第03講 絕對(duì)值和有理數(shù)大小比較（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）

第03講絕對(duì)值和有理數(shù)大小比較1.理解絕對(duì)值的概念，能掌握絕對(duì)值的代數(shù)意義和幾何意義；2.通過(guò)已知絕對(duì)值求這個(gè)數(shù)，初步培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的數(shù)學(xué)思想方法；3.掌握3種方法比較有理數(shù)大小。知識(shí)點(diǎn):絕對(duì)值（1）幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值。一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身（若|a|＝|b|，則a＝b或a＝﹣b）（2）代數(shù)意義一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)0的絕對(duì)值是0（3）代數(shù)符號(hào)意義：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，則a≥0，|a|＝﹣a，則a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐注：非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，非正數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。（4）性質(zhì)：絕對(duì)值是a(a＞0)的數(shù)有2個(gè)，他們互為相反數(shù)。即±a。（5）非負(fù)性：任意一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都大于等于零，即|a|≥0。幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝01.數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（6）比較大小2.代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小時(shí)，絕對(duì)值大的反而小。【題型1絕對(duì)值的定義】【典例1】（2023?西華縣二模）﹣3的絕對(duì)值是（）A．3 B．﹣3 C． D．【變式1-1】（2023?全椒縣模擬）負(fù)數(shù)a的絕對(duì)值為2，則a的值為（）A． B． C．﹣2 D．2【變式1-2】（2023?衢州模擬）用符號(hào)語(yǔ)言表述“負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)”正確的是（）A．|﹣a|＝a B．|a|＝﹣aC．|﹣a|＝a（a＜0） D．|a|＝﹣a（a＜0）【變式1-3】（2022秋?邢臺(tái)期末）若|﹣7|＝﹣a，則a的值是（）A．7 B．﹣7 C． D．【題型2絕對(duì)值的性質(zhì)與化簡(jiǎn)】【典例2】（2022秋?臨朐縣期末）已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡(jiǎn)|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|的結(jié)果是（）A．2a+2c﹣2b B．0 C．2c﹣2b D．2c【變式2-1】（2022秋?橋西區(qū)期末）若a＜0，則a+|a|的值等于（）A．2a B．0 C．﹣2a D．a(chǎn)【變式2-2】（2021秋?梅縣區(qū)校級(jí)期末）若3＜a＜5，則化簡(jiǎn)|3﹣a|﹣|5+a|結(jié)果為（）A．2a+2 B．﹣2a﹣2 C．﹣8 D．8【變式2-3】（2022秋?坪山區(qū)校級(jí)期末）已知a、b、c的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a+b|﹣|c﹣a|+|b+c|＝．【變式2-4】（2022秋?廣州期末）數(shù)a的位置如圖，化簡(jiǎn)|a|+|a+3|＝．【題型3絕對(duì)值分非負(fù)性】【典例3】（2022秋?海港區(qū)期末）若|x﹣1|+（y?3）2＝0，則y﹣x＝．【變式3-1】（2021秋?敘州區(qū)期末）如果|a+3|+|b﹣2|＝0，那么（a+b）2022等于（）A．1 B．﹣1 C．2022 D．﹣2022【變式3-2】（2022秋?鄭州期末）若|a﹣2|+|b+3|＝0，則ba的值為．【變式3-3】（2022秋?滕州市校級(jí)期末）已知|x﹣2|與|y+4|互為相反數(shù)，則x+y＝．【題型4絕對(duì)值的幾何意義】【典例4】（2022秋?仁懷市期中）數(shù)軸上點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離是5，則點(diǎn)M表示的數(shù)是（）A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．不能確定【變式4-1】（2021?南充）數(shù)軸上表示數(shù)m和m+2的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，則m為（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1【變式4-2】（2021秋?