靜電場(chǎng)的描繪

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)――靜電場(chǎng)的描繪PAGEPAGE８實(shí)驗(yàn)六靜電場(chǎng)的描繪[目的]1.學(xué)習(xí)用模擬法研究靜電場(chǎng)；2.描繪圓柱形電容器中的等勢(shì)線。[儀器和用具]1.靜電場(chǎng)描繪儀（DZ-2型）；2.靜電場(chǎng)描繪儀電源（AC-12型,0-12V、1KHZ）；3.游標(biāo)尺(0-150mm、精度：0.02mm)；4.導(dǎo)線4條；5.毫米尺（0－200mm），圓規(guī)，計(jì)算器；6.坐標(biāo)紙二張【140×140(mm)2】，復(fù)寫(xiě)紙【140×140(mm)2】注：5和6由學(xué)員自帶。[原理]一、靜電場(chǎng)與穩(wěn)恒電流場(chǎng)靜電場(chǎng)是靜止電荷周?chē)嬖诘囊环N特殊物質(zhì)。各種電子器件的研制以及化學(xué)電鍍、靜電噴漆等工藝，均需了解帶電體或電極間的靜電場(chǎng)分布。但是，除極簡(jiǎn)單的情況外，大部分情況下不能得到靜電場(chǎng)的解析表達(dá)式。為了解決實(shí)際問(wèn)題，一般借助實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)描述電場(chǎng)強(qiáng)度或其電勢(shì)的空間分布。但是由于靜電場(chǎng)中不存在電流，無(wú)法用直流電表直接測(cè)量，而用靜電式儀表測(cè)量，必須用金屬探頭，然而金屬探頭伸入靜電場(chǎng)中將發(fā)生靜電感應(yīng)現(xiàn)象，產(chǎn)生感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷的電場(chǎng)疊加于被測(cè)的靜電場(chǎng)中，改變了靜電場(chǎng)原來(lái)的分布，使之發(fā)生顯著的變化，導(dǎo)致測(cè)量誤差極大。因此，一般采用間接測(cè)量的方法來(lái)描述靜電場(chǎng)，利用穩(wěn)恒電流場(chǎng)來(lái)模擬測(cè)繪靜電場(chǎng)的分布，就是一種常用的測(cè)量方法。靜電場(chǎng)和穩(wěn)恒電流場(chǎng)本是不同的場(chǎng)，但是它們都遵守高斯定理，對(duì)靜電場(chǎng)有對(duì)穩(wěn)恒電流場(chǎng)，則有另外，它們也都引入了電勢(shì)U的概念且電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)又存在的關(guān)系，因此描繪出U的分布即可利用此關(guān)系描繪出的分布。根據(jù)兩種場(chǎng)的這種相似性，我們可將不良導(dǎo)體作為電介質(zhì)，并使其與作為電極的良導(dǎo)體以及輸出電壓穩(wěn)定的電源構(gòu)成閉合電路，從而在不良導(dǎo)體中建立一個(gè)穩(wěn)恒電流場(chǎng)，改變電極和介質(zhì)的形狀，使介質(zhì)中電流場(chǎng)的電位分布與欲測(cè)量的靜電場(chǎng)的電位分布完全相似，測(cè)出穩(wěn)恒電流場(chǎng)的電勢(shì)分布，即可得到相應(yīng)的靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布，根據(jù)該電勢(shì)分布圖，描繪出等位線（或等位面）圖，再根據(jù)電力線與等位線正交的性質(zhì)，作出電力線圖，即可得到靜電場(chǎng)的分布圖。上述這種利用規(guī)律和形式上的相似，由一種測(cè)量代替另一種測(cè)量的方法，就稱(chēng)為模擬法。二、兩共軸無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體間的靜電場(chǎng)如圖6－1(h→∞)，設(shè)內(nèi)圓柱A的半徑為，其電勢(shì)為；外環(huán)內(nèi)半徑為，其電勢(shì)為，則靜電場(chǎng)中距離軸心為處的P點(diǎn)的電勢(shì)可表示為：（6－1）根據(jù)高斯定理可知，對(duì)于兩共軸無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體系統(tǒng)，垂直于軸線的任一截面S內(nèi)，都有均勻分布的如圖6－1（b）的輻射狀電力線，這是一個(gè)與圓柱中心軸線無(wú)關(guān)的二維場(chǎng)，即只需研究任一截面上的電場(chǎng)分布即可。