新教材2024版高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課件新人教A版必修第一冊(cè)

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)，理解等式與不等式的共性與差異數(shù)學(xué)建模邏輯推理|自學(xué)導(dǎo)引|

用不等式表示不等關(guān)系1．不等式的概念：用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”連接________或_____________，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些_________的式子叫做不等式．兩個(gè)數(shù)兩個(gè)代數(shù)式不等號(hào)

2．常見的文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換如下表所示．文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)

文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)大于＞至多≤小于＜至少____大于或等于≥不少于____小于或等于≤不多于____≥

≥

≤

不等式“a≤b”的含義是什么？只有當(dāng)“a＜b”與“a＝b”同時(shí)成立時(shí)，該不等式才成立，是嗎？【提示】不等式a≤b應(yīng)讀作“a小于或者等于b”，其含義是“a＜b或者a＝b”，等價(jià)于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b之中有一個(gè)正確，則a≤b正確．

實(shí)數(shù)大小比較的依據(jù)關(guān)于實(shí)數(shù)a，b大小的比較，有以下基本事實(shí)：a－b＞0?________；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?________．a(chǎn)＞b

a＜b

【預(yù)習(xí)自測(cè)】若b－a＞0，則a，b的大小關(guān)系是________．【答案】b＞a

等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)的比較等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)a＝b?b＝aa＞b?b＜aa＝b，b＝c

?a＝ca＞b，b＞c

?a＞ca＝b?a±c＝b±ca＞b?a±c＞b±ca＋c＞b＋d

ac＞bd

【預(yù)習(xí)自測(cè)】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)不等式x≥2的含義是指x不小于2． (

)(2)若a＜b或a＝b之中有一個(gè)正確，則a≤b正確． (

)(3)若a＞b，則ac＞bc一定成立． (

)(4)若a＋c＞b＋d，則a＞b，c＞d． (

)【答案】(1)√

(2)√

(3)×

(4)×【解析】(1)不等式x≥2表示x＞2或x＝2，即x不小于2．(2)不等式a≤b表示a＜b或a＝b，故若a＜b或a＝b中有一個(gè)正確，則a≤b一定正確．(3)由不等式的可乘性知，當(dāng)不等式兩端同乘一個(gè)正數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向不變，因此若a＞b，c≤0，則ac＞bc不成立．(4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，滿足a＋c＞b＋d，但不滿足a＞b．|課堂互動(dòng)|題型1用不等式(組)表示不等關(guān)系

(1)某車工計(jì)劃在15天里加工零件408個(gè)，最初三天中，每天加工24個(gè)，則以后平均每天至少需加工多少個(gè)，才能在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)超額完成任務(wù)？請(qǐng)用不等式表示問(wèn)題中的不等關(guān)系．(2)用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m，要求菜園的面積不小于110m2，靠墻的一邊長(zhǎng)為xm．試用不等式表示其中的不等關(guān)系．解：(1)設(shè)該車工3天后平均每天需加工x個(gè)零件，加工(15－3)天共加工12x個(gè)零件，15天里共加工(3×24＋12x)個(gè)零件，則3×24＋12x＞408．故不等關(guān)系表示為72＋12x＞408．利用不等式表示不等關(guān)系時(shí)的注意點(diǎn)(1)必須是具有相同性質(zhì)，可以比較大小的兩個(gè)量才可用不等式來(lái)表示，沒有可比性的兩個(gè)量之間不能用不等式來(lái)表示．(2)在用不等式表示實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要注意單位統(tǒng)一．1．雷電的溫度大約是28000℃，比太陽(yáng)表面溫度的4.5倍還要高．設(shè)太陽(yáng)表面溫度為t℃，那么t應(yīng)滿足的關(guān)系式是________．【答案】4.5t＜28000

【解析】由題意得，太陽(yáng)表面溫度的4.5倍低于雷電的溫度，即4.5t＜28000．題型2代數(shù)式的大小比較

(1)已知x＜1，比較x3－1與2x2－2x的大??；比較大小的方法(1)作差法的依據(jù)：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b．作差法只需要判斷差的符號(hào)，至于差的值究竟是多少無(wú)關(guān)緊要，通常將差化為完全平方式的形式或多個(gè)因式的積的形式．解：(1)x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)．因?yàn)閤＞1，所以(x－1)(x2＋1)＞0，所以x3＞x2－x＋1．利用不等式的性質(zhì)證明不等式的方法(1)簡(jiǎn)單不等式的證明可直接由已知條件，利用不等式的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)不等式變形得證．(2)對(duì)于不等號(hào)兩邊式子都比較復(fù)雜的情況，直接利用不等式的性質(zhì)不易得證，可考慮將不等式的兩邊作差，然后進(jìn)行變形，根據(jù)條件確定每一個(gè)因式(式子)的符號(hào)，利用符號(hào)法則判斷最終的符號(hào)，完成證明．3．(多選)已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，則下列不等式一定成立的是 (

)A．a(chǎn)b＞ac B．c(b－a)＞0C．a(chǎn)c(a－c)＜0 D．cb2＜ab2【答案】ABC

【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，所以a＞0，c＜0，由b＞c，a＞0，得ab＞ac，故A正確；由b＜a，c＜0，得c(b－a)＞0，故B正確；由a＞c，ac＜0，得ac(a－c)＜0，故C正確；由a＞c，b2≥0，得cb2≤ab2，當(dāng)b＝0時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．易錯(cuò)防范：上面的解法錯(cuò)在把不等式的同向不等式(正項(xiàng))相乘的性質(zhì)用到了除法，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．若題目中指定代數(shù)式的取值范圍，必須依據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解，同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，解題時(shí)必須利用性質(zhì)，步步有據(jù)，避免改變代數(shù)式的取值范圍．|素養(yǎng)達(dá)成|1．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要求出它們的差并判斷符號(hào)就可以了．a(chǎn)－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b．2．作差法比較大小的一般步驟．第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“和”或“積”；第三步：定號(hào)，就是確定是大于0，等于0，還是小于0(不確定的要分情況討論)；最后得結(jié)論．概括為“三步一結(jié)論”，這里的“定號(hào)”是目的，“變形”是關(guān)鍵．3．不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，每一步變形都要嚴(yán)格依照性質(zhì)進(jìn)行(體現(xiàn)了邏輯推理核心素養(yǎng))．1．(題型2)若a，b，c∈R且a＞b，則下列不等式中一定成立的是 (

)A．a(chǎn)c＞bc B．(a－b)c2＞0【答案】D

【解析】因?yàn)閍，b，c∈R且a＞b，所以取c＝0，可排除A，B；取a＝1，b＝－1，可排除C．由不等式的性質(zhì)知當(dāng)a＞b時(shí)，－2a＜－2b，故D正確．故選D．【答案】BD

3．(題型1)完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工共需付工資每人500元，請(qǐng)瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元，設(shè)請(qǐng)木工x人，瓦工y人，則其中的不等關(guān)系是 (

)A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200【答案】D

【解析】據(jù)題意知500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200．故選D．4．(題型2)若x≠2且y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