花山區(qū)校級(jí)期中）下列語(yǔ)句：①一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定是正數(shù)；②﹣a一定是一個(gè)負(fù)數(shù)；③沒(méi)有絕對(duì)值為﹣3的數(shù)；④若|a|＝a，則a是一個(gè)正數(shù)；⑤在原點(diǎn)左邊離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的數(shù)就越??；正確的有（）個(gè)．A．0 B．3 C．2 D．4【變式4-3】（2022秋?漣水縣校級(jí)月考）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在數(shù)軸上的意義是表示5的點(diǎn)與原點(diǎn)（即表示0的點(diǎn)）之間的距離．又如式子|6﹣3|，它在數(shù)軸上的意義是表示6的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離．?dāng)?shù)軸上表示x與﹣2的兩點(diǎn)之間的距離為5，則x的值是．【題型5利用法則比較有理數(shù)大小】【典例5】（2022秋?平輿縣期中）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C，D，E表示的數(shù)分別為﹣4，﹣2.5，﹣1，0.5，2．（1）將點(diǎn)A，B，C，D，E表示的數(shù)用“＜”連接起來(lái)；（2）若將原點(diǎn)改在點(diǎn)C，則點(diǎn)A，B，C，D，E表示的數(shù)分別為多少，將這些數(shù)也用“＜”連接起來(lái)．【變式5-1】（2022秋?萬(wàn)州區(qū)月考）畫(huà)一條數(shù)軸，解答下列問(wèn)題：（1）用數(shù)軸上的點(diǎn)把下列有理數(shù)0，﹣（﹣3），﹣3，+3表示出來(lái)，并用“＜”把它們連接起來(lái)．（2）求出將數(shù)軸上表示+3的點(diǎn)沿?cái)?shù)軸平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后到原點(diǎn)的距離．【變式5-2】（2022秋?南海區(qū)期中）已知有理數(shù)a，b，其中數(shù)a在如圖所示的數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)M，b是負(fù)數(shù)，且b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為3．（1）a＝，b＝．（2）寫(xiě)出大于﹣的所有負(fù)整數(shù)；（3）在數(shù)軸上標(biāo)出表示﹣，0，﹣|﹣1|，﹣b的點(diǎn)，并用“＜“連接起來(lái)．【題型6利用特殊值法比較有理數(shù)大小】【典例6】（2022秋?建鄴區(qū)校級(jí)月考）若0＜a＜1，則a，﹣a，的大小關(guān)系是．【變式6-1】（2022秋?隆安縣期中）若0＜a＜1，則a，a2，按從小到大排列是．【變式6-2】（2020秋?新?lián)釁^(qū)校級(jí)期中）若：﹣1＞a＞0，則a2，a3，a4，a5的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)2＞a3＞a4＞a5 B．a(chǎn)2＞a4＞a5＞a3 C．a(chǎn)2＜a3＜a4＜a5 D．a(chǎn)4＞a2＞a5＞a3【題型7利用數(shù)軸比較有理數(shù)大小】【典例7】（2022秋?福田區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在數(shù)軸上標(biāo)出了有理數(shù)a，b，c的位置其中0是原點(diǎn)，則，，，大小順序是（）A． B． C． D．【變式7-1】（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，數(shù)a在原點(diǎn)的右邊，則a、﹣a、0的大小關(guān)系正確的是（）A．﹣a＜0＜a B．﹣a＜a＜0 C．a(chǎn)＜0＜﹣a D．a(chǎn)＜﹣a＜0【變式7-2】（2021?諸城市一模）如圖，數(shù)軸上的A，B，C三點(diǎn)所表示的數(shù)分別為a，b，c，且原點(diǎn)為O，根據(jù)圖中各點(diǎn)位置，下列數(shù)值最大的是（）A．a(chǎn) B．b C．|c| D．﹣b【變式7-3】（2021秋?肥西縣月考）如圖，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩側(cè)，分別表示的數(shù)為a，2，OA＞OB，則a（填＞、＜或＝）．1．（2022?鋼城區(qū)）﹣7的相反數(shù)是（）A．﹣7 B．﹣ C．7 D．2．（2022?陜西）﹣21的絕對(duì)值為（）A．21 B．﹣21 C． D．﹣3．（2022?阜新）在有理數(shù)﹣1，﹣2，0，2中，最小的是（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．24．（2022?荊門(mén)）如果|x|＝2，那么x＝（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或5．（2022?南充）下列計(jì)算結(jié)果為5的是（）A．﹣（+5） B．+（﹣5） C．﹣（﹣5） D．﹣|﹣5|6．（2021?淄博）下表是幾種液體在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的沸點(diǎn)，則沸點(diǎn)最高的液體是（）液體名稱液態(tài)氧液態(tài)氫液態(tài)氮液態(tài)氦沸點(diǎn)/℃﹣183﹣253﹣196﹣268.9A．液態(tài)氧 B．液態(tài)氫 C．液態(tài)氮 D．液態(tài)氦7．（2021?大慶）下列說(shuō)法正確的是（）A．|x|＜x B．