而在二維場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度平行于x、y平面，其等位面為一簇同軸圓柱面的同心圓，圓等位面與電力線正交。如圖6－1(b),當(dāng)時(shí)，電荷均勻分布的兩同軸無(wú)限長(zhǎng)圓柱體內(nèi)距軸心距離為的場(chǎng)強(qiáng)大小為（6－2）式中C由圓柱體上的線電荷密度決定。將式（6－2）代入式（6－1）可得（6－3）在r=rb處，電勢(shì)值代入式（6－3）有整理后可得：（6－4）將此式代入式（6－3），并取Ua=U0，Ub=0，整理后可得：即或（6－5）將式（6－5）方程兩邊取自然對(duì)數(shù)的形式可得：（6－6）式（6－5）和式（6－6）即為兩共軸無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體間靜電場(chǎng)中任意點(diǎn)P的電勢(shì)Ur與該點(diǎn)距軸心的距離的函數(shù)關(guān)系式。三、圓柱形電容器的模擬場(chǎng)對(duì)圓柱形電容器，當(dāng)其圓柱的高度h>>rb時(shí),可將其視為兩共軸無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體。兩圓柱體間的電勢(shì)分布規(guī)律仍如式（6－6）的函數(shù)關(guān)系，由此關(guān)系式可知，在兩圓柱體間的任意位置，只要r相等，其對(duì)應(yīng)的電勢(shì)值均相等?？梢?jiàn)，以r為半徑的圓柱面上的電勢(shì)處處相等，因此，任一截面的電勢(shì)及電場(chǎng)分布的規(guī)律均相等，只要模擬一個(gè)截面的電勢(shì)分布，即可反映整個(gè)圓柱體間的電勢(shì)及電場(chǎng)分布情況。電源檔測(cè)量檔模擬裝置可設(shè)計(jì)為如圖6－2所示的結(jié)構(gòu)。A、B電極分別為高度h≈8mm的銅質(zhì)圓柱體及圓環(huán)，利用自來(lái)水作為兩電極間的導(dǎo)電介質(zhì)；為電源檔，即穩(wěn)定的正弦交流電源。由于水在穩(wěn)恒的直流電流場(chǎng)中會(huì)產(chǎn)生極化現(xiàn)象，從而在模擬場(chǎng)出現(xiàn)一附加電場(chǎng)，與模擬場(chǎng)的原型不符，使描繪出的等勢(shì)線產(chǎn)生較大的偏差。而水在正弦交流電流場(chǎng)中不會(huì)產(chǎn)生極化，而穩(wěn)定的正弦交流電源的電壓、電流有效值是穩(wěn)定的，由此建立的場(chǎng)是穩(wěn)恒的電流場(chǎng)，其等位線與被描繪的靜電場(chǎng)的等位線能夠完全相似，故本實(shí)驗(yàn)的工作電源改用穩(wěn)定的正弦交流電源。因?yàn)檎医涣麟娫磳?duì)水不產(chǎn)生電解，且正弦交流電源的電壓、電流有效值等效于直流電的電壓和電流值，所以只要采用穩(wěn)定的正弦交流電源，當(dāng)實(shí)驗(yàn)中水溫基本不變時(shí)，通過(guò)水中的交流電流有效值可視為穩(wěn)定的，由此建立的場(chǎng)可視為穩(wěn)恒的電流場(chǎng)，其等位線與被描繪的靜電場(chǎng)的等位線必定相似，實(shí)驗(yàn)也證實(shí)了這一點(diǎn)；圖中，為測(cè)量檔，即交流毫伏表，用來(lái)測(cè)定等勢(shì)線，由于其內(nèi)阻(大于2MΩ)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于A、B電極間的電阻值，故電表內(nèi)阻引入的系統(tǒng)誤差完全可略。電源檔測(cè)量檔設(shè)A電極相對(duì)于B電極的電勢(shì)值為U0，A、B間介質(zhì)（水）的等效電阻為R，流經(jīng)介質(zhì)的電流有效值為I，則根據(jù)歐姆定律可得：(6－7)當(dāng)水為均勻時(shí)，由于模擬裝置的對(duì)稱(chēng)性，則I又可表示為（6－8）式中，h為水的厚度，r為測(cè)量點(diǎn)P離A電極軸心的距離，j為通過(guò)高為h,半徑為r的圓柱面的電流密度（有效值）。