實(shí)驗(yàn)4-Laypunov方程求解

《現(xiàn)代控制理論》實(shí)驗(yàn)四院系：學(xué)生姓名：學(xué)號：

一：原理1.李雅普諾夫穩(wěn)定性概念忽略輸入后，非線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下（1）式中，為維狀態(tài)向量；為時(shí)間變量；為維函數(shù)，其展開式為假定方程的解為，和分別為初始狀態(tài)向量和初始時(shí)刻，。平衡狀態(tài)如果對于所有，滿足（2）的狀態(tài)稱為平衡狀態(tài)（又稱為平衡點(diǎn)）。平衡狀態(tài)的各分量不再隨時(shí)間變化。若已知狀態(tài)方程，令所求得的解，便是平衡狀態(tài)。對于線性定常系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)滿足，如果非奇異，系統(tǒng)只有惟一的零解，即存在一個(gè)位于狀態(tài)空間原點(diǎn)的平衡狀態(tài)。至于非線性系統(tǒng)，的解可能有多個(gè)，由系統(tǒng)狀態(tài)方程決定?？刂葡到y(tǒng)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性是關(guān)于平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，反映了系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近的動態(tài)行為。鑒于實(shí)際線性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性能夠表征整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于具有多個(gè)平衡狀態(tài)的非線性系統(tǒng)來說，由于各平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性一般并不相同，故需逐個(gè)加以考慮，還需結(jié)合具體初始條件下的系統(tǒng)運(yùn)動軌跡來考慮。本節(jié)主要研究平衡狀態(tài)位于狀態(tài)空間原點(diǎn)（即零狀態(tài)）的穩(wěn)定性問題，因?yàn)槿魏畏橇銧顟B(tài)均可以通過坐標(biāo)變換平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，而坐標(biāo)變換又不會改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性將上式展開，的每一元素都是的線性組合，因而可寫成矩陣多項(xiàng)式故可以顯式表出與的關(guān)系當(dāng)式（8-74）成立時(shí)，對于任意，均有，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。只要有一個(gè)特征值的實(shí)部大于零，對于,便無限增長，系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果只有一個(gè)（或一對，且均不能是重根）特征值的實(shí)部等于零，其余特征值實(shí)部均小于零，便含有常數(shù)項(xiàng)或三角函數(shù)項(xiàng)，則系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。4.李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法李雅普諾夫第二法（直接法）是利用李雅普諾夫函數(shù)直接對平衡狀態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行判斷，無需求出系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，它對各種控制系統(tǒng)均適用。根據(jù)物理學(xué)原理，若系統(tǒng)貯存的能量（含動能與位能）隨時(shí)間推移而衰減，系統(tǒng)遲早會到達(dá)平衡狀態(tài)。實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式相當(dāng)難找，因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數(shù)，稱之為李雅普諾夫函數(shù)。它與及有關(guān)，是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，記以；若不顯含，則記以。考慮到能量總大于零，故為正定函數(shù)，能量衰減特性用表示。遺憾的是至今仍未形成構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的通用方法，需要憑經(jīng)驗(yàn)與技巧。實(shí)踐表明，對于大多數(shù)系統(tǒng)，可先嘗試用二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)。1.標(biāo)量函數(shù)定號性 （1）正定性標(biāo)量函數(shù)在域中對所有非零狀態(tài)有且，稱在域內(nèi)正定。如是正定的。（2）負(fù)定性標(biāo)量函數(shù)在域中對所有非零有且，稱在域內(nèi)負(fù)定。如是負(fù)定的。如果是負(fù)定的，-則一定是正定的。（3）負(fù)（正）半定性，且在域內(nèi)某些狀態(tài)處有，而其它狀態(tài)處均有（），則稱在域內(nèi)負(fù)（正）半定。設(shè)為負(fù)半定，則為正半定。如為正半定。（4）不定性在域內(nèi)可正可負(fù)，則稱不定。如是不定的。關(guān)于正定性的提法是：標(biāo)量函數(shù)在域中，對于及所有非零狀態(tài)有,且，則稱在域內(nèi)正定。的其它定號性提法類同。二次型函數(shù)是一類重要的標(biāo)量函數(shù)，記（6）其中，為對稱矩陣，有。顯然滿足，其定號性由賽爾維斯特準(zhǔn)則判定。當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺骄笥诹銜r(shí)，即（7）為正定矩陣，則正定。當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺截?fù)、正相間時(shí)，即（8）為負(fù)定矩陣，則負(fù)定。若主子行列式含有等于零的情況，則為正半定或負(fù)半定。不屬以上所有情況的不定。下面不打算對李雅普諾夫第二法中諸穩(wěn)定性定理在數(shù)學(xué)上作嚴(yán)格證明，而只著重于物理概念的闡述和應(yīng)用。2.李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，其平衡狀態(tài)滿足,不失一般性，把狀態(tài)空間原點(diǎn)作為平衡狀態(tài)，并設(shè)系統(tǒng)在原點(diǎn)鄰域存在對的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。定理1若①正定，②負(fù)定；則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。負(fù)定表示能量隨時(shí)間連續(xù)單調(diào)地衰減，故與漸近穩(wěn)定性定義敘述一致。定理2若①正定；②負(fù)半定，且在非零狀態(tài)不恒為零；則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。負(fù)半定表示在非零狀態(tài)存在，但在從初態(tài)出發(fā)的軌跡上，不存在的情況，于是系統(tǒng)將繼續(xù)運(yùn)行至原點(diǎn)。狀態(tài)軌跡僅是經(jīng)歷能量不變的狀態(tài)，而不會維持在該狀態(tài)。定理3若①正定；②負(fù)半定，且在非零狀態(tài)恒為零；則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。沿狀態(tài)軌跡能維持，表示系統(tǒng)能維持等能量水平運(yùn)行，使系統(tǒng)維持在非零狀態(tài)而不運(yùn)行至原點(diǎn)。定理4若①正定；②正定；則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。正定表示能量函數(shù)隨時(shí)間增大，故狀態(tài)軌跡在原點(diǎn)鄰域發(fā)散。參考定理2可推論：正定，當(dāng)正半定，且在非零狀態(tài)不恒為零時(shí)，則原點(diǎn)不穩(wěn)定。應(yīng)注意到，李雅普諾夫函數(shù)[正定的]的選取是不惟一的，但只要找到一個(gè)滿足定理所述條件，便可對原點(diǎn)的穩(wěn)定性作出判斷，并不因選取的不同而有所影響。不過至今尚無構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的通用方法，這是應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的主要障礙。如果選取不當(dāng)，會導(dǎo)致不定的結(jié)果，這時(shí)便作不出確定的判斷，需要重新選取。以上定理按照連續(xù)單調(diào)衰減的要求來確定系統(tǒng)穩(wěn)定性，并未考慮實(shí)際穩(wěn)定系統(tǒng)可能存在衰減振蕩的情況，因此其條件是偏于保守的，故借穩(wěn)定性定理判穩(wěn)定者必穩(wěn)定，李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理所述條件都是充分條件。具體分析時(shí)，先構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，通常選二次型函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)，再將狀態(tài)方程代入，最后根據(jù)的定號性判別穩(wěn)定性。至于如何判斷在非零狀態(tài)下是否有恒為零的情況，可按如下方法進(jìn)行：令，將狀態(tài)方程代入，若能導(dǎo)出非零解，表示對，的條件是成立的；若導(dǎo)出的是全零解，表示只有原點(diǎn)滿足的條件。二：程序：A=[01;-1-1];Q=eye(size(A,1));p=lyap