若|x﹣1|+2取最小值，則x＝0 C．若x＞1＞y＞﹣1，則|x|＜|y| D．若|x+1|≤0，則x＝﹣18．（2021?南充）數(shù)軸上表示數(shù)m和m+2的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，則m為（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣11．（2022秋?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）已知2x﹣3的絕對(duì)值與x+6的絕對(duì)值相等，則x的相反數(shù)為（）A．9 B．1 C．1或﹣9 D．9或﹣12．（2022秋?忠縣期末）若，，，d＝﹣2，則絕對(duì)值最大的數(shù)是（）A．a(chǎn) B．b C．c D．d3．（2022秋?光澤縣期中）若|a﹣5|+|b+6|＝0，則﹣b+a﹣1的值是（）A．﹣11 B．10 C．﹣2 D．24．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù) B．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越大，表示它的點(diǎn)在數(shù)軸上越靠右 C．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越大，表示它的點(diǎn)在數(shù)軸上離原點(diǎn)越近 D．當(dāng)a≠0時(shí)，|a|總是大于05．（秋?寬城區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上O是原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)所表示的數(shù)分別為a、b、c．根據(jù)圖中各點(diǎn)的位置，下列比較大小正確的是（）A．a(chǎn)＞﹣c B．a(chǎn)＜﹣b C．b＞﹣c D．﹣b＜c6．（2022秋?榮昌區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)是互為相反數(shù)，且點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)A表示的數(shù)是．7．（2021?迎澤區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知m，n互為相反數(shù)，則3+5m+5n＝．8．（2022秋?福田區(qū)校級(jí)期末）已知a，b，c的位置如圖：則化簡(jiǎn)|﹣a|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝．9．（2020秋?山陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A與原點(diǎn)的距離為2，A、B兩點(diǎn)的距離為1，則滿足條件的點(diǎn)B所表示的數(shù)是．10．（秋?臨沭縣期中）數(shù)軸上，如果點(diǎn)A表示﹣，點(diǎn)B表示﹣，那么離原點(diǎn)較近的是．11．（2022秋?郊區(qū)校級(jí)期末）如果|a﹣4|+|b+1|＝0，求的值．12．（2022秋?衢州期中）將﹣2，0，，﹣（﹣2.5）在數(shù)軸上表示，并將原數(shù)用“＜”連接．13．（2022秋?冷水灘區(qū)月考）已知|x﹣3|+|y+2|＝0，求x，y，3x﹣y的值．14．（2022秋?南召縣月考）已知|m|＝1，|n|＝4．（1）當(dāng)m、n異號(hào)時(shí)，求m+n的值；（2）求m﹣n的最大值．15．（2022秋?豐澤區(qū)校級(jí)期末）若用點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù)a、b、c，如圖：（1）判斷下列各式的符號(hào)：a+b0；c﹣b0；c﹣a0（2）化簡(jiǎn)|a+b|﹣|c﹣b|﹣|c﹣a|16．（2022秋?黔東南州期中）同學(xué)們都知道，|7﹣（﹣4）|表示7與﹣4之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為7與﹣4兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．|7﹣4|也可理解為7與4兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）求|7﹣（﹣4）|＝．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x﹣（﹣6）|+|x﹣2|＝8這樣的整數(shù)是．（3）由以上探索猜想對(duì)于任何有理數(shù)x，|x﹣1|+|x﹣5|是否有最小值？如果有寫(xiě)出最小值請(qǐng)嘗試說(shuō)明理由．如果沒(méi)有也要請(qǐng)嘗試說(shuō)明理由．17．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）閱讀下列材料．我們知道|x|＝，現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式．例如：化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時(shí)，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1和x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點(diǎn)值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x＝﹣1和x＝