當(dāng)電流場(chǎng)空間充滿均勻的電導(dǎo)率為σ的不良導(dǎo)體時(shí)，不良導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度與電流密度矢量之間遵循歐姆定律，故根據(jù)歐姆定律的微分形式，有(6－9)式中，σ為介質(zhì)的電導(dǎo)率。聯(lián)解式（6－7）、式（6－8）及式(6－9)可得：（6－10）式中，=常量。因?yàn)閁0及R在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中是保持不變的，因此上式是恒定電流場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)分布表示式，與上述圓柱形電容器中的靜電場(chǎng)強(qiáng)分布關(guān)系式（6－2）完全相似。場(chǎng)強(qiáng)的分布確定后，模擬場(chǎng)中各點(diǎn)的電勢(shì)可根據(jù)下式確定(6－11)式中積分常數(shù)由電極的形狀即邊界條件確定。當(dāng)時(shí)，取，則有：，即，代入式（6－11）可得：（6－12）當(dāng)時(shí)，時(shí)由（6－12）可得（6－13）將式（6－12）除以式（6－13）可得（6－14）或?qū)懗桑?－15）式(6-15)與式(6－6)完全一致?？梢?jiàn)，圓柱形電容器中靜電場(chǎng)的電力線和等勢(shì)線與模擬模型的電流場(chǎng)的電流線和等勢(shì)線具有完全相似的分布，故可用上述的模擬模型來(lái)模擬圓柱形電容器中的電勢(shì)分布，從而描繪出靜電場(chǎng)的分布。歸納以上的討論可知，電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)的條件為：1.電流場(chǎng)所用的電極系統(tǒng)應(yīng)與被模擬的靜電場(chǎng)的電極系統(tǒng)的幾何形狀相似。2.穩(wěn)恒電流場(chǎng)中的導(dǎo)電物質(zhì)應(yīng)是不良導(dǎo)體，且電阻率分布均勻。3.模擬場(chǎng)所用的電極系統(tǒng)應(yīng)與被模擬的靜電場(chǎng)的電極系統(tǒng)的邊界條件相同。四、實(shí)驗(yàn)裝置及測(cè)繪方法實(shí)驗(yàn)裝置如圖6－3所示，左邊分為上、下兩層，模擬模型安裝在有機(jī)玻璃制成的水槽里并置以底層，上層放置記錄紙。記錄紙由兩張坐標(biāo)紙（用其背面）和一張復(fù)寫(xiě)紙疊加而成，安裝時(shí)將復(fù)寫(xiě)紙夾于兩張坐標(biāo)紙中，再置于記錄平臺(tái)上并用記錄紙壓緊裝置固定好。等臂記錄儀的兩根探針通過(guò)兩銅質(zhì)彈板固定于同一個(gè)手柄座上。一根探針置于作為導(dǎo)電介質(zhì)的水中，另一根置于記錄紙上方，兩根探針始終保持在統(tǒng)一鉛垂線上。移動(dòng)手柄座時(shí)，可保證兩探針的運(yùn)動(dòng)軌跡是一樣的。實(shí)驗(yàn)時(shí)，由水中的探針找到待測(cè)電勢(shì)值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)后，按壓記錄紙上的探針，即可利用復(fù)寫(xiě)紙?jiān)谧鴺?biāo)紙上留下測(cè)量點(diǎn)的記號(hào)，從而描繪出等勢(shì)線，再根據(jù)電力線與等勢(shì)線正交原理，畫(huà)出電力線。這樣就可由等勢(shì)線的間距、電力線的疏密和指向，將抽象的電場(chǎng)形象地反映出來(lái)。[實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求]利用模擬法描繪圓柱形電容器中等勢(shì)線的分布。要求：1.按表6－1的要求，用游標(biāo)尺測(cè)出A極的直徑。然后，按圖6－2連接好電路。2.在圓柱形電容器等勢(shì)線的模擬模型中裝入自來(lái)水（電容器內(nèi)外都得充滿水，但水的高度不能漫過(guò)電極上表面）。