新教材2024版高中數(shù)學第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.1等式性質與不等式性質課件新人教A版必修第一冊

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1等式性質與不等式性質學習目標素養(yǎng)要求梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌握不等式的性質，理解等式與不等式的共性與差異數(shù)學建模邏輯推理|自學導引|

用不等式表示不等關系1．不等式的概念：用數(shù)學符號“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”連接________或_____________，以表示它們之間的不等關系，含有這些_________的式子叫做不等式．兩個數(shù)兩個代數(shù)式不等號

2．常見的文字語言與數(shù)學符號之間的轉換如下表所示．文字語言數(shù)學符號

文字語言數(shù)學符號大于＞至多≤小于＜至少____大于或等于≥不少于____小于或等于≤不多于____≥

≥

≤

不等式“a≤b”的含義是什么？只有當“a＜b”與“a＝b”同時成立時，該不等式才成立，是嗎？【提示】不等式a≤b應讀作“a小于或者等于b”，其含義是“a＜b或者a＝b”，等價于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b之中有一個正確，則a≤b正確．

實數(shù)大小比較的依據(jù)關于實數(shù)a，b大小的比較，有以下基本事實：a－b＞0?________；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?________．a＞b

a＜b

【預習自測】若b－a＞0，則a，b的大小關系是________．【答案】b＞a

等式的性質與不等式的性質的比較等式的性質不等式的性質a＝b?b＝aa＞b?b＜aa＝b，b＝c

?a＝ca＞b，b＞c

?a＞ca＝b?a±c＝b±ca＞b?a±c＞b±ca＋c＞b＋d

ac＞bd

【預習自測】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)不等式x≥2的含義是指x不小于2． (

)(2)若a＜b或a＝b之中有一個正確，則a≤b正確． (

)(3)若a＞b，則ac＞bc一定成立． (

)(4)若a＋c＞b＋d，則a＞b，c＞d． (

)【答案】(1)√

(2)√

(3)×

(4)×【解析】(1)不等式x≥2表示x＞2或x＝2，即x不小于2．(2)不等式a≤b表示a＜b或a＝b，故若a＜b或a＝b中有一個正確，則a≤b一定正確．(3)由不等式的可乘性知，當不等式兩端同乘一個正數(shù)時，不等號方向不變，因此若a＞b，c≤0，則ac＞bc不成立．(4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，滿足a＋c＞b＋d，但不滿足a＞b．|課堂互動|題型1用不等式(組)表示不等關系

(1)某車工計劃在15天里加工零件408個，最初三天中，每天加工24個，則以后平均每天至少需加工多少個，才能在規(guī)定的時間內超額完成任務？請用不等式表示問題中的不等關系．(2)用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于110m2，靠墻的一邊長為xm．試用不等式表示其中的不等關系．解：(1)設該車工3天后平均每天需加工x個零件，加工(15－3)天共加工12x個零件，15天里共加工(3×24＋12x)個零件，則3×24＋12x＞408．故不等關系表示為72＋12x＞408．利用不等式表示不等關系時的注意點(1)必須是具有相同性質，可以比較大小的兩個量才可用不等式來表示，沒有可比性的兩個量之間不能用不等式來表示．(2)在用不等式表示實際問題時，一定要注意單位統(tǒng)一．1．雷電的溫度大約是28000℃，比太陽表面溫度的4.5倍還要高．設太陽表面溫度為t℃，那么t應滿足的關系式是________．【答案】4.5t＜28000

【解析】由題意得，太陽表面溫度的4.5倍低于雷電的溫度，即4.5t＜28000．題型2代數(shù)式的大小比較

(1)已知x＜1，比較x3－1與2x2－2x的大??；比較大小的方法(1)作差法的依據(jù)：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b．作差法只需要判斷差的符號，至于差的值究竟是多少無關緊要，通常將差化為完全平方式的形式或多個因式的積的形式．解：(1)x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)．因為x＞1，所以(x－1)(x2＋1)＞0，所以x3＞x2－x＋1．利用不等式的性質證明不等式的方法(1)簡單不等式的證明可直接由已知條件，利用不等式的性質，通過對不等式變形得證．(2)對于不等號兩邊式子都比較復雜的情況，直接利用不等式的性質不易得證，可考慮將不等式的兩邊作差，然后進行變形，根據(jù)條件確定每一個因式(式子)的符號，利用符號法則判斷最終的符號，完成證明．3．(多選)已知實數(shù)a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，則下列不等式一定成立的是 (

)A．ab＞ac B．c(b－a)＞0C．ac(a－c)＜0 D．cb2＜ab2【答案】ABC

【解析】因為實數(shù)a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，所以a＞0，c＜0，由b＞c，a＞0，得ab＞ac，故A正確；由b＜a，c＜0，得c(b－a)＞0，故B正確；由a＞c，ac＜0，得ac(a－c)＜0，故C正確；由a＞c，b2≥0，得cb2≤ab2，當b＝0時，等號成立，故D錯誤．易錯防范：上面的解法錯在把不等式的同向不等式(正項)相乘的性質用到了除法，從而導致錯誤．若題目中指定代數(shù)式的取值范圍，必須依據(jù)不等式的性質進行求解，同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，解題時必須利用性質，步步有據(jù)，避免改變代數(shù)式的取值范圍．|素養(yǎng)達成|1．比較兩個實數(shù)的大小，只要求出它們的差并判斷符號就可以了．a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b．2．作差法比較大小的一般步驟．第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“和”或“積”；第三步：定號，就是確定是大于0，等于0，還是小于0(不確定的要分情況討論)；最后得結論．概括為“三步一結論”，這里的“定號”是目的，“變形”是關鍵．3．不等式的性質是不等式變形的依據(jù)，每一步變形都要嚴格依照性質進行(體現(xiàn)了邏輯推理核心素養(yǎng))．1．(題型2)若a，b，c∈R且a＞b，則下列不等式中一定成立的是 (

)A．ac＞bc B．(a－b)c2＞0【答案】D

【解析】因為a，b，c∈R且a＞b，所以取c＝0，可排除A，B；取a＝1，b＝－1，可排除C．由不等式的性質知當a＞b時，－2a＜－2b，故D正確．故選D．【答案】BD

3．(題型1)完成一項裝修工程，請木工共需付工資每人500元，請瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預算20000元，設請木工x人，瓦工y人，則其中的不等關系是 (

)A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200【答案】D

【解析】據(jù)題意知500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200．故選D．4．(題型2)若x≠2且y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