.

又S**F,F,=*x4x府耳=4的缶，

所以4yo=4用，解得丫。=用，

埼幽

所以正+?=1,解得xo=3（Xo=-3舍去）,

所以M的坐標(biāo)為（3,用）.

答案:（3,用）

16.（2019?全國(guó)川卷）

學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi挖去四棱錐O-EFGH后所得的

幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6cm,AAi=4cm,3D打印所用原料密度為0.9

g/cm3,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g

解析:由題意得,四棱錐O-EFGH的底面積為4x6-4xzx2x3=12cm?,其高