然后，在靜電場(chǎng)描繪儀的記錄平臺(tái)上安裝好記錄紙。3.接通靜電場(chǎng)描繪儀電源（f=1KHZ的正弦交流電源）并調(diào)節(jié)其輸出電壓值，使得A、B電極間的電壓值U0=10.00V（用交流毫伏表測(cè)出）。再利用等臂記錄儀裝置，分別測(cè)繪出電勢(shì)值為1.00V、2.00V、3.00V、4.00V、5.00V、6.00V等六條等勢(shì)線。每條等勢(shì)線至少要有分布較為均勻的六個(gè)等勢(shì)點(diǎn)，并作好記號(hào)。4.根據(jù)測(cè)繪的各等勢(shì)點(diǎn)的記錄圖，利用幾何方法，確定出各等勢(shì)線的共同圓心O，再利用游標(biāo)尺測(cè)出各等勢(shì)點(diǎn)至O點(diǎn)的距離，求出值；以為半徑，畫(huà)出相應(yīng)的等勢(shì)圓，并在各等勢(shì)圓上標(biāo)注其相應(yīng)的、值；再按電極半徑的實(shí)際尺寸，畫(huà)出A、B電極，然后畫(huà)出八條對(duì)稱(chēng)的電力線。5.根據(jù)式（6－15），令、作出Y～X圖線，應(yīng)得到一條直線（否則應(yīng)重新測(cè)繪），求出直線的斜率b和截距a，按求出實(shí)驗(yàn)得到的B電極、A電極半徑，與用游標(biāo)尺測(cè)出的B電極、A電極半徑比較，判斷本次實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確程度。[問(wèn)題]1.本實(shí)驗(yàn)的模擬模型中的導(dǎo)電介質(zhì)為何選用水而不用導(dǎo)電紙?2.本實(shí)驗(yàn)為何選用正弦交流穩(wěn)壓電源來(lái)建立穩(wěn)恒電流場(chǎng)而不用直流穩(wěn)壓電源?3.如何由測(cè)繪的各等勢(shì)點(diǎn)的記錄圖,推算出A電極和B電極的半徑?本實(shí)驗(yàn)如何估算實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確程度?4.在圓柱形電容器中靜電場(chǎng)的模擬實(shí)驗(yàn)中,若圖線為直線，說(shuō)明了什么？為什么？[附]測(cè)量舉例[數(shù)據(jù)記錄](méi)組別：№17一、電極參量及測(cè)量數(shù)據(jù)記錄B電極內(nèi)半徑：表6－1：A電極半徑測(cè)量記錄。游標(biāo)尺精度：0.02；零點(diǎn)讀數(shù)值0.00；單位：n123456(讀數(shù)值)10.0010.0210.0010.0010.0210.00（測(cè)量值）10.0010.0210.0010.0010.0210.005.0035.005.015.005.005.015.00注：－零點(diǎn)讀數(shù)二、位線半徑測(cè)量記錄毫伏表量程：、準(zhǔn)確度等級(jí)：表6－2取AB電極間的電壓有效值：U0=10.00V(ri用游標(biāo)卡尺測(cè)量)(mm)Ur1234561.0039.1639.9439.1839.9039.6039.3239.5172.0031.4831.1031.1631.8231.6231.6031.4633.0024.4824.9624.5224.9625.0024.6224.7574.0019.1019.9419.7419.8419.8019.5019.6535.0015.1015.2015.7015.9215.5815.3215.476.0012.2612.5012.6012.3012.1612.9012.453[數(shù)據(jù)處理]一、的換算表6－3(mm)39.51731.46324.75719.65315.4712.4533.67673.44883.20912.97822.73892.5220Ur(V)1.002.003.004.005.006.000.1000.2000.3000.4000.5000.600Y～X圖線如下圖，在直線上取“1”、“2”、“3”點(diǎn)，其坐標(biāo)值分別為（0.120，3.630）、（0.540，2.650）、（0.270，3.280），用其計(jì)算直線的斜率和截距，可得：(注：Y～X圖線必須用坐標(biāo)紙畫(huà)；“1”、“2(0.120,3.630)(0.270,3.280