新教材2024版高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．掌握空間向量基本定理及空間向量的正交分解數(shù)學(xué)抽象2．會(huì)用空間向量的三個(gè)基底表示其他向量，并能用空間向量基本定理解決一些幾何問(wèn)題直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算|自學(xué)導(dǎo)引|

空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任一空間向量p，存在唯一的____________{x，y，z}，使得p＝___________，把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)______，a，b，c叫做________，空間中任何三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．有序?qū)崝?shù)組xa＋yb＋zc

基底基向量

1．思維辨析(對(duì)的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”)(1)0也可以作為基向量． (

)(2)空間的任意一個(gè)向量都可用三個(gè)給定向量表示． (

)(3)如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么一定有a與b共線． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√【預(yù)習(xí)自測(cè)】【解析】(1)由于0可視為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是0，所以0不能作為基向量．(2)當(dāng)三個(gè)向量不共面時(shí)，才可以表示空間中的任意一個(gè)向量．(3)由空間向量基本定理可知只有不共面的三個(gè)向量才可以作為基底．【答案】B平面向量的基底要求兩個(gè)基向量不共線，那么構(gòu)成空間向量基底的三個(gè)向量有什么條件？【答案】提示：三個(gè)向量不共面．微思考空間向量的正交分解1．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量__________，且長(zhǎng)度為1，那么這個(gè)基底叫做______________，常用{i，j，k}表示．2．對(duì)空間中的任意向量a，均可以分解為xi，yj，zk，使a＝______________把空間向量分解為三個(gè)__________的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．兩兩垂直單位正交基底

xi＋yj＋zk

兩兩垂直

【答案】1【預(yù)習(xí)自測(cè)】空間向量的正交分解式是唯一的嗎？【答案】提示：基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示．所以如果選用不同的正交基底，同一向量的正交分解式也會(huì)不同．微思考|課堂互動(dòng)|題型1基底的概念與判斷

(1)在下列結(jié)論中：①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面；③若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；④已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

(

)A．0 B．1 C．2 D．3(2)若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中能構(gòu)成基底的一組向量是 (

)A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，2a＋b}【答案】(1)A

(2)C基底判斷的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，那么不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示，那么不能構(gòu)成基底．②假設(shè)a＝λb＋μc，運(yùn)用空間向量基本定理，建立關(guān)于λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無(wú)解，則不共面，能作為基底．1．(1)設(shè)向量a，b，c不共面，則下列可作為空間的一個(gè)基底的是(

)A．{a＋b，b－a，a} B．{a＋b，b－a，b}C．{a＋b，b－a，c} D．{a＋b＋c，a＋b，c}(2)以下命題：①|(zhì)a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件；②若{a，b，c}是空間的一組基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}是空間的另一組基底；③|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.其中正確的命題有

(

)A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】(1)C

(2)B【解析】(1)選項(xiàng)A，B中的三個(gè)向量都是共面向量，所以不能作為空間的一個(gè)基底；選項(xiàng)D中，a＋b＋c＝(a＋b)＋c，根據(jù)空間向量共面定理得這三個(gè)向量共面，所以不能作為空間的一個(gè)基底；選項(xiàng)C中a＋b，b－a，c不共面，故可作為空間的一個(gè)基底．故選為C.(2)①|(zhì)a|－|b|＝|a＋b|?a，b共線，反之不成立，|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充分不必要條件，因此不正確；②若{a，b，c}是空間的一組基底，假設(shè)a＋b，b＋c，c＋a共面，則存在唯一一組實(shí)數(shù)x，y，使a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)成立，即a＋b＝xb＋(x＋y)c＋ya，所以x＝1，y＝1，x＋y＝0，顯然無(wú)解，假設(shè)不成立，即a＋b，b＋c，c＋a不共面，則{a＋b，b＋c，c＋a}是空間的另一組基底，正確；③|(a·b)·c|＝|a||b||c||cos〈a，b〉|，而|cos〈a，b〉|不一定等于1，因此不正確．故選B.【答案】A 用基底表示向量的三個(gè)步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個(gè)基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．題型3幾何體中的平行、垂直與夾角方向1證明平行

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點(diǎn)M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點(diǎn)S在DD1上，且SD1＝2SD，點(diǎn)N，R分別為A1D1，BC的中點(diǎn)，求證：MN∥RS.方向2證明垂直

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱CC1，BC，CD的中點(diǎn)，求證：A1G⊥平面DEF.1．證明平行的方法證明直線的方向向量共線，并說(shuō)明不在同一條直線上，即可說(shuō)明線線平行．2．證明垂直的方法由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b＝0(a，b≠0)可知，要證兩直線垂直，可分別構(gòu)造與兩直線平行的向量，只要證明這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．3．(1)如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成角的大小是________.(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)，求證：A1O⊥平面GBD.【答案】(1)90°錦囊妙計(jì)運(yùn)用向量方法解題思維導(dǎo)讀：近幾年的全國(guó)使用新教材的高考試題逐漸加大了對(duì)向量這部分內(nèi)容的考查力度，本內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來(lái)分析，解決一些相關(guān)問(wèn)題．不管是平面向量抑或是空間向量，越來(lái)越多的考生開(kāi)始青睞向量法分析解決問(wèn)題．通過(guò)運(yùn)用向量法解題的思想方法的傳導(dǎo)，讓考生們掌握向量法解決平面及空間幾何的問(wèn)題所提供的思路和分析解決問(wèn)題的方法．向量法解決問(wèn)題的思想使得某些數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)化和清晰，掌握它，讓問(wèn)題變得更容易．如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD．命題意圖：本題主要考查學(xué)生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問(wèn)題以及對(duì)立體幾何圖形的解讀能力．知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來(lái)論證立體幾何中的垂直問(wèn)題，這就使幾何問(wèn)題代數(shù)化，使煩瑣的論證變得簡(jiǎn)單．1．解決向量相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)；二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想．2．向量的數(shù)量積常用于有關(guān)兩向量相等、兩向量垂直、射影、夾角等問(wèn)題中．常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明向量的垂直和平行問(wèn)題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題．3．用空間向量解決立體幾何問(wèn)題一般可按以下過(guò)程進(jìn)行思考：(1)要解決的問(wèn)題可用什么向量知識(shí)來(lái)解決？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？(4)怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來(lái)的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？|素養(yǎng)達(dá)成|1．對(duì)基底和基向量的理解(1)空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底．(2)基底中的三個(gè)向量a，b，c都不是0．這是因?yàn)?與任意向量共線，與任意兩個(gè)向量共面．(3)一個(gè)基底是由不共面的三個(gè)向量構(gòu)成，是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．2．對(duì)空間向量基本定理的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)任意性：用空間三個(gè)不共面的向量可以線性表示出空間中任意一個(gè)向量．(2)唯一性：空間向量基本定理中實(shí)數(shù)組{x，y，z}是唯一的．3．單位正交基底的特點(diǎn)(1)位置：三個(gè)向量?jī)蓛纱怪鼻矣泄财瘘c(diǎn)O．(2)模長(zhǎng)：每個(gè)向量的模都等于1．(3)記法：一般記作{e1，e2，e3}，{i，j，k}等．【答案】D2．(題型1)若{a，b，c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列不共面的是 (

)A．b＋c，b，b－c B．a(chǎn)，a＋b，a－bC．a(chǎn)＋b，a－b